Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2 Prima prova parziale - 4/11/2016
Una nuvola sferica di raggio R, ha una densit`a di carica variabile con la distanza dal centro con la legge:
ρ = Ar
2
R2 0 ≤ r ≤ R
ed ha una carica totale di Q.
Determinare: a) il valore di A; b) i valori del campo elettrico ad una distanza dal centro pari a R/2 e a 2R ; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola e l’infinito. d) Se tra R e 2R la nuvola `e circondata da un guscio sferico dielettrico di costante dielettrica relativa pari a εr = 15, determinare la carica totale di polarizzazione sull’esterno del guscio sferico.
(Dati del problema Q = 5 nC, R = 10 cm, εr= 15)
Soluzione: a)
La carica in ogni guscio sferico di raggio r e spessore di dr vale: dQ = 4πr2drAr
2
R2
Quindi la carica totale vale:
Q = 4πA R2 Z R 0 r4dr = 4πA 5 R 3 A = 5Q 4πR3 = 2 · 10 −6 C/m3 b)
Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio 0 < r < R concentrica alla nuvola: Er4πr2 = 4πA εoR2 Z r 0 r04dr0 = 4πAr 5 5εoR2 Segue che: Er = Ar3 5εoR2 per 0 ≤ r ≤ R di conseguenza per r = R/2 Er(r = R/2) = 562 V /m
Mentre per r > R il campo vale in modulo: Er = Q 4πr2 e quindi: Er(2R) = 1123 V /m c)
La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il suo bordo `e: DV1 = Z R 0 Erdr = A 5εoR2 Z R 0 r3dr = AR 2 20εo = 112 V Il campo fuori della nuvola vale:
Er =
Q 4πεor2
per R < r < ∞ Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l’infinito vale:
DV2 = Z ∞ R Q 4πεor2 dr = Q 4πεoR = 449 V Quindi tra il centro della nuvola e l’infinito:
DV = DV1+ DV2 = 561 V
d)
Il vettore ~P `e radiale come il campo elettrico e vale in r = 2R: Pr =
Q(εr− 1)
4πεr(2R)2
Quindi la carica totale di polarizzazione vale: Qp =
Q(εr− 1)
εr
