Modellistica di sistemi termici

Testo completo

(1)Introduzione e modellistica dei sistemi.

(2) Modellistica dei sistemi dinamici termici Elementi fondamentali Scrittura delle equazioni dinamiche Rappresentazione in variabili di stato Esempio di rappresentazione in variabili di stato. 2.

(3) Modellistica dei sistemi dinamici termici.

(4) Corpo omogeneo ideale Corpo omogeneo ideale di capacità termica C. p. C. θ. L’equazione dinamica della sua temperatura è: d θ (t ) = p (t ) C. dt. C : capacità termica, proporzionale al calore specifico θ : temperatura assoluta del corpo omogeneo p : portata di calore (potenza termica) applicata. Unità di misura: [p ] = W, [θ ] = K , [C ] = J/K 4.

(5) Conduttore termico ideale Conduttore termico ideale di conduttanza term. Kij. θi. pij. θj. Kij. La portata di calore che fluisce dal corpo omogeneo con temperatura assoluta θi al corpo omogeneo con temperatura assoluta θj in contatto termico è pari a:. pij (t ) = K ij ⎡⎣θi (t ) − θ j (t ) ⎤⎦ ⇒ è proporzionale alla temperatura relativa dei due diversi corpi omogenei ideali in contatto termico Unità di misura: [pij ] = W, [θi ] = [θj ] = K , [Kij ] = W/K 5.


(7) Equazioni dinamiche di equilibrio termico Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (la cui temperatura assoluta θi non è quindi imposta direttamente dall’esterno) di capacità termica Ci , vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore: j ≠i int est C i θi (t ) = ∑k pk (t ) − ∑ j pi j (t ) est. Le portate di calore esterne pi j tengono conto dell’azione del mondo esterno e compaiono con Segno positivo se forniscono calore al corpo (nel caso di generatori di calore o per effetto Joule o combustione) Segno negativo altrimenti (ad esempio, nel caso di refrigeratori o pompe di calore) 7.

(8) Equazioni dinamiche di equilibrio termico Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (la cui temperatura assoluta θi non è quindi imposta direttamente dall’esterno) di capacità termica Ci , vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore: j ≠i int est C i θi (t ) = ∑k pk (t ) − ∑ j pi j (t ) int. Le portate di calore interne pi j tengono conto dell’interazione tra il corpo Ci e gli altri corpi Cj in contatto termico tramite conduttori termici ideali di conduttanza termica Ki j ⇒. ⎡ ⎤ piint j (t ) = K i j ⎣θi (t ) − θ j (t ) ⎦. 8.

(9) Interpretazione delle equazioni dinamiche Nell’equazione dinamica di equilibrio termico relativa al corpo omogeneo ideale di capacità termica Ci j ≠i int est C θ (t ) = ∑ p (t ) − ∑ p (t ) i i. k. k. j. ij. est. Le portate esterne pk forniscono o prelevano calore direttamente al corpo Ci ⇒ incrementano o riducono il termine C i θi , che è interpretabile come una portata termica d’inerzia int p Le portate interne i j trasmettono invece il calore agli altri corpi Cj tramite conduttori termici ⇒ riducono la portata termica d’inerzia di Ci 9.


(11) Rappresentazione in variabili di stato (1/2) Si scrivono le equazioni dinamiche di equilibrio termico per ogni corpo omogeneo non termostatato, avente capacità termica Ci e temperatura assoluta θi S’introduce una variabile di stato xi per ogni corpo omogeneo non termostatato di capacità termica Ci , scegliendo in particolare La temperatura assoluta θi Si associa una variabile di ingresso uj ad ogni: Portata di calore esterna fornita al o prelevata dal sistema termico Temperatura assoluta di corpo omogeneo ideale termostatato, in quanto imposta dal mondo esterno. 11.

(12) Rappresentazione in variabili di stato (2/2) Si ricavano le equazioni di stato del tipo dx i (t ) xi (t ) = = f i (t , x (t ),u (t )) dt a partire dalle precedenti equazioni dinamiche di equilibrio termico, esprimendo xi solo in funzione di variabili di stato e di ingresso Si ricavano le equazioni di uscita del tipo. y k (t ) = gk (t , x (t ),u (t )) esprimendo ogni variabile di interesse yk soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso 12.


(14) Esempio di rappresentazione (1/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ1,θ2 : temperature dei due corpi non termostatati θe : temperatura (imposta) dell’ambiente esterno θi : temperatura del corpo termostatato interno p0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ1 come variabile d’interesse. θ1. p0. θi. θ2. θe. Equazioni dinamiche di equilibrio termico:. 1) C1θ1 = p 0 − ⎡⎣K 1e (θ1 − θe ) + K 1i (θ1 − θi ) + K 12 (θ1 − θ2 )⎤⎦. 14.

(15) Esempio di rappresentazione (2/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ1,θ2 : temperature dei due corpi non termostatati θe : temperatura (imposta) dell’ambiente esterno θi : temperatura del corpo termostatato interno p0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ1 come variabile d’interesse. θ1. p0. θi. θ2. θe. Equazioni dinamiche di equilibrio termico: 2) C 2θ2 = 0 − ⎡⎣K 2e (θ2 − θe ) + K 2i (θ2 − θi ) + K 12 (θ2 − θ1 )⎤⎦. 15.

(16) Esempio di rappresentazione (3/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ1,θ2 : temperature dei due corpi non termostatati θe : temperatura (imposta) dell’ambiente esterno θi : temperatura del corpo termostatato interno p0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ1 come variabile d’interesse. θ1. Variabili di stato:. p0. θi. θ2. θ1 (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢⎣θ2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦. θe. 16.

(17) Esempio di rappresentazione (4/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ1,θ2 : temperature dei due corpi non termostatati θe : temperatura (imposta) dell’ambiente esterno θi : temperatura del corpo termostatato interno p0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ1 come variabile d’interesse. θ1. p0. Variabili di ingresso:. θi. θ2. θe. ⎡p0 (t )⎤ ⎡u1 (t ) ⎤ u (t ) = ⎢⎢θe (t ) ⎥⎥ = ⎢⎢u2 (t )⎥⎥ ⎢⎣θi (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u3 (t )⎥⎦. 17.

(18) Esempio di rappresentazione (5/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico:. 1) C1θ1 = p 0 − ⎡⎣K 1e (θ1 − θe ) + K 1i (θ1 − θi ) + K 12 (θ1 − θ2 )⎤⎦ 2) C 2θ2 = 0 − ⎡⎣K 2e (θ2 − θe ) + K 2i (θ2 − θi ) + K 12 (θ2 − θ1 )⎤⎦. Variabili di stato e di ingresso: ⎡p0 (t )⎤ ⎡u1 (t ) ⎤ θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎡ x (t ) = = , u (t ) = ⎢⎢θe (t ) ⎥⎥ = ⎢⎢u2 (t )⎥⎥ ⎢⎣θ2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦ ⎢⎣θi (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u3 (t )⎥⎦ Equazioni di stato: d θ1 p 0 1 ⎡K 1e (θ1 − θe ) + K 1i (θ1 − θi ) + K 12(θ1 − θ2)⎤ = x1 = = θ1 = − ⎦ dt C1 C1 ⎣. K 1e +K 1i +K 12 K 1e 1 K 12 K 1i =− x1 + x 2 + u1 + u2 + u 3 = f1 (t ,x ,u ) C1 C1 C1 C1 C1. 18.

(19) Esempio di rappresentazione (6/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico:. 1) C1θ1 = p 0 − ⎡⎣K 1e (θ1 − θe ) + K 1i (θ1 − θi ) + K 12 (θ1 − θ2 )⎤⎦ 2) C 2θ2 = 0 − ⎡⎣K 2e (θ2 − θe ) + K 2i (θ2 − θi ) + K 12 (θ2 − θ1 )⎤⎦. Variabili di stato e di ingresso: ⎡p0 (t )⎤ ⎡u1 (t ) ⎤ θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎡ x (t ) = = , u (t ) = ⎢⎢θe (t ) ⎥⎥ = ⎢⎢u2 (t )⎥⎥ ⎢⎣θ2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦ ⎢⎣θi (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u3 (t )⎥⎦ Equazioni di stato: 1 d θ2 = θ2 = − ⎡⎣K 2e (θ2 − θe ) + K 2i (θ2 − θi ) + K 12(θ2 − θ1)⎤⎦ = x2 = C2 dt. K 2e +K 2i +K 12 K 2e K 12 K 2i = x1 − x2 + u2 + u 3 = f 2 (t ,x ,u ) C2 C2 C2 C2. 19.

(20) Esempio di rappresentazione (7/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico:. 1) C1θ1 = p 0 − ⎡⎣K 1e (θ1 − θe ) + K 1i (θ1 − θi ) + K 12 (θ1 − θ2 )⎤⎦ 2) C 2θ2 = 0 − ⎡⎣K 2e (θ2 − θe ) + K 2i (θ2 − θi ) + K 12 (θ2 − θ1 )⎤⎦. Variabili di stato e di ingresso: ⎡p0 (t )⎤ ⎡u1 (t ) ⎤ θ1 (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎡ x (t ) = = , u (t ) = ⎢⎢θe (t ) ⎥⎥ = ⎢⎢u2 (t )⎥⎥ ⎢⎣θ2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦ ⎢⎣θi (t ) ⎥⎦ ⎢⎣u3 (t )⎥⎦ Equazione di uscita: y = θ1 = x 1 = g (t ,x ,u ). 20.

(21) Esempio di rappresentazione (8/9) Equazioni di stato: K 1e + K 1i + K 12 K 1e K 12 K 1i 1 ⎧ x1 + x 2 + u1 + u2 + u3 ⎪⎪x 1 = − C1 C1 C1 C1 C1 ⎨ K 2e + K 2i + K 12 K 2e K 12 K 2i ⎪x2 = x1 − x2 + u2 + u3 C2 C2 C2 C2 ⎪⎩ Equazione di uscita: y = x1. Il sistema è dinamico, a tempo continuo, a dimensione finita (n =2), MIMO (p =3, q =1), proprio 21.

(22) Esempio di rappresentazione (9/9) Se C1, C 2, K1e , K2e , K1i , K2i e K12 sono costanti ⇒ il sistema è anche LTI con rappresentazione di stato x (t ) = A x (t ) + B u (t ) y (t ) = C x (t ) + D u (t ) K 12 ⎡ K 1e + K 1i + K 12 ⎤ ⎡1 − ⎢ ⎥ ⎢C C1 C1 ⎥,B = ⎢ 1 A=⎢ ⎢ K 2e + K 2i + K 12 ⎥ K 12 ⎢ − ⎢0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ C2 C2. K 1e C1 K 2e C2. K 1i ⎤ C1 ⎥⎥ , K 2i ⎥ C 2 ⎥⎦. C = [1 0] , D = [0 0 0]. 22.

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