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Esempio. Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

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Academic year: 2021

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0.0. 7.4 1

Esempio. Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) 8 (s + 2)3

- N.L. -

6

r e x y

- 6

4 8

−4

x 3

2

−2

−3 y

Utilizzando il criterio del cerchio, determinare se il punto di lavoro corrispondente all’in- gresso costante r = 0 `e asintoticamente stabile.

Soluzione. Il guadagno statico della funzione G1(s) `e K1 = 1. Essendo nullo l’ingresso, la retta di carico passa per l’origine ed ha pendenza -1

y = −x

Il punto di lavoro del sistema risulta quindi essere (1, −1). Facendo riferimento a questo punto di lavoro, le pendenze α e β che caratterizzano il criterio del cerchio valgono

α = 1

4, β = 1

Il sistema G1(s) ha un diagramma di Nyquist regolare che interseca il semiasse negativo in σ0 = − 1

K = −1

8, ω0 = √

12 = 2 tanπ 3 Infatti, applicando il criterio di Routh

1 + K 8

(s + 2)3 = 0 ↔ s3 + 6s2 + 12s + 8 + 8K = 0 si ottiene:

3 1 12 → ω = √

12

2 6 8 + 8K

1 64 − 8K → K < 8 = K

0 8 + 8K → K > −1

Essendo K > β, non vi `e intersezione tra il cerchio critico e il diagramma di Nyquist per cui si pu`o affermare che il punto di lavoro (1, −1) `e globalmente asintoticamente stabile.

R. Zanasi - Controlli Automatici - 2011/12 7. SISTEMI NON LINEARI

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7.4. IL CRITERIO DEL CERCHIO. ESEMPI 7.4 2

Esempio. Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- - e−2s 2

- N.L. -

6

r = 0 e x y

- 6

2 x

3 2

−3 y

Utilizzando il criterio del cerchio, determinare se il sistema retroazionato `e stabile o meno.

Soluzione. Il sistema retroazionato `e stabile. Infatti il diagramma polare del ritardo puro interseca il semiasse negativo in −0.5, mentre il cerchio limite, in questo caso, degenera in un semipiano delimitato da una retta verticale passante per −1.

La posizione relativa della funzione di risposta armonica del ritardo puro e del cerchio critico

`

e la seguente:

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

G(jω) = e−2jω 2

R. Zanasi - Controlli Automatici - 2011/12 7. SISTEMI NON LINEARI

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Inoltre considerando tutta la matrice possiamo notare che la prima, la seconda e la quarta colonna (per esempio) sono linearmente indipendenti.. b) Calcolare la dimensione e una base

[r]

Riduciamo quindi a gradini la matrice

[r]

[r]

[r]

Inoltre le giaciture non dipendono da a, quindi la giacitura della retta non ` e mai contenuta in U (se fosse contenuta in U non potremmo avere un solo punto di intersezione)..