ESERCIZI RISOLTI SU CALCOLO DI LIMITI DI FUNZIONI
MEDIANTE LIMITI NOTEVOLI
Si farà riferimento ai seguenti limiti notevoli:
→
=
, →= ,
→+
= ,
→
= ,
→( )
= ,
→ ( )= ( k∈ℝ )
Gli esercizi sotto risolti non sono (volutamente) in ordine crescente di difficoltà.
1) lim
→ √= = lim
→ √√∙
√= 1 ∙
= +∞
2) lim
→ /=
poniamo − = , da cui = + e t →0 nel limite dato; pertanto siamo ricondotti a calcolarelim
→= lim
→= lim
→=
3) lim
→= 1
= lim
→1 +
= lim
→1 +
= e
34)
lim
→ √= = lim
→ ( )=
=
lim
→0 4 1 (1+ ) 1 2−1 1 4 4=
14∙
12∙
11=
185) lim
→= = lim
→= lim
→= 1 ∙ =
5’) lim
→(
≠ 0) =
Tale limite generalizza il precedente e sarà calcolato non utilizzando la formula di duplicazione del seno per riprodurre la situazione di un limite note-vole, ma con trasformazioni più generali (anche se un po’ più laboriose); si può scriverlo infattilim
→= lim
→= lim
→=
lim
→
− 1
1
1
6) lim
→ ( )= = lim
→ ( )= lim
→ ( )=
lim
→ln(1 + )
1
1 −
1
= 1 ∙
1
1
2
∙ ∞ = ∞
7) lim
→= = lim
→ [ ( )] –( )( )= lim
→ [ ( )] ( ) ( )= 1 ∙ −
=
= −
1
2
8) lim
→ ( )= = lim
→ ( )= lim
→=
= lim
→ln 1 +
= 1 ∙ 1 ∙
1
=
1
9) lim
→= = lim
→= lim
→ ( )=
= lim 2 ln 5
→
( )
− 1
(2 ln 5)
= 2 5
10) lim
→= = lim
→= lim
→−
=
=
lim
→0− 1
+
−− 1
−
= 1 + 1 = 2
11) lim
→=
poniamo x -1 = t , da cui x = t + 1 e t→0 nel limite dato; siamo per-tanto ricondotti a calcolarelim
→= lim
→ ∙= lim
→−
= −
12) lim
→(1 + 2 ) = 1
Poniamo = , da cui = , t→∞ nel limite dato; siamo pertanto ricondotti a calcolarelim → 1 + 1 = lim → 1 + 1 =
