1. Limite finito di una funzione in un punto
Consideriamo la funzione: 2 2 18 ( ) 3 x f x x − = −il cui dominio risulta essere ℝ−{ }3 , e quindi il valore di ( )f x non è calcolabile in 3
x = . Quest’affermazione tuttavia non esaurisce tutte le informazioni che riguardano la funzione nel punto x =3, dato che è immediato rendersi conto che quando ci si avvicina ad esso f x( ) mostra una certa regolarità nel comportamento. Osserviamo infatti la tabella che mostra l’andamento della funzione per valori dell’ascissa che si accostano a 3 per eccesso e per difetto. Come si vede in entrambi i casi, a mano a mano che si procede verso x=3, la funzione tende a approssimarsi al valore 12, senza tuttavia raggiungerlo mai esattamente. Questa importante informazione non è espressa dalla semplice affermazione che f x( ) non è calcolabile in x =3, in quanto non riguarda il valore assunto dalla funzione in un punto ma piuttosto descrive il suo comportamento in un intorno del punto. Quel che ci proponiamo nel seguito è costruire un’operazione matematica che permetta di quantificare il comportamento di questa funzione quando l’ascissa si avvicina a 3.
Osserviamo che il comportamento in questione può essere espresso dicendo che la differenza fra il valore della funzione e 12 diviene sempre più piccolo quanto più l’ascissa si avvicina a 3. Poiché, come si ricava dalle tabelle, si tratta di una differenza che può essere sia positiva che negativa, la esprimiamo in modulo per contemplare entrambi i casi: 2 2 18 12 3 x x − − −
Tuttavia affermare che la quantità 2 2 18 12 3 x x − −
− è sempre più piccola quanto più ci si avvicina a 3 è una definizione in un certo senso “statica” di quanto sta accadendo. I matematici per lungo tempo si sono arenati percorrendo questo vicolo cieco che non conduceva alla costruzione di uno strumento efficace per lo studio del comportamento. La via corretta che infine è stata scoperta passa infatti attraverso una definizione che potremmo dire “dinamica”. Potremmo in un certo senso vederla come una sfida che la funzione fa all’osservatore. In termini colloquiali suona così:
Scegli pure un numero, uno qualsiasi. Ebbene, qualunque sia il numero scelto è possibile trovare un insieme di valori di
x intorno a 3 dove la distanza fra la funzione e 12 è più piccola del numero che hai scelto.
Scegliamo ad esempio 12 . Come si vede dalle tabelle se x è più grande di 2.9 ed al contempo più piccolo di 3.2 i valori della funzione sono compresi fra 11.8 e 12.4 , pertanto la loro distanza da 12 è minore di 0.5 . In termini più rigorosi possiamo risolvere la disequazione che richiede che la differenza fra la funzione e 12 sia inferiore a 0.5 : 2 2 18 12 0.5 3 x x − − < − 2 1 2 18 1 12 2 3 2 x x − ⇒ − < − < − 2 (x−3)( 3) 3 x x + − 1 25 13 1 12 0 2 6 0 3 2 x 2 x 4 x 4 − − < ⇒ + − < ⇒ < ⇒ < + 2.5 11 2.8 11.6 2.9 11.8 2.99 11.98 2.999 11.99 2.9999 11.999 2.99999 11. ( ) 9999 x f x 3.5 13 3.3 12.6 3.2 12.4 3.1 12.2 3.01 12.02 3.001 12.002 3.0001 12. ( ) 0002 x f x
2 (x−3)( 3) 3 x x + − 1 23 11 1 12 0 2 6 0 3 2 x 2 x 4 x 4 − + > ⇒ + − > ⇒ > ⇒ > −
abbiamo così trovato un intorno di 3 , di raggio 14 dove la funzione assume valori che distano da 12 meno di 12 . La verifica può essere effettuata con qualsiasi numero di scelga. Nel caso più generale, indicando con la lettera greca ε (epsilon) il numero scelto a piacere, la condizione diventa di soddisfare ∀ >ε 0 la disequazione: 2 2 18 12 3 x x
ε
− − < − in un intorno di 3 . Vediamo: 2 2 18 12 3 x x ε − ε − < − < − 2 (x−3)( 3) 3 x x + − 12 2x 6 x 3 2 ε ε ε − > − ⇒ − > − ⇒ < − 2 (x−3)( 3) 3 x x + − 12 2x 6 x 3 2 ε ε ε − < ⇒ − < ⇒ < +Abbiamo trovato che comunque si scelga ε , esiste un intorno di 3 di raggio
2 ε
in cui la funzione dista da 12 meno di ε , cioè:
se 3 ; 3 2 2 x∈ −ε + ε allora 2 2 18 12 3 x x
ε
− − < −Di solito il raggio dell’intorno, dipendente da ε , viene indicato con la notazione δε (delta con epsilon). Sul grafico vediamo la rappresentazione di questo comportamento.
Possiamo a questo punto caratterizzare il comportamento di una generica funzione nell’intorno di un punto dove goda di proprietà analoghe a quelle suesposte attraverso la seguente definizione di limite finito in un punto:
Definizione: Sia x0 un punto di accumulazione per il dominio di una funzione ( )f x . Si dice che il limite per x che tende ad x0 di ( )f x è uguale ad ℓ se:
0 0 ε 0 tale che se 0 x x ε ε δ δ ∀ > ∃ > < − < allora: ( ) f x −ℓ <ε
In questo caso si scrive:
0
lim ( ) x→x f x = ℓ
1) Osserviamo che la possibilità di calcolare il limite in un punto, cioè di analizzare il comportamento della funzione nell’intorno di quel punto, è estesa solamente ai punti di accumulazione per il
3 3 2 ε + 3 2 ε − 12 12+ε 12−ε
2 0 ( ) 2 1 x se x f x se x < = =
il punto x =1 non è di accumulazione per il dominio D: (−∞; 0)∪{ }1 , ma è un punto isolato. Non potendoci avvicinare ad esso non ha senso studiare il comportamento della funzione in suo intorno e quindi non è nemmeno possibile calcolare il
1 lim ( ) x→ f x .
2) Il significato del calcolo del limite di una funzione in un punto è di considerare la possibilità che nei casi in cui ci si può avvicinare indefinitamente ad un punto x0 di accumulazione per il suo dominio, sia che si possa o meno calcolare f x( )0 , il valore la funzione si stabilizzi attorno ad un valore ℓ . Non è automatico che una simile stabilizzazione avvenga: ad esempio si consideri la tabella dei valori della funzione:
{ } 1 ( ) sin : 0 f x D x = ℝ−
a mano a mano che ci si avvicina al valore x =0, punto di accumulazione per il dominio della f x( ) e dove essa non esiste. Come si osserva, anche se i valori sono sempre più prossimi allo zero, non appare alcuna regolarizzazione nel comportamento. In termini della definizione quindi non esiste nessun intorno di x =0 nel quale il valore di f x( ) dista quanto poco si vuole da un numero ℓ. Diremo in questi casi che ∃
0 1 lim sin x→ x .
Una definizione alternativa per il limite ℓ di f x( ) in un punto x0, è quella di dire che comunque si scelga un intorno U ℓ( ), esiste un intorno U x( )0 tale che se x ∈U x( )0 allora f x( )∈U( )ℓ .
2 1 0.25 0.070 0.1 0.174 0.01 0.985 0.002 0.642 0.0005 0.342 0.000005 0.342 0.0000045 0.9 ( ) 77 x f x − − − − 0 x −δε ℓ ε + ℓ ε − ℓ 0 x +δε 0 x 0 ( ) U
x
( ) U ℓEsercizi di verifica dei limiti finiti in un punto
Gli esercizi sui limiti sono di due tipologie: la verifica ed il calcolo. Verificare un limite in un punto x0 significa che si conosce già il valore di ℓ e si deve risolvere la disequazione f x( )−ℓ <ε, dimostrando che essa è soddisfatta in un intorno di x0, trovando eventualmente l’espressione per δε. Il calcolo del limite consiste invece nella ricerca del valore di ℓ.
Esempio 1 Verificare il limite: ( ) 4 lim 2 1 9 x→ x+ = La disuguaglianza: 2x+ −1 9 <ε
deve essere soddisfatta in un intorno di x0 =4, della forma (4−δε; 4+δε
)
. Risolviamo:2 8 8 2 8 4 4
2 2
x x ε x ε
ε ε ε ε
− < − < ⇒ − < < + ⇒ − < < +
La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di 4 di raggio 2 ε ε δ = . Esempio 2 Verificare il limite:
(
2)
1 lim 2 3 1 x→ x − = −Si tratta di un caso banale, dove esiste il valore (1)f = − e la funzione si stabilizza proprio attorno ad esso. 1 La definizione si applica nel seguente modo:
2
0 ε tale che se 0 x 1 ε 2x 3 ( 1)
ε δ δ ε
∀ > ∃ < − < ⇒ − − − <
La verifica consiste nel risolvere la disequazione 2x2− − −3 ( 1) < provando che essa è soddisfatta in un ε
intorno di x0 = . Procediamo: 1 2 2 2x − − −3 ( 1)<ε ⇒ − <ε 2x − <2 ε 2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0 x x x x ε ε ε ε − > − − + > ⇒ ⇒ − < − − < 4−ε2 4 4+ε2
Prima disequazione: 2 1 0 1 2 2 x − +ε > ⇒ x = ± −ε Seconda disequazione: 2 1 0 1 2 2 x − −ε < ⇒ x = ± +ε
Intersezione delle soluzioni:
Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz’altro un intorno di x0 = , il cui 1 raggio è δε =min 1
{
− 1−ε2; 1+ε2−1}
. Esempio 3 Verificare il limite: 2 lim 3 3 3 x→ x+ = La disuguaglianza: 3x+ −3 3 <εdeve essere soddisfatta in un intorno di x =2, della forma (2−δε;2+δε
)
.3x+ −3 3 <ε ⇒ − <ε 3x+ − <3 3 ε 3 3 3 3 3 3 x x ε ε + > − ⇒ + < + Prima disequazione: 3 y= −ε 2 2 3 3 1 3 3 1 0 3 y x y x x y y = + = + ⇒ ⇒ = − ≥
la parabola sovrasta la retta in
(
x1;+∞)
. Troviamo x1:2 3x+3= −3 ε ⇒ 3x+ = −3 9 6ε+ε 1 x 3 3 y = −ε 1 − 3 1 ε2 − −
−
+
1−ε2 1 ε2 − +−
+
1+ε2+
+
2 2x − 2 > −ε 2 2x − 2 < ε 0 1 1 ε2 − + − 1−ε2 1−ε2 1+ε22 2 1 1 (9 3 6 ) 2 2 3 3 x = − − ε+ε = − ε+ε Si vede che se se 2 2 0 3 ε ε − + < , la quantità 2 2 2 3 ε ε
− + è senz’altro più piccola di 2. Questo accade quando 2
ε
2
3 < ε ⇒ ε<6. Per valori di ε più piccoli di 6 risulta quindi x1< . D’altronde il condominio della 2 funzione f x( )= 3x+3 è
[
0;+∞)
quindi i valori di ordinata dei punti sulla funzione che stanno sotto3
y= possono distare da y=3 al massimo 3, pertanto avere ε<6 non contraddice la definizione di limite nel senso che sono tutti i valori ammissibili per quella funzione.
Seconda disequazione: 3 y= +ε 2 2 3 3 1 3 3 1 0 3 y x y x x y y = + = + ⇒ ⇒ = − ≥
la retta sovrasta la parabola in
(
−1;x2)
. Troviamo x2:2 3x+3= +3 ε ⇒ 3x+ = +3 9 6ε+ε 2 2 2 1 (9 3 6 ) 2 2 3 3 x = − + ε+ε = + ε+ε ed evidentemente x2> . 2
Intersezione delle soluzioni:
Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz’altro un intorno di 2, il cui raggio è
{
1 2}
min 2 x x; 2 ε δ = − − . Esempio 4 Verificare il limite: 2 3 5 6 lim 1 3 x x x x → − + = − La disuguaglianza: 2 5 6 1 x − x+ ε − < 2 x 3 3 y = +ε 1 − 3 0 2 3x + 3 − 3 > −ε 1 x 3x + 3 − 3 < ε 1 − x2deve essere soddisfatta in un intorno di x =3, della forma
(
3−δε; 3+δε)
. In questo caso la funzione non può essere calcolata in x =3, che comunque è un punto di accumulazione per il D:ℝ−{ }3 .Osserviamo che anche il numeratore ha x =3 come radice, quindi conviene semplificare, operazione che può essere eseguita solo se x ≠3:
(x−3)( 2) 3 x x − − − <1 ε ⇒ x−3 <ε ⇒ − < − <ε x 3 ε ⇒ 3− <ε x< + 3 ε
La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di x0 =3 di raggio δε =ε.
Studiare tomo C1 pp 32-35; es p29n1, verifiche limiti p 322 n3,9,11, p323 n20.
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