campi finiti

a.a. 2010-2011 30.3.2011

CAMPI FINITI

L’insieme Z/nZ := {¯0, ¯1, . . . , n − 1} delle classi di congruenza modulo n `e dotato di addizione e moltiplicazione definite da:

¯

n + ¯m =: n + m, ¯n · ¯m := nm

e tali che Z/nZ `e un gruppo abeliano rispetto all’addizione con elemento neutro ¯

0, la moltiplicazione `e associativa con elemento neutro ¯1, valgono le propriet`a dis-tributive1_{del prodotto rispetto alla somma}

(¯n + ¯m) · ¯p = ¯n¯p + ¯m¯p, ¯m(¯n + ¯p) = ¯m¯n + ¯m¯p, ossia Z/nZ `e un anello (commutativo)2_.

Se p ∈ N `e un numero primo, si scrive Z/pZ := Fp .

Esempio 0.1. a) In Z/12Z, ¯6 non ha inverso moltiplicativo infatti per ogni ¯n ∈ Z/12Z si ha ¯6¯n = ¯6 oppure ¯6¯n = ¯0.

b) In Z/13Z, ¯6 ha inverso moltiplicativo 11 infatti si ha ¯6 · 11 = 66 = ¯1.

Ricordiamo le seguenti propriet`a dei numeri interi (essenzialmente note ai matem-atici greci):

Lemma 0.2. Siano a, b ∈ Z nonnulli entrambi e sia d = MCD(a, b) allora aZ+bZ = dZ ossia esistono r, s ∈ Z tali che d = ra + bd.

Proof. <sub>Innanzi tutto aZ + bZ = {Z 3 n = ah + bl, h, l ∈ Z} `e un sottogruppo</sub> di Z infatti se n, n ∈ aZ + bZ chiaramente n − m ∈ aZ + bZ; inoltre se H ⊂ Z `e un sottogruppo esiste h ∈ Z tale che H = hZ. Se H = (0) vale H = 0Z, sia dunque 0 6= f ∈ H, poich´e H `e sottogruppo si ha che anche −f ∈ H, ossia H possiede elementi positivi; sia h il minimo fra questi, vogliamo provare che vale H = hZ; poich´e H `_{e sottogruppo si ha chiaramente hZ ⊂ H, facciamo vedere che vale anche} l’altra inclusione: per ogni n ∈ H scriviamo n = hq + r con 0 ≤ r < h poich´e n, hq ∈ H si ha che anche r ∈ H e quindi, per la minimalit`a di h, deve essere r = 0. Siccome aZ + bZ `e della forma hZ e siccome sia a che b stanno in aZ + bZ deve essere a = hj, b = hk per qualche j, k ∈ Z ossia h divide d. Viceversa siccome ogni intero e che divide a e b divide anche qualsiasi intero che sta in aZ + bZ si ha in particolare che e divide h, si ha quindi h = d.

Lemma 0.3. Siano ¯a, ¯c, ¯d ∈ Fp con ¯a 6= ¯0 se ¯a¯c = ¯a ¯d allora ¯c = ¯d

Proof. Poniamo ¯b = ¯c − ¯d per provare la tesi basta dimostrare che se ¯a¯b = ¯0 con ¯a 6= ¯0, allora ¯b = ¯_{0. Per provare questo siano a, b ∈ Z rappresentanti di ¯a, ¯b e} utilizziamo il seguente fatto:

“se un primo p divide il prodotto di due interi, divide almeno uno dei fattori” supponiamo che p non divida a, allora MCD(a, p) = 1 esistono quindi due interi r, s tali che 1 = rp + sa e b = rpb + sab, e siccome p divide entrambi gli addendi al secondo membro si ha che necessariamente p divide b.

1_{In realt`a, siccome il prodotto `e commutativo, basta verificarne una sola.}

2_{Verificare che l’insieme delle matrici quadrate di ordine n a entrate in un campo k `e un anello} non commutativo

2 CAMPI FINITI

Teorema 0.4. Se p ∈ N `e un numero primo, ogni elemento nonnullo di Z/pZ := Fp

possiede un inverso rispetto alla moltiplicazione, ossia Fp`e un campo (finito) con p

elementi.

Proof. Sia ¯_{a ∈ F}p un elemento nonnullo arbitrario, consideriamo le potenze

¯

a, ¯a2_{, . . . , ¯a}n_{, . . . poich´}

e tali potenze sono infinite ed Fp ha solo un numero finito di

elementi, ne esistono di uguali, sia per esempio ¯an _{= ¯a}m _{per qualche n > m vale}

¯

an−m_{= ¯1 ossia}

an−m−1_{¯a = ¯1, ossia per il lemma 0.3}

an−m−1_{= ¯a}−1_.

Esempio 0.5. Sia Q[ √

2] := {x ∈ R : x = a +√2b, a, b ∈ Q} provare che Q[√2] `e un campo.

Definizione 0.6. Dati due campi K ⊃ F un elemento α ∈ K `e algebrico su F se esiste un polinomio monico Xn_{+ a}

n−1Xn−1+ · · · + a1X + a0∈ F [X] di cui α sia

radice (ossia tale che αn_{+ a}

n−1αn−1+ · · · + a1α + a0= 0).

La chiusura algebrica di F in K `e il sottocampo di K contenente l’insieme di tutti gli elementi di K algebrici su F .

Un campo K `e algebricamente chiuso se ogni polinomio f (X) ∈ K[X] di grado positivo ha una radice in K.

Esempio 0.7. a) √

2 ∈ R, i ∈ C sono algebrici su Q sono infatti rispettivamente radici dei polinomi coefficienti razionali X2− 2, X2_{+ 1.}

b) Si dimostra che la chiusura algebrica R di Q in R `e un sottocampo numerabile di R.

c) π ∈ R non `e algebrico su Q.

d) R non `e algebricamente chiuso infatti se f (X) = X2+ aX + b ∈ R[X] soddisfa ∆ = √a2<sub>− 4b < 0, f (X) non ha radici in R; C `e algebricamente chiuso (teorema</sub>