20140708 ap4

Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica,

modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu) Probabilità e Statistica (6 cfu) Scritto del 08 luglio 2014. Quarto Appello Id: A

Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)

Problema 1 (tutti)

Si lancia una moneta 4 volte (P (Testa) = p 6= 1/2). Si consideri la v.a. X =  numero di volte che esce testa seguita immediatamente da una croce . Tenendo presente che risolvere l'esercizio con p = 1/2 verrà considerato errore, trovare

1. 4/30 i possibili valori assunti da X e le rispettive probabilità ; 2. 3/30 il valore atteso e la varianza di X;

3. 2/30 il valore di p che rende il valore atteso di X pari a 1/2 e il valore della varianza corrispondente;

Problema 2 (tutti)

Una v.a. X è distribuita secondo la densità p(x) = Ax(a − x). Determinare 1. 2/30 il parametro A in funzione di a;

2. 2/30 il valor medio, la varianza e la moda di X. 3. 2/30 tutti i momenti di X;

Problema 3 (solo esame 6 cfu)

Una v.a. X rappresentante una certa caratteristica di una popolazione è distribuita con legge di densità p(x) = C e−|x|/λ. Il parametro λ è incognito. Dalla popolazione si estrae un campione X1, . . . , XN. Per

stimare λ si decide di usare lo stimatore di massima verosimiglianza U. Dopo aver trovato C in funzione di λ,

1. 3/30 determinare esplicitamente tale stimatore U;

2. 2/30 dimostrare che U è non distorto e calcolarne la varianza;

3. 3/30 facendo uso del teorema di Cramer-Rao dimostrare che U ha varianza minima. Può risultare utile sapere che R+∞

0 x

n_e−x/x0_{d x = n!x}n+1

0

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

Da una popolazione normale si estrae il seguente campione 3.15861, −0.797344, −0.68987, −3.09965, 0.375913, 2.34891, 1.55703, −1.96963, −0.347123, −0.23642, −1.34359, 2.00492,

1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative, media e varianza campionaria.

2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la media della popolazione.

3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la varianza della popolazione.

Soluzione

Problema 1 (tutti)

1. Il modo più semplice è di elencare i 24_{= 16casi possibili ed osservare il valore che assume X e la prob.}

associata. Nel dettaglio (q = 1 − p)

P (T T T T ) = p4 X = 0 P (T T T C) = p3_{q X = 1} P (T T CT ) = p3q X = 1 P (T T CC) = p2_q2 _{X = 1} P (T CT T ) = p3_{q X = 1} P (T CT C) = p2q2 X = 2 P (T CCT ) = p2_q2 _{X = 1} P (T CCC) = pq3 X = 1 P (CT T T ) = p3_{q X = 0} P (CT T C) = p2_q2 _{X = 1} P (CT CT ) = p2_q2 _{X = 1} P (CT CC) = pq3 _{X = 1} P (CCT T ) = p2q2 X = 0 P (CCT C) = pq3 _{X = 1} P (CCCT ) = pq3 X = 0 P (CCCC) = q4 _{X = 0}

da cui segue che X = 0, 1, 2 e le prob. sono P (X = 0) = p4_{+ qp}3_{+ p}2_q2_{+ q}3_{p + q}4_{, P (X = 1) =}

3p3_{q + 4p}2_q2_{+ 3pq}3_{e P (X = 2) = p}2_q2_.

2. Con un pò d'algebra si trova E[X] = 3pq e Var[X] = pq(3 − 7pq). 3. Basta risolvere p(1 − p) = 1/6 che è di secondo grado in p. Il risultato è

p = 1 2 ± 1 2 1 √ 3. Per tale valore di p la varianza diventa 11/36.

Problema 2 (tutti)

1. Tutti gli integrali che compaiono in questo esercizio sono elementari. Dalla normalizzazione si ricava facilmente

A = (n + 1)(n + 2)

a(n+2) n = 1, 3, 5

per le tre versioni del compito.

2. Risultano E[X] = ((n + 1)/(n + 3)) a; Var[X] = 2((n + 1)/(n + 3)2_{/(n + 4)) a}2_{; la moda è (n/(n + 1))a.}

3. Con semplici passaggi

E[Xm] = (n + 1)(n + 2) (n + m + 1)(n + m + 2)a

m

1. Usando la condizione di normalizzazione si trova 2Cλ = 1. Risulta comodo valutare anche i momenti di |X| E[|X|n] = C Z +∞ −∞ |x|n_e−|x|/λ_{d x = 2C}Z +∞ 0 xne−x/λd x = . . . = n!λn. La verosimiglianza risulta L = CNe−Pi|xi|/λ_⇒ ∂ log L ∂λ = − N λ + 1 λ2 X i |xi| da cui U = 1 N X i |Xi|.

2. Usando il risultato precedente si trova facilmente

E[U ] = . . . = E[|X|] = λ per cui U è non distorto.

Per la sua varianza si ha

Var[U ] = . . . = Var[|X|] N = 1 N E[|X| 2_{] − E[|X|]}2_{ = . . . =} λ 2 N 3. Il teorema di Cramer-Rao applicato al caso in esame aerma che

Var[U ] ≥ 1 N ( Z +∞ −∞  ∂ ∂λlog p(x; λ) 2 p(x; λ) d x )−1

L'integrale da calcolare risulta essere pari a 1 λ2 + E[|X|2_] λ4 − 2 E[|X|] λ3 = . . . = 1 λ2.

Pertanto lo stimatore di MV è anche quello a varianza minima. Può risultare utile sapere che R+∞

0 x

n_e−x/x0_{d x = n!x}n+1

0

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

1. ¯X = 0.080146, N = 12, S2

11= 3.50755

2. Al 95% [−1.1098, +1.2701], al 99% [−1.5990, +1.7593] 3. Al 95% [+1.7602, +10.112], al 99% [+1.4420, +14.821]