Utilizzazione della funzione gamma a due parametri per la determinazione probabilistica delle portate di piena dei corsi d'acqua della Sardegna

S1~UDI

_SASSARESI

Sezione

III

1977

Volume

XXV

ANNALI DELLA FACOLTÀ DI AGRARIA DELL*UNIVERSITA

DI SASSARI

DIRETTORE: O. SERV AZZI

COMITATO DI REDAZIONE: M. DATTILO· F. FATICHENTI - L. lODA· F. MARRAS

A. MILELLA - P. PICCAROLO - A. PIETUACAPRINA - R. PROTA • G. RI VOlRA R. SATTA - C. TESTINI • G. TORRE - A. VODRET

ORGANO UFt'letALE

DELLA SOCIETÀ SASSARESE DI SCIENZE MEDICHE E NATURALI

GALLIZZI - SASSARI - 1978

(Direttore: Prof. Ing.

GUGLIELMO TORRE)

Utilizzazione della funzione gamma a due parametri per la

determinazione probabilistica delle portate di piena dei corsi

d'acqua della Sardegna

GIOVANNI ROSA

Premessa

Numerose sono le leggi probabilistiche applicate in idrologia per

deter-minare, utilizzando le serie di osservazioni,

i

valori di massima

precipita-zione o di massima piena prevedibiIi, nei rispettivi bacini, con prefissati tempi

di ritorno.

Prr quanto concerne la Sardegna la regolarizzazione delle portate dei

principali corsi d'acqua è già stata fatta da altri studiosi impiegando leggi

diverse da quella che in questo lavoro si intende utilizzare per valutarne i

limiti di applicabilità. Motivo di questa ricerca

è

quindi quello di saggiare

la possibilità di adattamento della funzione di distribuzione gamma a due

parametri alla regolarizzazione dei massimi valori di portata annuali registrati

in alcuni bacini imbriferi della Sardegna.

Richiami statistici

L'integrale euleriano di seconda specie

r(ct)

=

10

00

X/t-I e-O

dx

per

ct>o

è

detto funzione gamma dì

a.

Per

a

intero e positivo si può inoltre porre:

r(l

+a) ::: a!

370

L'espressione

f(x)

= - - -

xo:-

I

_e-'

r(/l)

definisce una funzione di distribuzione di frequenza detta funzione di

distri-buzione gamma ad un solo parametro.

L'integrale della (3) e cioè:

.

1

00

F(x)

== - - -

J.

xa-

I

e-' dx

r(/l) o

dà la distribuzione cumulata della frequenza gamma, che generalmente è

posta nella forma

avendo indicato

rX(/l)

F ( x ) =

-r(/l)

L'integrale (6) è definito funzione gamma incompleta.

(6)

Per gli studi idrologici si è visto che l'espressione (3) non si adatta molto

bene alla regolarizzazione dei dati pertanto ad essa si sostituiscono altre

espressioni del tipo:

cp(x)

= ----

xo:-

I

e-

T

oppure

1_'l0

g

(X-X,):::::: - - - - (X-XO)Cl-'

e-

~

(8)

con x,

~

x:::;;

00

dette rispettivamente funzioni di distribuzione gamma a due (7) o a tre (8)

parametri.

x

La (7) è identica alla (3) per

~

=

l, con la trasformazione -::::::

y

e

~

ponendo

11

cp(x) ::::

G(y)

l'equazione (7) si riduce all'equazione (3) quando

11

>=

1 perciò:

1

~cp(x)

::::

G(y)

== - -

==

yct-'

e-'

ra.

a.

e

~

sono rispettivamente

il

parametro di forma ed

il

parametro di scala

che debbono stimarsi attraverso i dati disponibili per poter studiare la

distri-buzione indicata_

Tali parametri possono ottenersi sia col metodo dei momenti che con

quello della massima verosimiglianza.

Indicando con

x

e s' rispettivamente la media e la varianza stimate

dai dati a disposizione,

i

parametri cercati si ricavano col metodo dei

mo-menti risolvendo il sistema delle due equazioni

da cui:

a.~:::X

a.

11

1 ::::

s'

s'

11:::::

-=

X

(IO)

Molto più elaborata risulta la determinazione dei parametri col metodo

della massima verosimiglianza

il

quale consiste essenzialmente nel derivare

372

risolvere le conseguenti equazioni che si ottengono eguagliando a zero le

due derivate parziali. La funzione di verosimiglianza del campione

L

fl • f2 •

f, ... f.

(II)

viene espressa come una quantità proporzionale al prodotto delle densità

di probabilità che

a loro volta risultano date da:

fl (Xl, a, b, c ... k)

(Il)

ed in cui

XI

indica un valore generico del campione, mentre a, b, c ...

k

sono

parametri della legge di probabilità relativa alla distribuzione studiata.

Poiché la

(II)

può porsi nella forma:

I. L

=

1.

CI

+

l.

f, ...

+

l.

f.

e cioè:

N

l. L

=

L

l.

fl

1

ne segue che

N

o

In L

O

L

l.

f

l

- - =

(15)

O

a

O

a

Eseguendo quindi le derivate parziali della

(14)

rispetto a ciascun

parametro si otterranno le

(15)

che uguagliate a zero danno

il

sistema di

equazioni da cui si ricavano i parametri cercati.

Applicando pertanto alla (7) quanto detto si ha:

x

l.

<p(x)

= -

l.

rea) -

a

l.

~

+

(a

-1)

1.

X -

Tab.

I

.

Corso

d

'ac

qua

e

stazione

di

misura.

Anni

di

fun

z

ionamento

e

numero

delle

oss

e

r

vazioni.

ANNI DI FUNZIONAME TO

N.

orso d' acq ua e stazione di misura 22

23

25

26

29

3 0

3

1

33

34

35 37 39 43 44 45

47

4 9 ---1 1 - - - ----2 3 4

5

6

7

8

9 _{IO II} 12 13

15

16

7:

7

18 19 20 21 Fluminimannu ad Is Acquas Fluminimaggior e a Fluminimaggiore Tirso a Rifornitor e Tirso Taloro alla pass ere lla d i Gavoi Tirso a anta hiara d'Ula Araxis i a Orto Sciavico Flumin ed du ad Alla i T e mo a R e inamare ]dannu di Ozi e ri a Pont e della L e gna Rio di Buttul e a Buttul e Mannu di Ozi e ri a Fraigas ]dannu di B rchidda a B erchidda Rio di Oschiri a Concarabella og hin as a ]duzzon e L i scia a Lis c ia edr ino a edr ino Fodd e ddu a orongiu Flum e ndosa a Gadoni Flum ndosa a Villan ovatu lo Flum e ndosa a Monte Scrocca Sa ~cocca a ]donte Acuto

..

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60

61

I

f)2

--1--..

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66 6

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..

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..

..

..

..

..

s

373

da cui

o

In

cp(x)

oa

avendo indicato con 'l'Ca-l) la derivata di

111

r(a),

detta anche funzione

digamma di

et

[F(a)]

o

In

cp(x)

a

x

- - - - =

+

-o

ç3

~

fil

Dalle equazioni

(16)

e

(17)

eguagliate a zero si ricava

il

sistema:

1

N

a

fi

==

-"I:i

XI

N

1

1

N Xi

F(a)

==

-"I:I

111-N

I

(3

la cui soluzione fornisce

i

parametri cercati.

(18)

La funzione

F(a)

è risolta mediante uno sviluppo in serie ed

il

para-metro

a

risulta da])a:

l+yt+: A

a

==

-

aa.

(19)

4A

in cui

aa

è un termine correttivo mentre A

è dato da:

1

N

1

N

A

==

In -

l:i

XI - -

"I:i

111 Xi

N

I

N

I

Nell'applicazione pratica il metodo della massima verosimiglianza risulta

piuttosto laborioso e ad esso può sostituirsi, in alcuni casi e con le dovute

riserve

t

il

metodo dei momenti che consente maggiore speditezza dei calcoli

~

quanto è stato fatto in questo lavoro, giacché lo scopo è solo quello

di saggiare

i

limiti di applicabilità

d~lla

funzione gan:ma a due parametri per

la regolarizzazione dei dati di massima portata di alcuni bacini imbriferi

della Sardegna, e quindi ricavare valori statisticamente validi per la

riso-luzione dei problemi ad essi connessi.

Il test del X" e quello del segno eseguito sui dati regolarizzati indicano,

per ogni bacino,

i

limiti della validità della ricerca fatta.

M

etodologia

Si sono analizzati

i

dati di portata relativi a ventuno corsi d'acqua per

i quali si aveva un periodo sufficientemente lungo di osservazione e tale

da consentire una valida elaborazione statistica (Tab.

I)

Per ogni corso d'acqua sono state considerate le massime portate

gior-naliere annue medie e quindi

il

numero dei dati -

per ogni stazione di misura

-

è risultato pari al numero degli anni delle rispettive osservazioni.

Con una prima elaborazione statistica si sono determinate le medie

Ci

e le varianze

S2

che sostituite nel sistema

(I I)

hanno portato alla calcolazione

dei parametri

(J.

e

~

da introdurre in ogni singola regolarizzazione; le ventuno

copie di valori così trovati sono stati raccolti nella Tab.

II.

In appendice sono

Tab. II -

Valori dei parametri

ti.

e

f3.

Corso d'acqua e stazione di misura

ex.

~

Fluminimannu ad Is Acquas

1,980 4.416

FI

uminimaggiore a Fluminimaggiore

3,657 4,005

Tirso a Rifornitore Tirso

1,559 74.381

Taloro alla passerella di Gavoi

2,261 35,843

Tirso a Santa Chiara d'Ula

3,186 102,653

Araxisi a Orto Scia vico

2,647 9.988

Flumineddu ad Allai

2,228 66,'02

Temo a Reinamare

5,3 13 II,9

8

3

Mannu di Ozieri a Ponte della Legna

_4·°44 21,837

Rio di Buttule· a Buttule

1.624

26.555

l\tannu di Ozieri a Fraigas

2,645 54.2₅₈

Mannu di Berchidda a Berchidda

1,709

7

2_.°76

Rio di Oschiri a Concarabella

1,671 _4°.569

Coghinas a Muzzone

3,23 6 I06,058

Liscia a

Lis~ia 0,806. 15°.579

Cedrino a Cedrino

1,449 129.597

Foddeddu a Corongiu

0. 865 29.457

Flumendosa a Gadoni

1,159 156 ,254

Flumèndosa a Villanovatulo

0,953 205,14

8

Flumendosa a Monte Scrocca

0,676 4 11 ,82

5

375

state trascritte, per ogni valore di

et,

le tavole per

il

calcolo della funzione

gamma incompleta a due parametri. Nella Tab.

III

sono invece sintetizzate

le elaborazioni di calcolo eseguite per «Taloro alla Passerella di Gavoi

».

In questa tabella

è

riportato. oltre al numero d'ordine, l'anno ed i

corri-spondenti valori delle rispettive portate che nella sucessiva colonna vengono

disposte in ordine crescente. Con riferimento a detto ordine sono state

cal-colate poi le frequenze effettive di non superamento F. attribuibili a

cia-scuna portata.

Per mezzo delle tavole riportate in appendice, in corrispondenza al

cal-colato valore di

a.

si è determinato

il

valore della quantità x corrispondente

ad ogni frequenza F •.

Ricordando che la distribuzione studiata e quella detta «a due

para-metri» ne segue che i valori x altro non sono che i valori delle portate,

divise per

il

coefficiente

~,

corrispondenti alle frequenze effettive F.. Le

F, sono invece le frequenze teoriche che si deducono dalle tavole, per i valori

O

delle portate

Xl

= -.

La portata regolarizzata

Onl

=

X

B

e

il

valore del

~

segno, conseguente alla differenza (O -

O",), sono i dati trascritti

rispetti-vamente nelle ultime due colonne della citata tabella.

La fig.

I

rappresenta la curva regolarizzatrice ricavata coi valori

osser-vati nel periodo considerato per «

Taloro alla Passerella di Gavoi ».

Per effettuare alcune considerazioni conclusive si sono calcolate le

por-tate massime medie giornaliere centenarie relative ad ogni corso d'acqua

con riferimento alla relativa sezione di misura. Tutti i dati così trovati sono

riuniti nella Tab. IV.

La validità della regolarizzazione studiata è stata infine verificata col

test del X' e con quello del segno.

Nella Tab. V sono precisate le elaborazioni di calcolo per la

determi-nazione del X'. derivante dal confronto tra la frequenza effettiva e quelle

teoriche risultanti dalla regolarizzazione effettuata per

il

fiume Taloro.

Per tutti i corsi d'acqua studiati (Tab. VI) sono infine riportati i

rispet-tivi valori del

l.

osservato e quello del

"1..'<,

a livello di significatività

0,10,

per un numero di gradi di libertà conseguenti alle rispettive divisioni in classi.

Nella stessa tabella è riportato anche il valore \Va che rappresenta

il

più

piccolo dei numeri dei segni positivi o negativi degli scarti

(O -

O,..)

nonché

Tab.

III - Portate e frequenze di:

«

Taloro alla passerella di Gavoi

».

Q

Segno

N.

Anno

(Q)

Q

FI!

X

Ft

X I = - Orei = X

r1

~

Q-Qreg

l 1922 35. 00 20,00 0, 02 56 0,331

5

0.°7 10 0.55798 II,88

₊

2 23 33.90 20,7° 0,°512 0.47°° 0,0759 0,5775 1 16.85

+

3 24 73. 00 20.7° 0.°769 0.581 7 0,°759 0,57751 20,85

-4

25 30 ,80 24,40 0, 1025 0.6799 O,}027 0, 68073 24,37

+

5 26 20,00 3°,00 0.1282 0,77°7 0,1479 0,83697 27,62

₊

6 27 72 •00 3°,80 0,1538 0,8563 0.1547 0,85929 30,69

₊

7 28 61,80 32,10 0,1794 0.938

3

0. 1659 0.89556 33,63 8

29

32,10 33.30 0,2051 7,

or85

0,,176

5

0,929°3

3

6.50

-9 193° 101,00 33.9° 0,23°7 1.0969 0. 1817 0,94577 39.32

-IO ₃1 _{54,30 35,00 0,25}

₆₄

_{1.1746 0,1915 0,97646 42.10}

-I -I 32 30,00 39,70 0,2820 1,2516 0,234 2 1,1°759 44,86

-12 33 24.40 44. 60 0,3076 1.3285 0,2796 1,24429 47. 62

-13 34 53. 60 53,60 0,3333 1,4°60 0.3626 1.49538 5°.40

+

14 35 151,00 _54.3° 0,35 89 1,4839 0.3690 1.5 1491 _{53. 19}

₊

15 36 7°,00 57,00 0.3846 1.563° 0,3934 1,5902 4 56,02

+

16 37 39.70 61,80 0,4 102 1,6430 0,4357 1,724 15

5

8,89

₊

17 3 8 80~20 7°,00 0,4358 1,7245 0,5044 1,95292 61,81

₊

18 1941 57,00 71,4° 0.4 61 5 1.8081 0.5 156 1.991₉₈ 64,81

₊

19 42 86.20 72,00 0.4871 1.8936 0.5 2Q4 2,00872 67. 8

7

+

20 43 33,30 73. 00 0,5 128 1,9820 0,5 282 2,03662 71_,°4-

+

21 44 9°.70 74.3° 0,53 84 2,°730 0,5384 2,°7 289 74.3° o 22 45 44. 60 78 .90 0.56

4

1 _{2. 167° 0.573°} 2,20122 77,69

+

23 46 13°,00 80,00 0,5897 2. 2658 0,5810 2.231₉1 81,2I

-24 47 104,00 80.20 0, 61 53 2,3685 0,5824 2,23749 84.90

-25 48 90.70 86,20 0,64 10 2,4768 0. 6241 _2,4°489 88,78

-26 49 25 6 ,00 9°,70 0,6666 2.5906 0,653 2 2,53°43 92,85

--27 195° 20,70 9°,70 0,6923 2,7120 0,653 2 2,53°43 97. 21

-2B 51 147,00 101,00 0.71₇₉ 2.841

4

0.71_{33 2, B1}

₇₇₉

_101.85

-29 52 Bo,oo 104.00 0,7435 2,9 B09 0,7 292 2.901 49 106,85

-30 53 116.00 106,00 0,7 692 3,1331 0.7393 2.95728 112,30

-31 _{54 20.7°} n6,oo 0.794 8 3,3°00 0.7853 3. 23 627 l1B,28

-32 55 106,00 13°. 00 0, 8205 3.4 867 0,8379 3.62686 124,98

+

33 56 145.00 14°,00 0,84 61 3,6978 0,8680 3.9°585 132,54

+

34 57 14°.00 145,00 0,8717 3,95°3 o,B8n 4.°4.5.34 141.59

+

35 58 224.00 147,00 0,8974 4. 2397 0,8860 4. 1011 4 151.97

-36

59

71,40 151,00 0.92

3

0 _4.6128 0,8953 4. 212 74 165,34

-37 1960 74.3° 224,00 0,94

8

7

5,

1291 0.9534 6,24936 183,85

+

38 61 7

8

.90 256 ,00 0,9743 5,9

8

40 0,9902

7.

1

4

212 21 4.49

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Tab. IV

~

Portate massime medie giornaliere centenarie.

Corso dJacqua e stazione

Fluminimannu ad 1s Acquas

Fluminimaggiore a Fluminimaggiore

Tirso a Rifornitore Tirso

Talora alla passerella di Gavoi

Tirso a Santa Chiara d'Ula

Araxisi a Orto Sciavico

Flumineddu ad Allai

Temo a Reinamare

Mannu

di

Ozieri a Ponte della Legna

Rio

di

Buttule

a Buttule

Mannu di Ozieri a Fraigas

Mannu di Berchidda

a Berc11idda

Rio di Oschiri a Concarabella

Coghinas

a Muzzone

Liscia a Liscia

Cedrina

a Cedrina

Foddeddu a Corongiu

Flumendosa a Gadoni

Flumendosa a Villanovatulo

Flumendosa

a

1\fonte Scrocca

Sa Picocca a

~Ionte

Acuto

m"/sec

3°

4°

435

260

9°0

80

475

145

2.2.5

160

4

2

₅

44°

245

94°

625

7

2

₅

J30

785

925

15

85

135

il

valore di

Wc,

che a livello di significatività

D,IO,

rappresenta

il

dato

ca1colato dal Wine col quale occorre confrontare

Wo.

Affinché la

distribuzione studiata non sia da rifiutarsi al livello di si·

gnificatività prefissato

è

necessario che

"1.:o<X2c

e che nel contempo

Wo<Wc.

Tab. V - Calcolo del

"l

per

« Taloro alla passerena di Gavoi

'*.

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5

0.5

1

56

13,02 16,16 1.241 IO

I

0.7179 0.71

33

I

1.72 5.19 \ 0.673 IO

-

-

10,18 0,03 0,003

L

38

1:

38 .00

2,437

378

L'esame della Tab. VI consente le seguenti considerazioni:

1)

la distribuzione studiata non è accettabUe per Tirso a Rifomitore Tirso,

Mannu di Ozieri a Fraigas, Rio di Oschiri a Concarabella, Liscia a

Liscia e Flumendosa a Gadoni poiché

il X

2

0

è risultato maggiore di

'1.

2.:;

2)

per

il

Rio di Buttule a Buttule, Cedrino a Cedrino e Flumendosa a Monte

Scrocca la distribuzione gamma a due parametri non può accettarsi poiché

al test dal segno è risultato che W.:2:: .. Wo.

Tab. VI -

Test

del '1.

2

_{e del segno.}

Corso d'acqua e stazione

_'1.

20

XlI!

_Wo

Wl;,

Fluminimannu ad Is Acquas

l,55 2,71 14- 12

Fluminimaggiore a Fluminimaggiore

1,°4 2,71 18- 14

Tirso a Rifornitore Tirso

12,09 4,61 22- 16

Taloro alla passerella di Gavoi

2;24 2,71 18- 14

Tirso a Santa Chiara d'Ula

1,74

2,71 19- 14

Araxisi a Orto Sciavico

5,12 6,25 20- 15

Flumineddu ad Allai

1,80

2,7 1 15- I I

Temo a Reinamare

2,29

4.

61 21

+

16

Mannu di Ozieri a Ponte della Legna

0,65 2,71

9-

7

Rio di Buttule a Buttule

0,53 2,7 1 11- 14

Mannu di Ozieri a Fraigas

7,91 6,25 21-

17

Mannu di Berchidda a Berchidda

0,05

2.7

1 13- 12

Rio di Oschiri a Concarabella

6,47 6.25 21

+

15

Coghinas a Muzzone

0,94 6,25 19+ 15

Liscia a Liscia

14.45 2.71 16- 14

Cedrino a Cedri no

0,°3 2.71 14-

14

Foddeddu a Corongiu

2.27 2.71 14+ lO

Flumendosa a Gadoni

7,20 6.25 16- 13

Flumendosa a Villanovatulo

2,44 2.71 14- I I

Flumendosa a :l\Ionte Scrocca

t.89 2.7 1 10- 14

Sa Picocca a Monte Acuto

3.03

4.

61 19+ 14

Conclusioni

Le ultime considerazioni fatte sui test di significatività portano

a

con·

eludere che la legge di distribuzione studiata può ritenersi certamente valida

poiché essa è da rifiutarsi solo per otto corsi d tacqua sui ventuno esaminati.

L'esame dei valori delle portate massime medie giornaliere centenarie

(Tab. IV) induce poi alla formulazione di un altro giudizio positivo.

Infatti se questi dati vengono confrontati con quelli ottenuti in un ana·

logo studio fatto dal Lazzari per alcuni corsi d'acqua della Sardegna si nota

che essi poco discostano o ben si accordano a quelli trovati, mediante altre

leggi probabilistiche, dall'autore citato.

La legge probabilistica studiata può quindi essere compresa tra quelle

più comunemente usate (Galton, Gumbel, Frechet) per il calcolo della

mas-sima piena centenaria o millenaria nei corsi d'acqua della Sardegna.

Non va però dimenticato che queste ultime sono quelle più utilizzate,

in particolar modo la log-normale di Galton, che resta sempre quella

mag-giormente impiegata per la prevalente rapidità di .applicazione.

RIASSUNTO

Dopo una breve premessa ed alcuni richiami statistici sulla funzione

gamma a due parametri si espone la metodologia impiegata per la

regolariz-zazione, con la legge probabilistica citata, delle portate massime medie

gior-naliere registrate in alcuni bacini idrografici della Sardegna.

Col test del X' e quello del segno vengono saggiate tutte le

regolariz-zazioni effettuate e

da esse si nota come la legge probabilistica studiata possa

validamente applicarsi alla previsione delle piene dei corsi d'acqua della

Sardegna.

SUMMARY

After a brief introduction and some statistical remarks on the gamma

function in two parameters, we are going to explain the methodologie used.

according to the quoted law of probabilities, to regularize the daily maximum

average capacity, wich has been recorded in some hydrographic bassins in

Sardinia.

AlI controlls carried out are tested by X' and sign tests, (rom these wc

note that the studied law of probabilities may be validly applaied to the

forecasl of the riviers in flood in Sardinia.

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