Riassunto della tesi di laurea
La formula di Kubo: aspetti non perturbativi della
superconduttivit`
a
di Emanuele Costa, relatore prof. Giovanni Morchio, universit`a di Pisa In questo lavoro discutiamo il fenomeno della superconduttivit`a da un punto di vista teorico e generale: lo strumento principale che utilizziamo `e la formula di Kubo.
Il lavoro si divide sommariamente in due parti. Nella prima parte discutiamo il fenomeno della superconduttivit`a in generale. Introduciamo la fenomeno-logia dell’effetto Meissner, e la teoria classica di London; discutiamo la scelta di adottare l’effetto Meissner come un criterio di superconduttivit`a. Accen-niamo alle teorie “classiche” della supercondutivit`a, il modello microscopico BCS e il modello di rottura spontanea della simmetria locale (Weinberg), insieme ad alcune evoluzioni recenti. Discutiamo le premesse, gli obiettivi, e i limiti di queste teorie; all’interno di questo quadro sommario si possono apprezzare le caratteristiche dell’approccio alla superconduttivit`a che abbia-mo adottato, e valutare il contributo apportato alla discussione generale. Dedichiamo particolare attenzione all’interpretazione di S. Weinberg della superconduttivit`a, come rottura spontanea della simmetria di gauge locale del campo elettromagnetico: questo punto di vista `e confrontato con un pos-sibile scenario alternativo, basato sulla rottura spontanea di una simmetria di fase globale. A questo proposito, proponiamo una costruzione, che non usa il meccanismo di Higgs, per spiegare la superconduttivit`a, limitatamen-te all’effetto Meissner e per sislimitatamen-temi relativistici; questa costruzione sfrutta essenzialmente soltanto covarianza e condizione spettrale. Suggeriamo che, in un contesto relativistico, la covarianza `e di per s´e sufficiente per discutere la superconduttivit`a, che a posteriori pu`o essere naturalmente interpretata come la rottura spontanea di una opportuna simmetria globale, attraverso il teorma di Goldstone standard.
Infine, presentiamo in dettaglio la nostra strategia per affrontare la super-conduttivit`a: si tratta dello studio della risposta lineare, in corrente, di un sistema non relativistico di particelle cariche a un campo elettromagneti-co. La formula fondamentale `e nota come formula di Kubo, e il coefficiente della risposta lineare coefficiente di Kubo: stabiliamo una connessione fra l’effetto Meissner, che adottiamo come criterio di superconduttivit`a, e il coefficiente di Kubo. In particolare, deriviamo che la presenza (l’assenza) di effetto Meissner, ovvero di superconduttivit`a, equivale alla condizione GKubo(~k → 0) > 0 (= 0).
Nella seconda parte discutiamo in maggiore dettaglio la struttura del coef-ficiente di Kubo: in particolare, analizziamo la funzione di correlazione
corrente-corrente che compare nella formula. Ci occupiamo di sistemi di particelle in campo elettromagnetico esterno. Deriviamo una regola di som-ma, utilizzando la formula di conservazione della corrente, e usiamo questa regola di somma per scrivere il coefficiente di Kubo come una divergenza; successivamente utilizziamo la formula ottenuta per proporre un’interpreta-zione della superconduttivit`a come un “effetto di bordo”. Si discute anche il collegamento fra il coefficiente di Kubo e la variazione (al secondo ordine perturbativo nel campo esterno) della densit`a di energia dello stato fonda-mentale, dimostrando che stato normale e superconduttore si distinguono per una variazione dell’energia del sistema. Infine, proponiamo una scrittu-ra della formula di Kubo, basata su covarianza e condizione spettscrittu-rale, che permette di trattare molto semplicemente il caso relativistico; discutiamo la relazione con la teoria di Weinberg, e le difficolt`a che impediscono l’esten-sione al caso non relativistico.
In una sezione “esempi” applichiamo la formula di Kubo per discutere la superconduttivit`a di sistemi di elettroni liberi e di elettroni interagenti in approssimazione di Hartree-Fock: mostriamo che questi sistemi non sono superconduttori, nel senso che non esibiscono effetto Meissner, pur essendo infinitamente conduttori nel limite di temperatura 0. In un capitolo sepa-rato analizziamo il modello BCS, che si distingue dai sistemi di elettroni studiati per alcuni dettagli importanti; verifichiamo che, come ci si aspetta, il modello BCS descrive un “vero” superconduttore.
Successivamente, estendiamo la discussione a sistemi fisici in cui il campo elettromagnetico `e trattato come un vero grado di libert`a quantistico; si propone uno schema di approssimazione in cui collocare la formula di Ku-bo, in cui il ruolo del campo elettromagnetico che compare nelle formule `e definito con grande cura. Il punto fondamentale `e l’approssimazione dello stato fondamentale “vero” del sistema con uno stato fattorizzato, prodotto di uno stato (generico) per la materia e di uno stato (coerente) per il cam-po elettromagnetico. Questo accorgimento permette di evitare discussioni fumose, spesso presenti in letteratura, sulla divisione artificiosa del campo elettromagnetico in una parte “esterna” e in una parte “interna”, o “indot-ta”. Dimostriamo che questo schema di approssimazione `e essenzialmente equivalente a un metodo variazionale; discutiamo infine alcuni aspetti non perturbativi potenzialmente accessibili con questo schema di approssimazio-ne, particolarmente interessanti per studiare il problema della supercondut-tivit`a.
Presentiamo anche una breve introduzione alla teoria dei campi assiomatica, che fornisce il quadro generale all’interno del quale si colloca il formalismo utilizzato. Il riferimento alla teoria assiomatica risulta uno strumento im-portante per discutere alcuni passaggi importanti e formulare alcune ipotesi di lavoro con un linguaggio preciso, privo di ambiguit`a.
