fuffa-11-11-23

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penalit`a

23 novembre 2011 – tempo a disposizione : 30 minuti

totale

(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)

Esercizio 1. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4

• Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. I vettori v1, . . . , vn∈ V si dicono linearmente dipendenti se

Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = -2 ; risposta esatta = +2

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Sia V = {p(x) ∈ R[x] | degp(x) ≤ 2}, allora {p(x) ∈ V | p(1) = 1} `e un sottospazio vettoriale A matrice 2 × 3 =⇒ rkA ≤ 2

F : R2

→ R3 _{lineare =⇒ F non `}_{e surgettiva}

A, B matrici 2 × 2, rkA = rkB = 1 =⇒ rk(A + B) = 1

A matrice 3 × 3, rkA = 3 =⇒ Ax = b si risolve per ogni b ∈ R3

F : R2_{→ R}2 _{lineare, {v}

1, v2} base di R2=⇒ {F (v1), F (v2)} base di R2

U, V sottospazi di R5, dimU = dimV = 3 =⇒ dimU ∩ V ≥ 1 A matrice 4 × 3, rkA = 3 =⇒ F (x) = A · x `_{e iniettiva da R}3

a R4

Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = −1 risposta esatta = +2

• Il rango della matrice      1 2 1 0 1 1/2 −1 2 1      ` e • Sia V = {         x1 x2 x3 x4         ∈ R4 _{: x}

1+ x2− x4= 0, x1− 2x2+ x3− x4= 0}; una base per V `e

• Sia F      x1 x2 x3      =      x1+ x2 x2− x3 x1+ x3      ; dim ImF =

• Sia V = {p(x) ∈ R[x] | degp(x) ≤ 2} e sia F : V → V definita da F (p(x)) = p(1)(x2_{+ 1) + p(0)(x}2_{− 2). Allora}

dim KerF = • L’applicazione lineare da R3 a R4 data da F      x1 x2 x3      =         x1 −x2− x3 x1+ x2+ x3 x2         ` e