11·11])1([ +=+=+=+= RCjRRCjCjCjRCjRCjCjRCjRCjRCjR +=+=+=+= ·11·1·1·11·11 ERCjERCjCjCjECjRCjCjECjRCjV rrrrr + += += ·)1(1·)1(1·)1(1 ECjRCjCjRRVCjRRV rrr += 11 ECjRCjV rr ++++ − R R ++++ − R R C

ESERCIZIO 1: Il circuito opera in regime sinusoidale e l’operazionale è da ritenersi ideale. Si vuole determinare: a)la relazione analiticacostitutiva V₁=ƒƒƒƒ(ES) fra il fasore della tensione v₁(t) e il fasore della tensione del generatore di segnale e_S(t). Successivamente, nell’ipotesi che siano assegnati i seguenti valori: R1 =R₂=R; R3=2R; C2=(3/2)C₁; L₁=4mH; L2=5mH; M=3mH;

C_S=200µµµF; Rµ _S=4,5ΩΩΩΩ, sapendo che: i_S(t)=0,9·sin(10³·t−−−−ππππ/2), [A] e_S(t)=4·cos(10³·t) [V], si vuole:

b)determinare la tensione V_S ai morsetti del generatore indipendente i_S(t), la potenza P_S dissipata dalla resistenza RS nonché la potenza attiva, reattiva e apparente erogate dal generatore ideale di corrente i_S(t). (Come modulo del fasore si assuma il valore di picco o ampiezza della sinusoide)

L’amplificatore operazionale di figura1,realizza,come si evince per ispezione diretta, una tipica configurazione di amplificatore NON invertente la cui relazione costitutiva, indicando con V⁺ il fasore della tensione relativa al morsetto non invertente, è data dalla seguente scrittura:



+



 



 +

= V

C j R V R

r

r ·

) 1

1 (

2 2

1 3

ω

Sempre per ispezione diretta, la rete di figura 1a evidenzia come la tensione applicata al morsetto non invertente dell’operazionale dipenda dal fasore della tensione del generatore ideale di segnale E_S tramite la legge del partitore resistivo di tensione; si ottiene:

E

S

C R j

C V j

r r

1 1

1

1 1

ω ω +

+

=

Si perviene alla determinazione della relazione costitutiva dell’amplificatore di tensione realizzato con amplificatore operazionale in configurazione NON invertente; si ottiene, infatti, la scrittura:

E

S

C j R

C j C

j R V R

C j R V R

r r

r ·

) 1

(

· 1 ) 1

1 ( ) ·

1 1 (

1 1

1 2

2 3 2

2

1 3





 





 +



 



 +

 =



 



 +

=

⁺

ω ω ω

ω

Svolgendo tutti i necessari e dovuti passaggi algebrici, che di seguito si riportano, si ottiene:

S S

S

S

E

R C E j

R C j

C j C E j

C j

R C j

C E j

C R j

C V j

r r

r r

r ·

1

· 1

· 1

· 1 1 1 1 ·

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1 1

1

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

= +

= +

= + +

+

=

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

· 1 1

1 ] 1

) 1

(

[ j C R

R R

C j

C j C

j R

C j

R C j

C j

R

C R j

C j

R C

j

R ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

= +

= +

= + +

=

+++

+

−−−

− eS(t) v1(t)

R

2

C1

− ++++

R₁

C

2

R

3

RS

CS

v₂(t)

iS(t)

i1(t) i2(t) M

L1 L2

v_S(t) (figura – 1)

+ ++

+

−

−−

− E_S

V1

R

2

1/jωωωωC₁

− ++++

R1

1/jωωωCω ₂

R

3

R_S

V2

I_S

I1 I₂

jωωωωM

jωωωωL1 jωωωLω ₂

VS

V⁺

(figura – 1a)

1 jωωωωCS

2

2 2 3

2 2

2 2 3

2 2 2 3 2

2

3

( 1 ) ( 1 )

1 1

) 1 1

1 (

R

R C j R

R R

R C j R

R C j

R R C

j R

R ω ω

ω ω

+

= + + +

= +

+

 =



 



 +

+

+





 





 



 

 + +

= + +

= + V

R R

R C R

R j R V R

R

R R C j R V R

r r

r ( ) · · 1 ·

3 2

3 2 2

2 3 2 2

3 2 2 3

1 2

ω ω

e

3 2

3 23 2

R R

R R R

= +

Indicata con R23 la resistenza equivalente al parallelo delle due resistenze R2 ed R3, si perviene alla relazione costitutiva di seguito riportata:

) 1

( ) 1

· ( ) 1

1 (

1 1

1 2

2 1 3

C j R

E C j C

j R

V R

^S

ω ω ω  +



 



 +

= r r

⇒

E

_S

R C R j

C R j

R V R

r

r ·

1 )· 1 1

·(

1 1 23

2 2

3

1 2

ω ω

+ +

= +

nonché esprimibile nella forma finale seguente:

E

S

R C j

R C j R

V R

r

r ·

) 1

(

) 1

· ( 1

1 1

23 2 2

1 3

ω

ω +

 +





 

 +

=

La sostituzione dei dati forniti dalla traccia consente di esplicitare le seguenti relazioni:

R R R R R

R R R

R R R R

3 2 3

2 2 2

·

²

3 2

3

23 2

= =

= +

= +

R C R C R

C

_{2 23 1 1}

3 2 2

3 =

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_C

₁

_R

₁

_{= C}

₁

_R

Atteso quanto sopra calcolato, la relazione costitutiva V1=ƒƒƒƒ(ES) richiesta assume la forma:

S S

S

E E

R C j

R C j R

E R R C j

R C j R

V R

r r

r

r · 3 ·

) 1

(

) 1

· ( 1 2

) · 1

(

) 1

· ( 1

1 1

1 1

1 23 2 2

1 3

=

+

 +



 



 + + =

 +





 

 +

= ω

ω ω

ω

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V E

_S

r r

₁

= 3 ·

Si può, ora, procedere alla definizione delle relazioni costitutive attinenti gli induttori mutuamente accoppiati,ricorrendoaiversicoordinatidellegrandezzetensionecorrentesecondolaconvenzione degli utilizzatori e contestualmente alla determinazione degli effetti della mutua induzione M mediante la proprietà dei puntoni. Ciò premesso, le relazioni costitutive, nel dominio del tempo, sono espresse dalle scritture di seguito esplicitate.

 

 



−

=

−

=

dt t L di dt

t M di t v

dt t M di dt

t L di t v

) ( )

) ( (

) ( )

) ( (

2 2 2 1

2 1 1

1

a cui corrispondono, nel dominio dei fasori, le seguenti relazioni:

 



−

=

−

=

2 2 1

2

2 1

1 1

I L j I M j V

I M j I L j

V r r r

r r

r

ω ω

ω

ω

⇒⇒⇒⇒

 



−

=

−

=

−

−

−

−

2 3 3 1

3 3 2

2 3 3 1

3 3 1

10

· 5 10 10

· 3 10

10

· 3 10 10

· 4 10

I j

I j

V

I j

I j

V r r r

r r

r

⇒

 



−

=

−

=

2 1

2

2 1

1

5 3

3 4

I j I j V

I j I j

V r r r

r r

r

Le relazioni ai vincoli esterni circuitali vengono definite dall’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα nonché dalla legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla sola maglia che risulta possibile esaminare; si ottengono, pertanto le seguenti scritture:

C S

I I I

r r

r

₂

+ =

⇒

X

_C

= − 1 /( C

_S

) = − 1 /( 10

³

· 200 · 10

⁻⁶

) = − 10

³

/ 200 = − 5 Ω

S

ω

S S S

S C S

S

S

j C

I I I

C R j I I R V I R

V ω ω

) (

₂

2 2

2 2

r r r

r r r

r

r +

+

= +

= +

=

⇒

S S S

S

j C

I C

j I I R

V ω ω

r r r

r

₂

=

₂

+

²

+

V₁

R_S

V2

IS

I1

I2

jωωωωM

jωωωLω 1 jωωωωL₂

V_S (figura – 1b)

1 jωωωωCS

α α α α

I_C

Dalle relazioni costitutive degli induttori mutuamente accoppiati, moltiplicando la prima equazione per 3 e la seconda equazione per 4 e procedendo poi alla successiva differenza membro a membro delle due equazioni così ottenute, si perviene al sistema lineare fra i fasori riportato come segue:

 



−

=

−

=

2 1

2

2 1

1

5 3

3 4

I j I j V

I j I j

V r r r

r r

r

⇒

 



−

=

−

=

2 1

2

2 1

1

20 12

4

9 12

3

I j I j V

I j I j

V r r

r

r r

r

⇒

3 V

₁

4 V

₂

j 9 I

₂

j 20 I

₂

r r

r

r − = − +

Pertanto, si conclude con la scrittura:

3 V

₁

4 V

₂

j 11 I

₂

r r

r − =

L’utilizzo della scrittura, esprimente il fasore della tensione V2, così come definita dalla condizione ai vincoli circuitali esterni, permette di relazionare come segue:

2 2

2

1

1 ( ) 11

· 4

3 I I j I

C I j

R

V

_S

S S

r r

r r

r  =



 



 + +

− ω

^{⇒ ⇒ ⇒ ⇒}

²

2 2

1

4 4 11

4

3 j I

C j

I C

j I I R V

S S S

S

r r r r

r − − − =

ω ω

Svolgendo i necessari e dovuti passaggi algebrici si perviene alle seguenti scritture:

S S

S S

C j I I R I

C j j V I

ω ω

2 2 2

1

4 4 4 11

3

r r r r

r − = + +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_{1 2 2}

4 · 5

₂

11 5 4

·

3 4 I

I j j I R j I

V

_{S S}

r r

r r

r − = + +

2 2

2

1

20 4 11 20

3 V j I

_S

R

_S

I j I j I r r

r r

r + = + + −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 V

₁

j 20 I

_S

( 4 R

_S

j 9 ) I

₂

r r

r + = −

La determinazione dei fasori associati alle sorgenti indipendenti di tensione ES e di corrente IS è espressa dalle formulazioni di seguito riportate:

4

· 4 )

10

·cos(

4 )

( =

³

⇒

_S

=

^j0°

=

s

t t E e

e

r

9 , 0

· 9 , 0 )

10

·cos(

9 , 0 ) 2 10

·sin(

9 , 0 )

( =

³

− π =

³

− π ⇒

_S

=

^jπ

= −

s

t t t I e

i

r

La relazione atta a esprimere il legame fra il fasore della corrente I₂ e i fasori delle sorgenti esterne indipendenti ES e IS è contenuta nella scrittura di seguito mostrata:

9 2 18 ) 2 (

) 2

· ( 9 18 9 18

18 36 9

) 5 , 4

· 4 (

) 9 , 0

·(

20 4

· 9 9

4

20 3

· 3 9 4

20 3

₁

2

= =

−

= −

−

= −

−

−

= +

−

= +

−

= +

j j j

j j

j j

R

I j E j

R

I j I V

S

S S

S

S

r r

r r r

Pertanto, si conclude che:

I

₂

= 2 A ∠ I

₂

= 0 ° r r

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

₂

( t ) = 2 ·cos( 10

³

t )

Atteso quanto dianzi ricavato, è immediato determinare la potenza PRS, ovviamente attiva, dissipata dalla resistenza R_S; si ottiene infatti:

W I

R

P

_{RS S}

· 2 9

2

· 9 2 2 1

· 5 , 4 2 · 1 2

1

² _{2 2}

2

= = =

= r

Inoltre, restano determinate le seguenti grandezze elettriche:

A I

I I

I r

_C

= r

₂

+ r

_S

= 2 − 0 , 9 = 1 , 1 ⇒ r

_C

= 1 , 1 5 , 5 1

, 1

·

5 j

j C I

j C

j

V I

_C

S S

C

S

− = − = −

=

= r r

r

ω ω

Le potenze Apparente, Attiva e Reattiva erogate dal generatore indipendente di corrente IS sono determinate dalla relazione seguente:

I I

I S

S

I

V I j j P W Q VAR

A

S

·( 5 , 5 )·( 0 , 9 ) 2 , 475

S

0

S

2 , 475 2

· 1 2

1

_*

=

=

= ⇒

−

−

=

= r r

(erogati) OSSERVAZIONE 1: risulta interessante verificare, anche per il regime sinusoidale, il principio di conservazione delle potenze. A tale riguardo si determini la potenza reattiva di natura capacitiva assorbita dal condensatore C_S; col ricorso alla convenzione degli utilizzatori, si ottiene:

025 , 40 3

121 10

· 11 2

· 11 2 1 10

· 11 10

· 55 2 1 1

, 1 )·

5 , 5 2 ·(

· 1 2

1

_*

j j

j j

j I

V

A

_CS

= r

_S

r

_C

= − = − = − = − = −

Pertanto, si conclude che:

A

_CS

_{= −} j 3 , 025 ⇒ P

_CS

= 0 W Q

_CS

= − 3 , 025 VAR

_C (assorbiti)

Dalla prima relazione costitutiva degli induttori mutuamente accoppiati si perviene alla scrittura:

2 1

1

1

j L I j M I

V

r r

r = ω − ω

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_V ^r

₁

_{= j 4 I} ^r

₁

_{− j 3 I} ^r

₂

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

2 3 6 4

2

· 3 12 4

3

₂

1 1

j j j

j j

I j

I V +

+ = + =

=

r r r

Procedendo con l’algoritmo della razionalizzazione dei numeri complessi, si ottiene:

2 6 3 2

) )·(

3 6 ( 2

3 6

1

j j

j j

I j −

− =

= +

= + r

La Potenza Apparente inviata all’avvolgimento posto all’uscita dell’amplificatore operazionale è, con riferimento alla convenzione degli utilizzatori, data dalla relazione costitutiva seguente:

18 9

) 6 3

·(

2 3 6

· 3 12 2 ·

· 1 2

1

_*

1

1 1

j j j

I V

A

_A

+ = + = +

=

= r r

Pertanto, si ottiene:

9 18

1

j

A

_A

= +

⇒

_P

_A

_{9 W}

1

=

(assorbiti) e

Q

_A1

= 18 VAR

_I (assorbiti) Il fasore della tensione V2, presente a morsetti del secondo induttore, assume la forma seguente:

2 9 11 10 2 9

2 9

· 2 5

6

· 3 3 5

3

_{1 2}

2 2 1

2

j j j j j

j I j I j I L j I M j

V − − = + − = −

=

−

=

−

= r r r r

r ω ω

Pertanto, con riferimento alla convenzione dei generatori, si ha che la potenza Apparente a valle del secondo avvolgimento è espressa dalla relazione:

2 9 11 2 2 · 9 11 2 ·

· 1 2

1

_*

2

2

V

2

I j j

A

_A

 = −



 



 −

=

= r r

Quindi, si ottiene:

9 5 , 5

2

j

A

_A

= −

⇒

_{P W}

A

9

2

=

(erogati) e

Q

_A

5 , 5 VAR

_C

2

= −

(erogati)

Il bilancio energetico

P

ass

= P

erog e

Q

ass

= Q

erog consente di verificare quanto segue:

RS

A

W P

P = 9 =

2

S

S C C

I

A

Q VAR Q

Q + = − 5 , 5 + 2 , 475 = − 3 , 025 =

2

OSSERVAZIONE 2: è utile quantificare la variazione della Potenza Apparente ai morsetti dei due avvolgimenti mutuamente accoppiati; si ottiene quanto segue:

2 47 2

18 11 2

9 11 18 2 9

9 11 18

2

9

1

A j j j j j j

A

_{A A}

 =



 



 +

= +

− +

=

 

 



 −

− +

=

−

Si determini, a questo punto, la potenza accumulata negli induttori tenendo presente che nel caso in esame nel secondo avvolgimento la corrente i₂(t) viene coordinata alla tensione v2(t) con la convenzione dei generatori; pertanto, si scrive:

2 47 2

9 11 18 9

2 2 · 9 11 2 · 1 2

6

· 3 12 2 ·

· 1 2

· 1 2

1

_*

2

* 2 1

1

j j j j j

I V I

V

A  = + − + =



 



 −

−

 

 



 ₊

=

−

= r r r r

Da quanto sopra descritto si evince come la potenza complessa per questo elemento sia di fatto una quantità puramente immaginaria, in altri termini la potenza attiva è nulla, quindi si deduce in modo immediato che per un induttore biporta tutta la potenza che entra dovrà essere prima o poi ceduta senza essere dissipata. L’induttore biporta è quindi un elemento reattivo e ai fini energetici si comporta come un induttore o un condensatore, per cui è anche un elemento passivo.

ESERCIZIO 2: L’interruttore S è connesso in A da lungo tempo e all’istante to=0sec. si porta nella posizione B e vi resta. Si desidera determinare: a) l’espressione analitica delle tensioni vL(t), v_Y(t), della corrente i_L(t) e tracciare i relativi grafici correlati per t>-500µµµs; b) l’istante t* in cui µ si annulla la corrente iL(t) nell’induttanza L; c) l’energia accumulata, agli istanti t=0s. e t→→→→∞∞∞∞, nell’induttore L. Sono assegnati: E_S=60V; IS =7A; R=5Ω; LΩΩΩ =24mH;µµµµ=2.

Si desidera determinare, dapprima in forma analitica e successivamente in formagrafica la caratteristica forma d’onda della tensione e corrente di una induttanza durante la fase del transitorio attinente alle variazioni strutturali della rete di figura 2 in relazione alla “commutazione” dalla posizione A alla posizione B dello STATO dell’interruttore S.

La relazione costitutiva caratteristica per definire l’evoluzione temporale della corrente iL(t) ai morsetti di una induttanza, corrente che si ricorda essere una funzione temporalmente continua, atteso che trattasi di una variabile di stato, è espressa dalla seguente scrittura:

τ )

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{L L L O} ^{t tO}

L

t i i i t e

i = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

e nel caso in cui l’istante t_O di inizio transitorio corrisponda con l’istante t_O =0 s si ottiene:

τ t L

L L

L

t i i i e

i ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅

⁻

Pertanto, il transitorio è completamente determinato allorché sono conosciuti i tre parametri il cui significato fisico di interesse è di seguito esplicitato:

i_L(∞∞∞∞): è la corrente ai morsetti dell’induttanza al termine del transitorio ottenuta considerando la induttanza stessa modellata dal bipolo corto circuito;

i_L(t_O): è il valore della corrente ai morsetti dell’induttanza all’inizio del transitorio e definisce la cosiddetta condizione iniziale o corrente di precarica;

R_TH: definisce la resistenza equivalente di Thevenin sentita dalla induttanza durante l’evoluzione caratteristica del transitorio;

ττττ = L/RTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica a cui l’induttanza è connessa.

Resta da precisare che la tensione v_L(t) e la tensione v_Y(t) ai morsetti, rispettivamente, della induttanza L e della resistenza 2R NON sono variabili di stato, cioè all’istante di commutazione dell’interruttore S manifesteranno una discontinuità di seconda specie, caratterizzata dalle relazioni vL(tO−−−−) ≠≠≠≠ vL(tO+) e vY(tO−−−−) ≠≠≠≠ vY(tO+).

a1) Sia t=0⁻⁻⁻⁻s. L’interruttore S è nella posizione A da lungo tempo, di certo vi è posto da un tempo maggiore del tempo di assestamento T_A; quindi l’induttanza L si trova a regime e cioè modellabile dal bipolo equivalente corto circuito come si mostra in figura 2a. Per ispezione diretta si evince che vL(0⁻⁻⁻⁻)=0V e che le due resistenze di valore 2R sono fra loro collegate in serie; pertanto, la tensione v_Y(0⁻⁻⁻⁻) costituisce una partizione della tensione µ

µµµv_X(0^-) del generatore di tensione pilotato in tensione.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia riportata in figura 2a, di cui è mostrato il verso di percorrenza, consente di relazionare come segue:

0 ) 0 ( )

0

( − =

−

_X ⁻ _X ⁻

S

v v

E µ

, ovvero:

E

S

µ µµ µ v

X

(t)

S

i_L(t)

R

vY(t)

2R

I

S

A

vL(t)

++++

−−−− ++++

−−−−

L

vX(t)

2R 2R

B

(figura – 2)

E

S

µµµ µv_X(0^-)

S

R

v_Y(0⁻⁻⁻⁻)

2R

A

vL(0⁻⁻⁻⁻)

++++

−−−− ++++

−−−−

i_L(0⁻⁻⁻⁻) v_X(0⁻⁻⁻⁻)

2R

(figura 2a: rete valida a t = 0^-)

α α α α

++++

I(0⁻⁻⁻⁻)

0 ) 0 ( )·

1

( + =

−

_X ⁻

S

v

E µ

⇒

) 1 ) ( 0

(

⁻

= +

^S

µ

X

v E

) 0 4 (

2 ) 2 2 (

) 0 (

· ) 2

0

(

⁻

− −

=

= +

^X _X

y

v

R R R

R v

v R µ µ

⇒

) 1

·(

2 ) · 0

( µ

µ

= +

− S

y

v E

La legge Ohm applicata alla resistenza R e la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo ααα α consentono di relazionare nella forma composita che di seguito si riporta:

) 0 ) ( 0 ) (

0 ( )

0 ( ) 0 ) (

0

(

⁻ _{− − −} ⁻ ₋

−

= + ⇒

= I

R i v

I R i

v

_X

L L

X

) 0 ( 4 ·

) 4 ( 4

) 0 (

· ) 0 ) (

0

(

⁻

−

− −

−

=

−

=

^{X X} _X

L

v

R R

v R

i v µ µ

⇒ L

E

S

i R ·

) 1

·(

4

) 4 ) (

0

( µ

µ +

= −

−

Pertanto, sostituendo i valori forniti dalla traccia, si ottiene quanto segue:

A R E

i

_{L S}

2

60 60

· 2 3

· 5

· 4

60

· 60 2 ) · 2 1

·(

5

· 4

) 2 4

· ( ) 1

·(

4

) 4 ) (

0

( = = =

+

= − +

= −

−

µ

µ

⇒

v

_L

( 0

⁻

) = 0 V

E V

v

_y ^S

20

3 60 ) 2 1

·(

2 60

· 2 ) 1

·(

2 ) · 0

( = =

= +

= +

−

µ

µ

e

E V

v

_X ^S

20

3 60 ) 2 1 (

60 )

1 ) ( 0

( = =

= +

= +

−

µ

a₂) Sia 0<t<∞∞∞∞.L’interruttoreScommuta,all’istantet=0s,dallaposizioneAalla posizione B ed ivi permane per una durata infinita. Il transitorio caratterizzante l’evoluzione temporale di tutte le grandezze elettriche di interesse si può studiare con riferimento alla rete riportata in figura 2b. Appare utile fare ricorsoallatrasformazionefra sorgenti realicioè, sostituire al bipolo racchiuso nelriquadrogiallol’equivalente bipolo riportato in figura 2c.

Per ispezione diretta si evince ancora la validità delle seguenti scritture:

v_L(∞∞∞∞)=0V

0 ) ( )

( ∞ − ∞ =

−

_{X X}

S

v v

E µ

) 1 ) (

( ∞ = +

^S

µ

X

v E

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia destra riportata in figura 2c, di cui è mostrato in verde il verso di percorrenza, consente di scrivere come di seguito riportato:

) ( 4 2 )

( ∞ + RI RI ∞

v

_{X S}

µ

da cui si ricava la relazione:

R RI

I v

^{X S}

4 2 ) ) (

( ∞ +

=

∞ µ

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αα consente, poi, di αα relazionare quanto segue:

R RI v

R I v

R i v

I R i

v

_{X X X S}

L L

X

4 2 ) ( )

) ( ) (

) ( ( )

( ) ) (

( ∞ +

∞ −

=

∞

∞ −

=

∞

∞ ⇒ +

∞

∞ = µ

, da cui:

E

S

µ µµ µ v

X

( ∞ ∞ ∞ ∞ )

S

iL(∞∞∞)∞

R

v_Y(∞∞∞∞)

2R

I

S

A

vL(∞∞∞∞)

++++

−−−−

++++

−−−−

vX(∞∞∞)∞

2R 2R

B

(figura 2b: rete valida per t→→→→∞∞∞∞)

E

S

µ µµ µ v

X

( ∞ ∞ ∞ ∞ )

S

iL(∞∞∞)∞

R

vY(∞∞∞∞)

2R

2RIS

A

vL(∞∞∞∞)

++++

−−−− ++++

−−−−

vX(∞∞∞)∞

2R B

(figura 2c: rete valida per t→→→∞→∞∞) ∞

−−−−

++++

2R

I(∞∞∞)∞

α α

α α

++++

++++

2 ) 1

· ( 4

) 4 ( 2 4

) ( )·

4 ( 2 4

) ( )

) (

(

^{X X S X S S S}

L

I E

R I

R v I

R v R

i v −

+

= −

∞ −

= −

∞ −

∞ −

=

∞ µ

µ µ

µ

Si perviene, così, alla forma finale della relazione relativa alla corrente a regime nell’induttanza L:

2 4

) 1 (

)·

4 ) (

(

^{S S}

L

I R

i E −

+

= −

∞ µ

µ

Inoltre, l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza 2R a monte dell’interruttore S giustifica la relazione di seguito esplicitata:

S X

S X

S X

y

v RI v RI

R RI R v

RI

v ∞ +

+ =

= ∞ +

= ∞

∞

=

∞ 2

) ( 2

2 ) ( 4

2 )

· ( 2 ) ( 2 )

( µ µ µ

, da cui:

S S

y

E RI

v +

= +

∞ ) 2 ·( 1 )

( µ

µ

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

) 1

·(

2

) 1 ( ) 2

( µ

µ µ

+ +

= +

∞

^{S S}

y

RI v E

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottengono, per le grandezze di interesse, i seguenti valori:

I A R

i

_L

E

^{S S}

2 3 , 5 1 , 5

2 7 5

· 4

· 3

60

· 2 2 7 5

· 4 )·

2 1 (

60 )·

2 4 ( 2 4

) 1 (

)·

4 ) (

( − = − = − = −

+

= − + −

= −

∞ µ

µ

V E RI

v

_y ^S _S

35 20 35 55

3 7 60

· ) 5 2 1

·(

2 60

· 2 )

1

·(

) 2

( + = + = + =

= + + +

=

∞ µ

µ

La determinazione dell’evoluzione temporale del transitorio richiede la conoscenza della costante di tempo ττττ=L/RTH caratteristica della dinamica del fenomeno stesso; pertanto, deve approntarsi il calcolo della resistenza equivalente di Thevenin R_TH sentita dall’induttanza L. La rete che si deve analizzare è mostrata in figura 2d, che si ottiene dal circuito di figura 2b, oppure dall’equivalente rete di figura 2c, dopo che si sono spenti tutti i generatori indipendenti esterni – modellati dal bipolo circuito apertose di corrente e dal bipolo cortocircuito se di tensione – e dopo aver inserito il generatore sonda V_TX in sostituzione dell’induttanza L.

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia esterna consente la seguente posizione:

RI V

RI RI

V

_X

= − 2 − 2 ⇒

_X

= − 4

dalla quale consegue che:

I = − ( V

_X

4 R )

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di sinistra, di cui in figura 2d si è indicato il verso di percorrenza, porge la scrittura di seguito riportata:

0 )·

1 (

0 ⇒ + + =

= +

+

_{TX X X TX}

X

V V V V

V µ µ

⇒

V

_X

= − V

_TX

( 1 + µ )

Tenendo presente quanto attiene all’applicazione della legge di Ohm alla resistenza R, si ottiene:

R V I RI

V

_X

=

_X

⇒

_X

=

_X

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα consente di relazionare così come di seguito riportato:

) 1

·(

4 5 4

5 4

4 ⇒ = − − = − = + µ

−

= +

= ⇒

+ R

V R

V R

V R I V

R I V

R I V

I

I

_{X TX} ^X _TX ^X _TX ^{X X X TX}

Ricordando la relazione afferente la definizione di resistenza equivalente di Thevenin si ottiene:

Ω

= + =

+ = + =

=

=

=

=

4 · 3 12

5 5 )·

2 1

·(

4 5

) 1

·(

4 1 5

) 1

·(

4

0 0

R I

I R

I R V

TX TX

V E

A TX I TX TH

S S

µ µ

µ µµ µv

X

(∞ ∞ ∞) ∞

S

ITX

R 2R

A

VTX

++++

−−−−

++++

−−−−

vX

2R

B

(figura 2d: Calcolo di RTH)

2R I

α

α α α

++++

IX