CA 09 Sistemi in Retroazione

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di Laurea in Ingegneria

Meccatronica

CONTROLLO IN RETROAZIONE

CONTROLLO IN RETROAZIONE

CA – 08 - ControlloInRetroazione

Cesare Fantuzzi (

[email protected]

)

Elementi di un sistema di

controllo

comando

di riferimento

y

_ref

d

disturbo

agente sul

sistema

errore di controllo

controllore

attuatore

impianto

(modello)

u

ingresso

di controllo

y

uscita

u

a

variabile

attuata

Obiettivo del progetto del sistema di controllo:

• garantire che l'errore di controllo

(e)

sia il più piccolo possibile:

•• y segua il più fedelmente possibile y

•• in presenza di disturbi

in presenza di disturbi (d) non misurabili

non misurabili

•• in presenza di incertezze sui parametri del modello

in presenza di incertezze sui parametri del modello

•• con azioni di controllo

con azioni di controllo (u) limitate

limitate

e =

y -

y

errore di controllo

_uscita

del sistema

2 CA-08-ControlloInRetroazione

Requisiti di un sistema

di controllo

סּ

stabilità

–



e



limitato

∀

t

סּ

prestazioni statiche

–

valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)

–

valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)

•

con segnale di riferimento e/o di disturbo standard

– gradino, rampa,…

סּ

prestazioni dinamiche

–

caratteristiche del transitorio

•

Vellocità ad andare a regime

Progetto per sintesi diretta

sintesi diretta

controllore

attuatore

impianto

Probelmi della Sintesi diretta

סּ

Tuttavia il controllore opera senza possedere informazioni circa il reale

reale

andamento dell’uscita y(t), diverso da quello ideale

ideale per effetto di

–

–

disturbi

disturbi

–

–

errori

errori del

del modello

modello G(s)

G(s)

–

–

variazioni

variazioni parametriche

parametriche

sintesi diretta

idealmente:

Azione diretta e disturbi

sovrapposizione

sintesi diretta

Effetto dei disturbi sull’uscita:

Marzo - Giugno 2011

sovrapposizione

degli effetti

Errore sull’uscita: il

controllore non agisce sul

disturbo che resta invariato

6 CA-08-ControlloInRetroazione

Azione diretta e variazioni parametriche

Nella sintesi si assume:

sintesi diretta

Variazione del plant per effetto della variazione di un parametro:

Nella sintesi si assume:

Azione diretta ed errori di modello

Errore di modello:

Nella sintesi si

assume:

sintesi diretta

assume:

Errore sull’uscita

Esempi di controllo ad azione diretta

0

1

2

3

0

2

4

6

8

t

Sistema da

controllare

0

1

2

3

0

2

4

6

8

t

Dinamica

desiderata

y

_ref

10

s

10

2

1

s

+

+

u

y

1

s

2

+

Caso ideale

Caso ideale

y

y

_ref

₁₀

+

0 0 2 4 6 8 t

0 0 2 4 6 8 t

sintesi diretta

Esempi di controllo ad azione diretta

1

2

3

u

y

y

_ref

1

.

1

s

2

+

10

s

10

2

1

s

+

+

variazione dei parametri

variazione dei parametri

cancellazione imperfetta polo/zero

G < 1

0

1

2

3

0

2

4

6

8

t

0 0 2 4 6 8 t

u

y

y

_ref

3

.

1

s

2

+

10

s

10

2

1

s

+

+

variazione dei parametri

variazione dei parametri

G < 1

la dinamica

dello zero

prevale

Controllo in retroazione

סּ

_{Per limitare i problemi dei controllori in azione diretta, ricorriamo alla retroazione}

controllore

y

_ref

_impianto

(modello)

u

a

y

trasduttore

attuatore

u

סּ

Consente di fornire al controllore informazioni circa l’andamento

andamento

effettivo dell’uscita y(t)

effettivo dell’uscita y(t)

סּ

Costi maggiori per la presenza del trasduttore di misura

–

–

Sono retroazionabili solo le variabili accessibili alla misura

Sono retroazionabili solo le variabili accessibili alla misura

Guadagno di Anello L(s)

-+

fdt di anello L(s)

fdt di anello L(s)

Retroazione e disturbi

סּ

סּ

_Se

_{Se L(s) è}

_{L(s) è sufficientemente}

_{sufficientemente elevato}

_elevato

–

–

y(t)

y(t) segue

segue l’ingresso

l’ingresso y

y

–

–

il

il disturbo

disturbo d

d risulta

risulta attenuato

attenuato

+

-Robustezza verso

variazione di un parametro

סּ

סּ

Se

Se L(s) è

L(s) è sufficientemente

sufficientemente elevato

elevato

–

–

Variazioni

Variazioni della

della fdt

fdt di

di anello

anello vengono

vengono attenuate

attenuate nella

nella

fdt

fdt del

del sistema

sistema retroazionato

retroazionato

-+

Requisiti del sistema

controllato

סּ

Stabilità

–

in condizioni nominali

–

in condizioni perturbate (stabilità robusta)

סּ

Prestazioni

–

statiche in condizioni nominali

•

per diverse tipologie di segnali di ingresso (y

, d, n)

– valori a regime

– valori a regime

–

dinamiche in condizioni nominali

•

per variazioni a gradino dei segnali di ingresso (y

, d, n)

– tempo di assestamento, massimo sorpasso

– banda passante, picchi di risonanza

– moderazione dell'azione di controllo

–

statiche e dinamiche in condizioni perturbate (prestazioni robuste)

Esempio – Sistema del

primo ordine

סּ

Controllo proporzionale - calcolo della fdt

Sistema del 1

Sistema del 1°

° ordine

ordine

+

-Marzo - Giugno 2011

al crescere di k:

il guadagno tende ad 1

il polo (reale) si sposta a sinistra

+

-nuovo polo

nuovo polo

Esempi

סּ

Sistema del 1°ordine con controllo proporzionale

–

–

condizioni

condizioni nominal

nominalii

סּ

Risposte al gradino

y

= 1

k = 100

y

= 1

k = 10

y

= 1

k = 1

+

-0

1

0

1

2

3

4

t

k = 100

0

1

0

1

2

3

4

t

k = 10

0

1

0

1

2

3

4

t

k = 1

Esempi

סּ

Sistema del 1°ordine con controllo proporzionale

–

–

variazione

variazione dei

dei parametri

parametri

סּ

Risposte al gradino

y

= 1

y

= 1

y

= 1

+

-nominale

0

1

0

1

2

3

4

t

y

= 1

k = 100

0

1

0

1

2

3

4

t

y

= 1

k = 10

0

1

0

1

2

3

4

t

y

= 1

k = 1

nominale

Esempio – Sistema

del secondo ordine

סּ

Controllo proporzionale – sistema del 2°ordine

+

-2

n

k

ω

ω

2

2

2

2

2

2

2

1

2

)

(

n

n

n

n

n

n

s

s

k

s

s

k

s

G

ω

δω

ω

ω

δω

ω

+

+

+

+

+

=

₂

₂

₂

2

2

_n

_n

_n

n

k

s

s

k

ω

ω

δω

ω

+

+

+

=

Esempio – Sistema

del secondo ordine

2

2

2

)

1

(

2

)

(

n

n

n

k

s

s

k

s

G

ω

δω

ω

+

+

+

=

2

2

2

2

)

1

(

n

n

n

s

s

k

k

ω

ω

δ

ω

+

+

+

=

al crescere di k:

il guadagno tende ad 1

Esempi

סּ

Sistema del 2°ordine in retroazione unitaria

–

–

condizioni

condizioni nominal

nominalii

סּ

Risposte al gradino

+

-סּ

Risposte al gradino

Esempi

סּ

Sistema del 2°ordine in retroazione unitaria

–

–

variazione

variazione dei

dei parametri

parametri

סּ

Risposte al gradino

+

-סּ

Risposte al gradino

k = 1

k = 10

k = 100

Sensitività ai disturbi

u

(

s

1

+

1

)

(

)

2

2

s

+

y

d

+

+

Impianto

Impianto

Sistema di controllo in retroazione

Sistema di controllo in retroazione

d

y

_ref

_u

(

s

1

+

1

)

(

)

2

2

s

+

y

+

+

k

e

-Sensitività ai disturbi

y

_ref

_u

(

s

1

+

1

)

(

)

2

2

s

+

y

+

+

k

e

-d

effetto del

disturbo

0.8

0.9

1

Step Response

0.8

0.9

1

Step Response

0.8

0.9

1

Step Response

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

1

2

3

4

s

y

_ref

= 0, d = 1

k = 1

y

_ref

= 0, d = 1

k = 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

1

2

3

4

s

y

_ref

= 0, d = 1

k = 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

1

2

3

4

s

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Errore a regime e

tipo di sistema

Marzo - Giugno 2011



Errore a regime nella risposta ad un segnale X(s):

Teorema del valore finale:

26 CA-08-ControlloInRetroazione

Errore nella risposta al gradino (errore

di posizione)





Costante

Costante di

di posizione

posizione

(o di guadagno):







∞

=

⇒

>

=

⇒

=

_p

K

h

K

K

h

allora

0

se

allora

0

se

Se G(s) è di TIPO ¸

1 (ha 1 o più poli nell’origine)

)

e

p

=0

Il numero (h) di poli nell’origine di G(s) determina il TIPO del

sistema





∞

=

⇒

>

K

_p

h

0

allora

se

Risposte al gradino

errore a regime

errore a regime

nullo

nullo

errore a regime

errore a regime

nullo

nullo

errore a regime

errore a regime

costante

costante

sistema di tipo 1

sistema di tipo 1

sistema di tipo 2

sistema di tipo 2

sistema di tipo 0

sistema di tipo 0

Errore nella risposta

alla rampa (Errore di velocità)





Costante

Costante di

di velocità

velocità

:









=

⇒

=

=

⇒

=

v

v

K

K

h

K

h

allora

1

se

0

allora

0

se



L’errore rispetto alla rampa è detto

anche errore di velocità ev



In funzione del tipo del sistema avremo:



tipo

tipo 0:

0:

e

e

=

=

infinito

infinito





tipo

tipo 1:

1:

e

e

=A/K

=A/K





tipo

tipo

¸¸

2:

2: e

e

=

= 0

0

Se G(s) è di TIPO ¸

2 (ha 2

o più poli nell’origine)

)

e

v

=0







∞

=

⇒

>

=

⇒

=

v

v

K

h

K

K

h

allora

1

se

allora

1

se

Errore di velocità

e tipo di sistema

errore a regime

errore a regime

crescente

crescente

errore a regime

errore a regime

costante

costante

errore a regime

errore a regime

nullo

nullo

sistema di tipo 0

sistema di tipo 0

sistema di tipo 1

sistema di tipo 1

sistema di tipo 2

sistema di tipo 2

0 5 10 15 20 0

0.5

30 CA-08-ControlloInRetroazione

Errore nella risposta alla parabola

(Errore di accelerazione)





Costante

Costante di

di accelerazione

accelerazione

:









=

⇒

=

=

⇒

=

a

a

K

K

h

K

h

allora

2

se

0

allora

1

,

0

se



L’errore rispetto alla parabola è

detto anche errore

errore di

di

accelerazione

accelerazione e

e



In funzione del tipo del sistema avremo:



tipo

tipo 0,1:

0,1: e

e

=

=

infinto

infinto





tipo

tipo 2:

2:

e

e

=A/K

=A/K

Se G(s) è di TIPO 3 (ha 3

o più poli nell’origine)

)

e

e

=0

=0







∞

=

⇒

>

=

⇒

=

a

a

K

h

K

K

h

allora

2

se

allora

2

se

Caso generale

G(s)

K

K

K

e

e

e

Tipo 0

Κ

0

0

Tipo 1

Κ

0

Tipo 2

Κ



Si ha, indicando con

h

il tipo del sistema:

32 CA-08-ControlloInRetroazione

Retroazione non unitaria

סּ

_{Nel caso in cui il sistema}

in esame presenti una

dinamica H(s) non unitaria

sul ramo di retroazione:

סּ

_{Ci si riconduce alla retroazione}

סּ

_{Ci si riconduce alla retroazione}

unitaria considerando, per il

calcolo dell’errore a regime, lo

schema equivalente:

Esempio

סּ

Determinare l’errore a regime

del sistema in retroazione con

ingresso:

סּ

a gradino X(s) = 5/s

סּ

_{a rampa X(s) = 5/s}

+

Per i valori di

k = 1, 100

Verificare con Matlab/Simulink la correttezza dei risultati

34 CA-08-ControlloInRetroazione

Esempio

סּ

Determinare gli errori a

regime di posizione, velocita`

ed accelerazione (e

, e

, e

)

del sistema in retroazione

con ingresso il gradino

X(s) =

2/s

Esempio

סּ

_{Determinare il valore di K}

per avere errore a regime

< 0.1 con ingresso a

gradino unitario.

סּ

Il sistema in retroazione,

per tale valore di K, e`

stabile?

+

-stabile?

Marzo - Giugno 2011

Verificare con Matlab/Simulink la correttezza dei risultati

36 CA-08-ControlloInRetroazione

Sommario

סּ

Abbiamo parlato del controllo in catena diretta e in

retroazione.

סּ

Abbiamo discusso le caratteristiche statiche (errori a

regime) e le abbiamo messe in relazione con il tipo del

sistema e l’ingresso di riferimento (a gradino, rampa,

ecc..)