Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto del 13 febbraio 2014. Secondo Appello Id: A
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella
interessata)
Problema 1 (tutti)
Estratto dalla settimana enigmistica n. 4268 del 9 gennaio 2014. Nel 1693 lo scrittore Samuel Pepys sottopose ad Isaac Newton il seguente quesito: se un giocatore ha sei dadi e vince quando tirandoli ottiene almeno un sei, mentre un altro ne ha dodici e vince con almeno 2 sei, ... Detto A il primo giocatore e B il secondo.
1. 2/30 Calcolare la prob. di vittoria di A e B. Quale giocatore ha la maggior probabilit`a’ di vincere ? 2. 2/30 Rispondere alla domanda precedente nel caso che A vinca se ottiene almeno un numero pari e B almeno
1 numero pari e 1 dispari.
3. 3/30 Rispondere alla domanda iniziale nel caso che A vinca se ottiene al pi`u un numero pari e B al pi`u 1 numero pari e 1 dispari.
Problema 2 (tutti)
Una v.a. X `e poissoniana di parametro m che a sua volta `e una v.a. esponenziale di media m0. Calcolare
1. 4/30 P (X = n) con n = 0, 1, 2, . . . , +∞; `e di forma nota ? 2. 2/30 il valor medio e la varianza di X.
3. 1/30 i quartili, la mediana e la moda di X; 4. 1/30 la funzione caratteristica G(k).
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
In un laboratorio vengono analizzati laser a diodo di lunghezza d’onda nominale di 852.0 nm (riga D2del133Cs).
In un campione vengono misurate le seguenti lunghezze d’onda (in nm) 847.5, 855.9, 861.2, 853.9, 855.1, 843.0, 845.7, 864.1, 845.6, 851.3, 854.0, 856.0, 854.4, 847.9, 855.3. Si vuol testare se i dati del campione sono compatibili con le specifiche.
1. 1/30 Formulare l’ipotesi H0;
2. 3/30 Trovare il p-dei-dati.
3. 3/30 Trovare la regione di accettazione ad un livello di confidenza del 10% ed enunciare il risultato del test.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
Da una popolazione normale si estrae il seguente campione −2.36719, 0.63599, 0.461065, 0.642237, 2.19266, −1.90072, 1.32474, 2.81435, 0.0151874, 2.09191, 3.22507, −2.54693.
1. 2/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative, media e varianza campionaria.
2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la media della popolazione.
3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre significative e con un livello di confidenza del 95% e del 99% gli intervalli di confidenza per la varianza della popolazione.
Scheda riassuntiva dei risultati ottenuti
Si ricorda che nella correzione dell’elaborato, si cercheranno e si valuteranno i procedimenti che portano ai risultati riportati in sintesi su questa scheda. Inoltre i procedimenti seguiti nell’elaborato devono essere descritti o
giustificati in modo sintetico, ma chiaro.
Problema 1 (tutti)
1. `E un classico schema bernoulliano con ripetizioni quindi va usata la distribuzione binomiale. Detta p = 1/6 la prob. di successo sul singolo dado
P (vinceA) = 6 X k=1 6 k ! pk(1 − p)6−k= 1 − (1 − p)6= 1 − (5 6) 6 =31031 46656≈ 0.665 Analogamente P (vinceB) = 12 X k=2 12 k ! pk(1−p)6−k= 1−(1−p)12− 12 1 ! p(1−p)11= 1−(5 6) 12−121 6( 5 6) 11 = 1346704211 2176782336≈ 0.6187 Quindi A ha maggiore probabilit`a di vincere.
2. Si tratta sempre di uno schema bernoulliano, ma in questo caso p = 1/2 per cui
P (vinceA) = 6 X k=1 6 k ! pk(1 − p)6−k= 1 − (1 − p)6= 1 − (1 2) 6 = 63 64≈ 0.984 mentre per B
P (perdeB) = P ({tutti pari} ∪ {tutti dispari}) = (1 2) 12 + (1 2) 12 = (1 2) 11 quindi P (vince B) = 1 − (1 2) 11 =2047 2048≈ 0.9995 3. Sempre con la binomiale
P (vinceA) = P ({0 pari} ∪ {1 pari}) = (1 − p)6+ 6 1 ! p(1 − p)5=7 2( 1 2) 5 = 7 64≈ 0.1094. Per il giocatore B ci sono due possibili risposte:
• se Nprappresenta il numero di pari e Ndil numero di dispari, deve essere Np+ Nd= 12. La condizione
di vittoria per B si scrive {Np≤ 1} ∩ {Nd≤ 1} che `e incompatibile con il vincolo Np+ Nd= 12. Segue
P (vince B) = 0;
• considerando i 12 dadi raggruppati per 2 come suggerito durante lo scritto. In questo caso risulta uno schema bernoulliano di 6 ripetizioni con successo l’evento
S = (pari, dispari) ∪ (dispari, pari) P (S) = 2pq p = q = 1/2 e insuccesso l’evento
Sc= (pari, pari) ∪ (dispari, dispari) P (Sc) = p2+ q2= 1 − 2pq quindi P (vince B) = 1 X k=0 6 k ! (2pq)k(1 − 2pq)6−k= . . . = (1 − 2pq)5(1 + 10pq) =7 2( 1 2) 5 = 7 64 ≈ 0.1094
Problema 2 (tutti)
1. Se m `e un parametro la distribuzione cercata sarebbe banalmente quella di Poisson P (X = n) = e−mm
n
n! n = 0, 1, 2, . . .
Siccome m `e una v.a. con P (m ≤ M ≤ m + dm) = (1/m0) e−m/m0 dm l’espressione appena scritta non
`
continuo del teorema della prob. totale. Ovvero sapendo che la v.a. M `e compresa nell’intervallo infinitesimo m ≤ M ≤ m + dm possiamo calcolare P (X = n|m ≤ M ≤ m + dm) = e−mm n n! pertanto P (X = n) = X
su tutti gli intervallini dm
P (X = n|m ≤ M ≤ m + dm) P (m ≤ M ≤ m + dm) ed infine P (X = n) = 1 n! m0 Z+∞ 0 mne−(1+1/m0)m dm = . . . = m n 0 (1 + m0)n+1 = 1 1 + m0 „ m0 1 + m0 «n
dove si `e usato l’integraleR+∞ 0 x
ne−λx
dx = n!/λn+1.
Definendo p = 1/(1 + m0) e q = 1 − p = m0/(1 + m0) la distribuzione trovata si pu`o riscrivere
P (X = n) = p qn n = 0, 1, 2, . . . che `e di forma nota trattandosi della distribuzione esponenziale. 2. Dalla definizione E[X] = +∞ X n=0 n p qn= . . . = q p Per la varianza serve
E[X2] = +∞ X n=0 n2p qn= . . . = q(1 + q) p2 pertanto Var[X] = q p2
dove si sono usate le derivate della serie geometrica X n≥0 nxn= x (1 − x)2 X n≥0 n2xn=x(1 + x) (1 − x)3 3. La funzione di ripartizione `e F (n) = P (X ≤ n) = n X k=0 p qk= . . . = 1 − qn+1 pertanto per il percentile α-esimo
F (nα) = α ⇔ nα=
ln(1 − α) ln(q) − 1. Osservando che p e q sono compresi tra 0 e 1 la moda si ottiene per n = 0. 4. Dalla definizione
G(k) = E[ei k X] =X
n≥0
ei k np qn= . . . = p 1 − q ei k
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
1. I dati del campione sono distribuiti in modo gaussiano con media µ = 852.0 e varianza incognita. 2. La statistica da usare `e
u =qX − µ¯ S2
N −1/N
∼ tN −1
che con i numeri in questione vale u0 = 0.477 ≈ 0.48 ( ¯X = 852.7267, S142 = 34.81495). Il test `e bilatero e il
p-dei-dati `e la prob.
P (|u| > |u0|) = . . . = 2ˆ1 − F (0.477)˜ ≈ 2ˆ1 − F (0.54)˜ = 0.60
dove F `e la funzione di ripartizione di una t di Student a 14 gradi di libert`a. Il valore numerico approssimato si trova dalle tavole. Precisamente il p-dei-dati vale 0.64 (con R per esempio oppure interpolando dalle tavole). L’ipotesi non si rigetta fino fino al livello di significativit`a del 64%.
3. Occorre risolvere
P (|u| > uα) = α uα= F−1(1 − α/2) = F−1(0.95) = T−1(0.45) ≈ 1.76
Siccome |u0| < uαl’ipotesi non si rigetta.
Problema 4 (solo esame 6 cfu)
1. ¯X = 0.5490308, N = 12, S2
11= 3.85238
2. Al 95% [−0.69804, +1.7961], al 99% [−1.2107, +2.3088] 3. Al 95% [+1.9332, +11.106], al 99% [+1.5837, +16.278]
