Sulle varieta' razionali normali di codimensione 2 e grado 3 in P^n(C) come intersezioni complete insiemistiche. Firenze, Centro Analisi Globale CNR

J

CONSIGLIO

NAZIONALE

DELLE

RICERCHE

CENTRO

DI ANALISI

GLOBALE

F a b i o B a r d e l l i L u i s e l l a V e r d i

i S U L L F

V A R

I E T A ' R A Z

I O N A L I

N O R M A L I

D I

c o D I M E N S t o N E

z E G R A D o

_{3 t N l p n ( a )}

C 0 M E I N T E R S E Z l 0 N I C O M P L E T E t N S tE t î t-S T I C H E . I I

F I R E N Z E

r a b i o B a r c f e I I i L u i s e I f a V e r d i S U L L F V ^ R I E T A ' R À Z IO N A L I N C R I , I A L I D I C C D I M E \ S IC N E 2 E G R a D O 3 l N l P " l € ) C C M E I I \ T F R - q F Z I O N I C O I ' 4 P L E T F I \ I S I E M I -S T I C H [ . l s t i t u t o M a t e m a t i c o " U l i s s e D i n i " - F i n e n z e C t t o b r e l a T q

S u m m a r y I n t h i s n o t e f o r a n y r a t i o n a l n o r m a l v a r i e t v o F c o d i m e n s i o n 2 a n d d . g r e e 3 i n f P n i s d e c i d e d i f i t i s a s e t - t h e o t e t i c c o m o l e t e w e s t u d v t h e i m a q e o f i n t e r s e c t i o n o r n o t . t h e S e g r e e m b e d d i n g o f I n p a r t i c u l a r 1 _ 1

l P ' x [ P "

i n f P ) a n d w e f i n d t h a t i s n o t a s e t - t h e o r e t i c c o m D I e t e i n t e r s e c t i o n . T h e n w e m a k e s o m e n e m a r k s a b o u t s o m e r a t i o -n a l -n o r m a l v d r i e t i e s o f c o d i m e n s i o n 3 , I n t n o d u z i o n e N e I n o . 1 g r a d o 3 s i a n a l i z z a n o l e s u D e r f i c i î a z i o n a l i n o n m a l i d ; ^ i n ( P * _{e s i t r o v a c h e e s s e s o n o t u t t e i n t e r s e z i o} -n i c o m o l e t e i n s i e m i s t i c h e . l l n o . 2 t n a t t a d e l l e v a r i e t à n a ? z i o n a l i n o n m a l i d i d i m e n s i o n e I e g r a d o 3 i n f P ' : s i c o n -c l i l d e -c h e e s s e s o n o t u t t e i n t e n s e z i o n i c o m p l e t e i n s i e m i s t I c h e a d e c c e z i o n e d e l I ' i m m a g i n e S d e l I ' i m m e n s i o n e d i S e g r e - 1 î ^ ( l P ' x l P - i n t P ' c h e , i n b a s e a l C o n . 2 . 3 . , n o n p u ò e s s e r l o . I r i s u l t a t i o t t e n u t i v e n g o n o s u c c e s s i v a m e n t e e s t e -s i a f l e v a r i e t à r a z i o n a f i n o n m a l i d i c o d i m e n s i o n e 2 e g r a -d i

d o 3 i n l P n n ) J . S e g u o n o a l c u n e c o n s i d e r a z i o n i s u l l a s u p e r F i c i e d i V e r o n e s e i n p 5 e s u u n a r i g a t a r a z i o n a l e n o r m a l e d ; f P 5 L e s u p e r f i c i r a z i o n a l i

n o r m a l i d i s r a d o I i n l P 4 ( C ) .

S e c o n d o ; I I d i u n a q u a I u n q u e s u p e r -f P + è g e n e r a t o d a i m i n o r i d ; o r d i n e 2 d e l l a m a t r i c e B e r t i n i f [ z ] l l ' ; d ? o n a l e n o r m a l e V ; d i e a l e F i c i e r a z i

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* 1 c i l i D e n m u t a z i o n s e g u e p t i d u e c a s i )

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/ I I I I ì \ t 1 ' 2 t 3 " 3 t 4 d a l l a e u a l e s i a s t a t a t o l t a u n a c o l o n n a . p o s s i b i l i , e c o o r d i n a t e m a s r r r c o n o s c e c h e c o n f a c i s i o u ò n i c o n d u r r e a i S ; h a n n o d u n q u e , I c a s l l : ₍ d e l p r o t e t t i v a m e n t e ^ 1 t 3

' z "4

d i s t i n t i :

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h e p r o i e t t a 0 u e s t o i d e a l e d e f i n i s c e i l c o n o c ( t ; o ; o ; 0 ; o ) _{l a c u b i c a s o b b a} A l l o r a I ' i d e a l e

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a r e 1 / J t : l t , q m p l e t a i n s i e m i s t i . f f o l l e d i n p a r t i c o r L J ( t r ) è i n t e r s e z i o n e c v e r i f i c a , ' , I a s u p e r f i c

9 J

i e V d u e g e n e r a t o r i d ; J 1 .

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S i h a : P o s t o P : s i c o n s i d e n i

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2 c h e l ; c J _{, ,} o u i n d i l a s u D e r F i c i e V ( 1 " ) a i n t e r s e z i o n e c o m o l e t a i n s e m i s t i c a d e r d u e g e n e r a t o r i d i J ? . T a l e r i s u l t a t o è s t a t o g e n e r a l i z z a t o S i h a p e r t a n t o l a s e g u e n t e

3 - i n

in rf sJ

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P r o p . 1 . 1 . . L e s u o e n f i c i r a z i o n a l i n o r m a l i d i g r a d o _

í P 1

S e c o n d o i I B e r t i n ; f [ Z l f e d ; I B e l l a t a l l a , I t l ) I ' i d e a l e I s q n - e . i n t e n s e z q o n i c o m r r I e t e i n s i e m i s t i c h e . ? . L e v a r i e t à r a z i o n a l i n o r m a l i d i d i m e n s i o n e _{3 . e q r a d g 3 .}

i n t P 5 r C ) - .

d i u n d o u . r l u n q u e v a n i e t à r a z i o n a l e n o r m a l e d i d i m e n s i o n e 3 ^ ? e g r a d o i V ; d ; f P ) è g e n e r a t o d a i m i n o r i d i o n d i n e 2 d e l -I a m a t r i c e € . b i l i , m d s i r i c o n o s c e c h e c o n f a c i I i o e r m u t a z i o n i d e l l e c o o r d i n a t e c i s i p u ò n i

-( * o . r

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d a l l a q u a l e s i a n o s t a t S ; h a n n o a o r i o n i ( ; )

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S i t n a t t a d e I n o . 1 ,

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S i t n a t t a q u e s t o " 3 t l

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c t u e s t o d e a Ie c o m e c l n t i t , r e c a s i * 1 t 3

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p n o l e t u e I l o t t I v a m e n

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* t t 4 , d e a I e ) c o m e o u e l l o e s a m i n a t o ne l c a s o i i ) d e l n o . 1 .

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L a t l c h e h a

'1.::;l)

a g i n e S C e l l ' I _ f - \ a l e i m m e r s i o n e d ; 3 è l ' i m m X , , ( i l p i ù D i c c o f o i n t e r o

g-_,

X u n a s o t t o v a r i e t à c h i u s a e s u o o o n i a m o Z l X i n t e r o , S € c d ( Z . X ) < n a l l o n a l ' _ a p o l i c a z i o n g

H i ( z h , c . ) - - - +

H ; ( x h , c )

e u n i s o m o r f i s m o D i m . c f n . V i < n - r , e d p a g . 1 4 8 . è i n i e t t i v a p e r | : o - l ' . l i s _ c i a . S i a r u n n a t u r a I e

d-i Sesre d i

c o m e i n s i e m e .

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I

C o r o | | a r i o 2 . 3 . L ' i m m a g i n e d e l _ l ' i m m e ! ' s i o n e a

x t P

-S e g r e d i l P 1 x pz in 1pS. vogliamo orovare che S non è

i n t e r s e z i o n e c o m o le t a c o m e i n s i e m e i n [ P t . O q u e s t o s c o p o r i c h i a m i a r n o I a s e g u e n t e D e f . 2 . 1 . - Q t a c o o m o l o g i c a X u n a v a r i e t à a I g e b r t c a . S i d e f i n i s c e d i m e n s i o n e n 2 0 t a l e c h e H X , F ) = 0 p e r o g n i ; > n e p e n o g n i f a s c i o c o e n e n t e F s u X . s u s s i s t e ; I T e o r e m a 2 , 2 , d i s e g u e n t e

) ' e

e s i i n d i c a c d l X ) ,

Z.

u n a v a r l e t a c o m o l e t a d i d i m e n s i o n e n s u

t P 1

r - l i n l P ' n o n è i n t e r s e z I o n e c o m p I e t a

6

D i m . R a g i o n i a m o p e n a s s u r d o : s e S F o s s e i n t e r s e z i o n e c o m -o l e t a i n s i e m i s t i c a d i d u e i p e n s u p e r f i c i d i f P 5 , d l f o r a t P ' \ S s a r e b b e n i c o o e r t o d a d u e a p e r t i a F F i n i e q u i n d i ? c d ( l P ) - . S ) < 2 . D a l t e o r e m a 2 . 2 , s i a v r e b b e a l l o r a u n i s o

-m o r F i s -m o u 2 ( P l ,

C ) -

H 2 l s h , C ) . M a s è i s o m o r f a a

l F 1 * i P 2

e d u n q u e d a l l a F o r m u t a d ; K i i n n e t h s e s u e

H z ( s h , C ) : C O d - ,

f f i € n t r e H 2 ( p ; ,

C ) : L

a t -A c o n c l u s i o n e d e l l ' e s a m e d e l l e V : n a z i o n a l i n o r m a l ; d ; l P ) .J s i h a f a s e q u e n t e 1 1 l n o p . 2 , 4 . ' . L e v ; ( 1 , ) _{t r} e V ; ( l î ) _{. )} g a - q q r ú e 1 s e z i o n i q q m p - ! - g l g . c o m e i n s i e m e , m e n t r e l a v ] f r r t n o n l o è , ) t 3 . L 9 v q r i e t à r ' q a l q ! € - [ n o r m a l i d i c o d i m e n s i o n e _{Z g s f a d o I}

i n [ P "

n > 5 .

i B e l l a t a l l a u e v a r i e t à r N e l g ; à c i t a t o l a v o r o I ' i d e a l e d i u n a q u a l u d n q a z r o v a t o c h e .t ( l e V - ^ d i n - z

[ t ] t

v i e

i o n a l e n n e D o r m a l p " è g e n e r a t o d a i m i n o r i d i o n d i n e 2 d e l l a m a t n i c e

a i n i . 1 e 2 , d i s t i n t i : e s e m D l o I n l a s u o e r f i c i e d a i m i n o r i d i ( : : ^ : : : : : : : . : . , : : : : : : : : - ' ) I e s o n o s t a t e t o I t e n - 3 c o I o r ì r ì € . d u n q u e ( ^ 1 , ) . . = ; p o s s i b i I i c h e , c o m e n o a i s e g u e n t i 3 c a s i p " o i e t t i v a m e n t e

(i', '21

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d a l l a s u a S ; h a n n o s i r i d u c o i ; )

; ; ; ) t 3 :

; ) ! E ' i m m e d i a t o c o n s t a t a r e , i n c o n s e g u e n z a d e i n i . 1 e 2 , c h e { v a r i e t à V ' ' _ n ( l r ) = o n o i n t e r s e z i o n i c o m p l e t e c o m e i n s i e m e n -r Í l n Î l P , i l € n t r e f a V r ^ ( l ^ ) n o n l o è . n - ; . t S u l l a s u p e n f i c i e d i V e n o n e s e

fP5 ( c- )

L o s t u d i o d e l l e v a r i e t à n a z i o n a l i n o r m a l i d i c o d i m e n s i o n e 3 S I

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, ' 4

_{' 2}

r i v e f a t o a s s a i d i f f i c i l e . S i c o n s i d e r i a d V e r o n e s e i l c u i i d e a l e 2 d a l l a m a t n i c e è g e n e r a t o l e t n I n

. 4 .

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c o n l e c o o r d i n a t e o m o g e n e e . . . t . , Z n \ ) ( =

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P r o p . 5 . 1 . c d ( i P 5 - . . V l r a r .

D i m . P o i c h é l a v l è i s o m o n F a a l P 2 L

s t r i z i o n e

, o * ( t P 5 ) -

t J * ( u : )

i

e d u n q u e p e n u n n o t o t e o r e m a d ; O g u s

c d ( p 5 - t v l ) < J .

l e a o o f i c a z i o n i d ; r e -= 0 r l s o n o s i h a d a , Z : t 0 Y 2 * t 2 t 0 _{, t 3 : ^ 1 Y 1}

r i+l I

i s o m o r f i s m i , c h e Q u e s t a o r o o o s i z i o n e c i d i c e c h e n o n e s i s t o n o o s t r u z i o n i s u f l a

v :

V ; a f f i n c h é l a V l s i a i n t e r s e z i o n e c o m -o l e t a c o m e I n s r e m e . D t a l t n a p a r t e v o g l i a m o m o s t r a r e c h e l a n o n è i n t e r s e z i o n e c o m o l e t a c o m e i n s i e m e d ; 3 i o e n s u p e r f i c i h a e q u a z i o n e ( a e t H ) " = 0 V " > 0 . d i l P ) s e u n a d i e s s e C o n s i d e r i a m o i i P 2 x Pz con le coordinate e l ' . p o I i c a z i o n e " p r o d o t t o s i m m e t r i c o " '^' \ c o o m o l o g i a d ; l f - \

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f ' . 0 , ' 1 , x , ) ; ( y g , y 1

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, lP 2x tPl--.

I p " o d o t t e F i n i t a ) \ d

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t 0 : t ' y . , = l : t 0 y 1 + t t y 0 r

' 4 : * l Y z * " 2 t l

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S i h a n i s u I , , _{^ 1} L x l P ' \ ' ' 2 i Y g r Y 1

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L , 0 r . . . . r 1 5 ) € f P 5 è l a s u p e r f i c i e

l"xH :' j,

d i V e r o n e s e i n c i o è S r p p o g e n e i s t i t u i s c o n o d u n o u e s i h a . . J ( ( i P 2 x P ? s t e u n e t i n i e z i o n e e d u n o u e H : ( ^ h , C

H 2 l r P 2 ^ [ P 2 , c . ) :

' 3 u e s t i a n g o m e n t c h e o o t r e b b e r o i c i d i c o n o d e F i n i n e l a c h e q u i n d i F n a I . , + V î d l V e n o n e s e

ps

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i o o I i n o m i o m o g e n e i c o m e i r r f € ' r s e z i o n e

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( 4 ) l u o g o d i z e r i c o m u n i a d u e p o l i n o m i o m o -e a l o o l i n o m i o ( d " t H ) " , r ) 0 . A l l o r a A è f u o -s o d ; z e n i d ó i p o l i n o m ; y * ( F ) , t 7 o ( C ) , o e r c h é i d e n t i c a m e n t e n u l l o s u i P z x P 2 . P o i c h é f t P 2 _{î * l t ) )} e ( t P 2 - t P 2 t . . v ( q * ( G ) ) s o n o a o e n t i a F F i n i d i i P 2 x l P 2 e c o -a -a u n r i c o o r i m e n t o a c i c l i c o d i ( l P - x l P ' ) r [ , ) . A ) < 2 . A f l o r a p e r ; l t e o r e m a 2 , 2 . e s i

-H 2 1 p

2

* t p 2

, C ) - - - - . H 2 f

A

h ,

C ) . v a A 2 t P 2

t : C , r n e n t r e D e r l a F o n m u la d i K l j n n e t h C , E C I

c o m o I e t a i n s i e m i s t i c a d o b h i a m o m i o o i ù " n a t u n a l e " : d e t H è l e 1 C e s c f u d e n e D r o p n i o i l o o l i n o -s u e o o t e n z e . E s i s t o n o d ' a I t n a o a r t e s u p e n F i c i n i q a t e r a z i o n a l i n o r m a l i d i q r a d o _J E s . l -2 d a | | a t n f rf) )- c h e s o n o i n t e r s e z r o n r c o m D l e t e i n s i e m i s t i c h e : S i c o n s i d e n , l ' i d e a f e I g " n e r a t o c l a i m i n o n i d ; o r d i n e V ( | ) à u n c o n o s u l l a

* r

, 2

c u r v a c o m o I e t a c o m e i n s i e m e f [ O l t . E s . 2 -2 d e l l a e d u n q u e è i n t e n s e z i o n e m a t r i c e

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I \ r l t 2 X î J I n - l I ' \ , { o I I x 1 )

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S i c o n s i d e r i l ' i d e a l e I g " n e r a t o _{d a i m i n o n i c l i o n d i n e} m a t n i c e

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\ * ! : ; ) " 1 , 1

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x . . 1 V ( l ) è u n d n i g a t a n a z i o n a l e n o r m a l e d ; q r a c l o 1 i n p 5 , c F n .

t l : i ) . S e

L J | _ ( 2 2 r ^ , , 3 3 î 2 r . 2 3

J : ( x O x ? - ' ; ,

x C . t - 2 x r x Z ^ 3 * * í ,

x C " ; - 3 x í * r ' 1 * 3 ' 2 ' 5 ' ; - x - , ' . ] ) ,

s i v e r i F i c a c h e V l l ) _ V I J ) e o u i n d i V ( l ) è i n t e r s e z i o n e c o m o l e t a i n s i e m i s t i c a .

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B I B L I O G R A F I A a . F e l l a t a l l a " S u l f e v a r i e t à n a z i o n a l i n o n m a l i c o m -o -o s t e a i -o -o l s p a z i l i n e d r i " , i n A t t i d e l l a R . a c c a d e -m i a d e l l e S c i e n z e d i T o r i n o , v o f . X X X V l 1 9 0 1 p a g . 8 0 3 , F . B e r t i n i " G e o m e t r i a P n o i e t t i v a d e g I i i p e r s p a z i " , E d . P r i n c i o a t o M e s s i n a 1 q 2 3 . R . H a r t s h o r n e " A m o l e S u b v a n i e t i e s o f a l g e b r a i c v a -n i e t i e s " , L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 1 5 6 S p " i n g e n V e n I a g 1 0 7 0 . a . O g u s _{" L o c a I c o h o m o l o g i c a I d i m e n s i o n o f a I g e b r a i c} v E r i e t i e s " i n A . n n a l s o F M a t h e m a t i c s v o l . Q 8 1 0 7 1 o a g . 3 2 7 . G . V a I l è " 0 n d e t e r m i n a n t a I i d e a I s w h i c h a r e s e t t h e o -r e t i c c o m o l e t e i n t e n s e c t i o n " R a o o o r t o d e f f ' l s t i t u t o d i V a t e m a t i c a d i G e n o v a q e t t e m b r e l q 7 0 . L , V e n d i " L e c u r v e r . : z i o r r a i i n o n m a I i c o m e i n t e r s e z i o -n i c o m D l e t e i n s i e m i s t i c h e " 8 o I l e t t i n o U . M . | . ( S I t 6 - A

( 1 o z o ) l S 5 - 3 8 q .