verifica con risultati (04.02.12)

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LICEO SCIENTIFICO STATALE “A. VALLISNERI”

Classe 5SD 2

o

periodo/ 1

a

verifica scritta 4 febbraio 2012

Calcolo differenziale e sue applicazioni:

studio e grafico di funzioni; teorema di Rolle etc.

Alunno: . . . .

Istruzioni per lo svolgimento della prova:

• Non `e consentito l’uso di calcolatrici grafiche.

• Dopo aver svolto ciascun esercizio sul tuo foglio, trascrivi la risposta nella griglia di correzione in fondo al testo della verifica. Fai attenzione a scrivere la risposta in modo “compatibile” con quanto richiesto: se, ad esempio, nella griglia viene richiesto di trovare un insieme “D =”:

– “D = R r {2}” `e una possibile risposta, scritta in modo corretto.

– “D = ∀x 6= −2” non è scritta in modo corretto, dato che “∀x 6= −2” non è un insieme (o quantomeno non è scritto come si scrive, convenzionalmente, un insieme).

• Traccia i grafici sul tuo foglio, numerali e trascrivi nella griglia il numero del grafico corrispondente.

Valutazione della prova:

• Le parti scritte a lapis o matita (compresi i grafici) in nessun caso saranno valutate. • La correzione “partir`a” dalla griglia:

– Casella vuota: 0 punti.

– Casella con risposta esatta: punteggio pieno.

– Casella con risposta errata: andr`o a controllare sul foglio lo svolgimento, per vedere che percentuale di punteggio assegnare rispetto al punteggio pieno.

• Supponiamo che sbagli la risposta ad una domanda “a” e sbagli anche la risposta ad una successiva domanda “b”, ma solo perch´e la risposta a “b” dipende dalla risposta che hai dato ad “a”. Se, nel complesso, hai fatto una deduzione corretta, ti sar`a assegnato punteggio pieno alla risposta “b” (salvo casi eccezionali).

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Esercizio 1: determinazione di parametri Si consideri l’insieme di funzioni1_:

fa,b(x) = 1 + ax + b x2

Determinare i valori di a e b affinch´e fa,b abbia un estremo relativo in A(1, 3). Esercizio 2: studio di funzione

Facendo riferimento all’esercizio precedente, studiare f₋2

3,−13(x) = 1−

2 3x−

1

3x2 (d’ora in poi semplicemente

“f ”) In particolare:

1. Determinare il dominio D della funzione f .

2. Studio del segno. Se hai svolto correttamente i (pochi) calcoli, lo studio del segno dovrebbe averti portato ad una disequazione in cui compare il polinomio P (x) = 3x2_{− 2x}3_{− 1. Utilizzando la} regola di Ruffini, fattorizzare tale polinomio in fattori irriducibili in R.

3. Determinare gli insiemi in cui f è positiva, negativa, nulla. 4. Si dica se f è pari, dispari o né pari né dispari.

5. Determinare l’equazione degli asintoti2 _{di f . Se un certo tipo di asintoto non `}_{e presente, scrivere}

“no” nella griglia.

6. Calcolare un’espressione per f0(x).

7. Stabilire gli intervalli di monotonia della f .

8. La funzione ha punti di massimo o minimo relativi? Se s`ı, determinarne le coordinate; se no, scrivere “no” nella griglia.

9. La funzione ha punti di massimo o minimo assoluti? Se s`ı, determinarne le coordinate; se no, scrivere “no” nella griglia.

10. Calcolare un’espressione per f00(x).

11. Determinare gli intervalli in cui f `e concava e quelli in cui `e convessa3_.

12. La funzione ha punti di flesso? Se s`ı, determinarne le coordinate; se no, scrivere “no” nella griglia. 13. Nel caso in cui la funzione abbia punti di flesso, specificare se si tratta di flessi a tangente verticale,

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Esercizio 3: grafici derivati

Sempre in riferimento alla f di cui all’esercizio precedente: 1. Tracciare un grafico qualitativo di f0 4_.

2. Il grafico tracciato al punto precedente ha un asintoto orizzontale. Qual `e l’equazione di tale asintoto?

3. Tracciare un grafico qualitativo di 1/f (x). 4. Tracciare un grafico qualitativo di exp[f0(x)]. Esercizio 4: esercizi “di tipo teorico”

Sempre in riferimento alla f dell’esercizio 2:

1. Si pu`o applicare il teorema di Rolle, relativamente a f e all’intervallo − 1

2, 1? Nel caso in cui si risponda “no”, indicare una ipotesi del teorema che non `e soddisfatta.

2. Calcolare f (3).

3. Si intuisce dal grafico di f che esiste un valore x > 0 tale che f (x) = f (3). Si pu`o applicare il teorema di Rolle nell’intervallo [x, 3]?

4. In relazione alla domanda precedente: se si è risposto “no”, indicare un’ipotesi del teorema che non è soddisfatta; se si è risposto “s`ı” determinare le ascisse dei punti di (x, 3) in cui si annulla la derivata prima di f .

5. Determinare, ad esempio con il metodo di bisezione, un valore di x corretto alla prima cifra decimale.

4_{Tale grafico pu`}_{o essere tracciato con opportune considerazioni a partire dal grafico di f e perci`}_{o non `}_{e richiesto uno} studio dettagliato di funzione; eventualmente ci si potr`a basare sull’espressione di f0 trovata nell’esercizio precedente per controllare la correttezza del risultato.

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Tabella 1: Griglia di correzione della verifica scritta (continua...).

Es Risposta Punti assegnati Punti esercizio

1 a = 10 b = 10 2.1 D = 2 2.2 P (x) = 5 2.3 f (x) > 0 in 2 f (x) = 0 in 1 f (x) < 0 in 2 2.4 3 2.5 A.Vert.: 2 A.Orizz.: 1 A.Obl.: 4 2.6 f0(x) = 4 2.7 f `e crescente in 3 f `e decrescente in 2

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Tabella 2: Griglia di correzione della verifica scritta (...continua).

2.12 4 2.13 4 2.14 5 2.15 Vedi grafico . . . 10 3.1 Vedi grafico . . . 8 3.2 15 3.3 Vedi grafico . . . 8 3.4 Vedi grafico . . . 12 4.1 5 4.2 f (3) = 3 4.3 5 4.4 4 4.5 x ' 10 tot. 159

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Soluzioni degli esercizi

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Tabella 3: Griglia con le risposte corrette della verifica scritta (continua...).

1 a = 4 3 10 b = 2₃ 10 2.1 _{D = R r 0} 2 2.2 P (x) = (−2x − 1)(x − 1)2 ₅ 2.3 f (x) > 0 in (−∞, −1/2) 2 f (x) = 0 in {−1/2; 1} 1 f (x) < 0 in (−1/2, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞) 2 2.4 Né pari né dispari 3 2.5 A.Vert.: x = 0 2 A.Orizz.: no 1 A.Obl.: y = −2 3x + 1 4 2.6 f0(x) = −2x_3x33+2 4 2.7 f è crescente in (0, 1) 3 f è decrescente in (−∞, 0) ∪ (1, +∞) 2

2.8 M AXrel(1, 0); no minrel 4

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Tabella 4: Griglia con le risposte corrette della verifica scritta (...continua).

2.10 f00(x) = −2 x4 4 2.11 f `e concava in D 2 f `e convessa in ∅ 1 2.12 No 4 2.13 No 4 2.14 x = 0, II specie 5

2.15 Vedi grafico1(a) 10

3.1 Vedi grafico1(a) 8

3.2 y = −2₃ 15

3.3 Vedi grafico1(b) 8

3.4 Vedi grafico1(c) 12

4.1 No, f non `e continua 5

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(a) In nero il grafico di f (x); in rosso, tratteggiato, il grafico di f0_(x).