Strutture algebriche: gruppi e anelli

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STRUTTURE ALGEBRICHE

Operazioni in un insieme

Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A × A −→ A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna.

Per definizione di funzione, un’operazione associa a ogni coppia ordinata (a, b) ∈ A × A un elemento di A, se indichiamo con ∗ tale operazione, invece di ∗((a, b)) scriveremo a ∗ b, cio`e:

∗ : A × A −→ A (a, b) −→ a ∗ b Un’operazione ∗ si dice: associativa se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ A commutativa se a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ A ESEMPI:

1. L’addizione + e la moltiplicazione · sono operazioni nell’insieme dei numeri interi associative e commutative.

2. La composizione di applicazioni ◦ , nell’insieme delle applicazioni da un insieme A in se stesso, `e associativa.

3. La composizione di applicazioni ◦ , nell’insieme delle applicazioni da N in se stesso, non `e commutativa. Per esempio siano f : N −→ N e g : N −→ N cos´i definite: f (n) = n2, g(n) = n + 1; allora (f ◦ g)(n) = (n + 1)2_{= n}2_{+ 2n + 1 6= (g ◦ f )(n) = n}2_{+ 1.}

4. La sottrazione − nell’insieme dei numeri interi non è né associativa né commutativa, infatti per esempio (5 − 3) − 1 = 1 6= 5 − (3 − 1) = 3 e 5 − 1 = 4 6= 1 − 5 = −4.

Un insieme A nel quale siano definite una o pi´u operazioni si dice struttura algebrica.

Gruppi

Un insieme G con una operazione ∗ : G × G −→ G si dice gruppo se: (1) ∗ `e associativa;

(2) c’`e un elemento neutro e per ∗, cio`e ∃ e ∈ G tale che g ∗ e = e ∗ g = g, ∀ g ∈ G;

(3) ogni elemento ha un inverso (opposto se l’operazione `e l’addizione), cio`e ∀ g ∈ G ∃ g0_{∈ G} _{tale che} _{g ∗ g}0_{= g}0_{∗ g = e}

(2)

Un insieme in cui valgono solo (1) e (2) e non (3) si dice semiruppo o monoide..

Sia i gruppi, sia i semigruppi vengono spesso denotati con la terna costituita da insieme, oper-azione e elemento neutro: (G, *, e).

PROPRIET `A:

1. Vale la legge di cancellazione (o regola di semplificazione), cio`e: a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c

Infatti poich´e ∃ a0 tale che a0∗ a = e, moltiplicando per a0 _{si ottiene a}0_{∗ (a ∗ b) = a}0_{∗ (a ∗ c) e}

per la propriet`a associativa si ha (a0∗ a) ∗ b = (a0_{∗ a) ∗ c, cio`}_{e b = e ∗ b = e ∗ c = c.}

2. L’elemento neutro `e unico.

Infatti se u e e sono due elementi neutri, ossia se per entrambi ∀a si haa ∗ e = e ∗ a = a, a ∗ u = u ∗ a = a, si ottiene e = e ∗ u = u (ponendo a = e e considerando u come elemento neutro nella prima uguaglianza e viceversa nella seconda).

3. L’inverso `e unico.

Infatti se a ∗ a0= a0∗ a = e e a ∗ b = b ∗ a = e, si ha

b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a0) = (b ∗ a) ∗ a0= e ∗ a0= a0. 4. L’inverso dell’inverso di a `e a.

Infatti a `e l’unico elemento tale che a0∗ a = a ∗ a0 _{= e, quindi (a}0₎0 _{= a.}

Queste regole ci dicono che in un gruppo ogni equazione di primo grado a∗x = b oppure x∗a = b ha soluzione Se il gruppo non `e commutativo a ∗ x = b e x ∗ a = b possono avere soluzioni diverse. Infatti moltiplicando per l’inverso a0 di a si ottiene nel primo caso x = a0∗ b, nel secondo x = b ∗ a0_.

Da tutto ci`o risulta che nella tabellina del gruppo su ogni riga e colonna devono comparire tutti gli elementi del gruppo e una volta sola. Si vede quindi facilmente che (a meno di scambiare il nome degli elementi) per i gruppi di 2 o 3 elementi c’e‘ una sola tabellina possibile, mentre per quelli di 4 elementi ce ne sono due.

ESEMPI:

1. L’insieme dei numeri naturali N con l’addizione + non è un gruppo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l’elemento neutro, ma ∀ n > 0 non c’è l’opposto. Analogamente N con la moltiplicazione non è un gruppo perchè · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro, ma ∀ n 6= 1 non c’è l’inverso.

2. L’insieme dei numeri interi Z con l’addizione + è un gruppo commutativo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l’elemento neutro e ∀ a ∈ Z ∃ − a tale che a + (−a) = (−a) + a = 0. Invece Z con la moltiplicazione · non è un gruppo perchè · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro, ma gli unici elementi che hanno inverso sono −1 e 1.

3. L’insieme {−1, 1} ⊆ Z con la moltiplicazione · è un gruppo commutativo, infatti · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro e ogni elemento è l’inverso di se stesso.

(3)

4. L’insieme Q∗= Q\{0} con la moltiplicazione · è un gruppo commutativo, infatti · è associativa e commutativa, 1 è l’elemento neutro e ∀ a_b ∈ Q∗ ∃ b

a tale che a b ·

b a = 1.

5. Sia A = {1, 2, 3}. L’insieme S3 delle applicazioni bigettive di A in A con la composizione di

applicazioni `e un gruppo con 6 elementi, detto gruppo delle permutazioni di 3 elementi:

i : A −→ A σ : A −→ A σ2: A −→ A 1 −→ 1 1 −→ 2 1 −→ 3 2 −→ 2 2 −→ 3 2 −→ 1 3 −→ 3 3 −→ 1 3 −→ 2 τ1: A −→ A τ2: A −→ A τ3: A −→ A 1 −→ 1 1 −→ 3 1 −→ 2 2 −→ 3 2 −→ 2 2 −→ 1 3 −→ 2 3 −→ 1 3 −→ 3

Infatti ◦ è associativa, l’elemento neutro è f1, l’inversa di f4è f6e f1, f2, f3, f5sono ognuna l’inversa

di se stessa. S3 non `e commutativo perch´e f2◦ f36= f3◦ f2, infatti f2(f3(1)) = f2(2) = 3, mentre

f3(f2(1)) = f3(1) = 2.

Una permutazione f pu`o anche essere denotata 1 2 3 f (1) f (2) f (3) , per esempio σ = 1 2 3 2 3 1 .

Se G con l’operazione ∗ , L con l’operazione • sono due gruppi, il prodotto cartesiano G × L con l’operazione definita da (a, b) (c, d) = (a ∗ c, b • d) `e un gruppo con elemento neutro (eG, eL).

Infatti si vede facilmente che `e associativa e che ogni elemento (a, b) ha inverso (a, b)0= (a0, b0) dove0 si denota l’inverso nel rispettivo gruppo. In particolare se L = G il gruppo G × G si denota G2. Analogamente si definiscono G3 e pi´u in generale Gn.

Un gruppo G si dice ciclico se esiste un suo elemento g tale che ∀ x ∈ G ∃ n ∈ Z tale che x = g∗n, dove con g∗n si intende g ∗ g ∗ . . . ∗ g n volte se n ≥ 0 oppure g0∗ g0∗ . . . ∗ g0 −n volte se n < 0. Tale g si dice generatore di G. Per esempio Z `e ciclico generato da 1, infatti ogni numero intero n `e somma di |n| copie di 1 o di −1 a seconda del segno di n. Z2 _{non `}_{e ciclico, infatti}

comunque scegliamo un elemento (a, b) esso non pu`o generare tutti gli elementi di Z2 perch´e per esempio l’elemento (a, −b) 6= n(a, b) ∀n ∈ Z, a meno che a = 0 oppure b = 0, ma allora non si ottengono gli elementi con entrambe le componenti non nulle.

Se un gruppo G ha un numero finito di elementi, si dice che G `e un gruppo finito e il numero di elementi si dice ordine di G e si denota |G|.

Sottogruppi

Un sottoinsieme H del gruppo G si dirà un sottogruppo di G se H è un gruppo rispetto all’operazione (che chiameremo ancora * ) indotta su H da quella di G. Ciò significa che e ∈ H, a ∗ b ∈ H ∀ a, b ∈ H, a0 ∈ H ∀ a ∈ H o equivalentemente a ∗ b0∈ H ∀ a, b ∈ H.

Si pu`o provare che:

Teorema di Lagrange. Se G è un gruppo finito e H è un suo sottogruppo, allora l’ordine di G è un multiplo dell’ordine di H.

(4)

ESEMPI:

1. L’insieme dei numeri pari P = {2n | n ∈ Z } `e un sottogruppo di Z. Infatti 2n − 2m = 2(n − m) ∈ P , mentre l’insieme dei numeri dispari D = {2n + 1 | n ∈ Z } non `e un sottogruppo di Z. Infatti 2n + 1 − (2m + 1) = 2(n − m) /∈ D.

2. Z `e un sottogruppo di Q.

3. L’insieme {1, −1} `e un sottogruppo del gruppo moltiplicativo Q∗.

4. L’insieme {i, σ, σ2} `e un sottogruppo ciclico di S3, e anche gli insiemi {i, τ1}, {i, τ2}, {i, τ3},

mentre non sono sottogruppi gli insiemi {τ1, τ2} (perch´e non contiene l’elemento neutro i) e

{i, τ1, τ2} (perch´e τ1◦ τ2= σ /∈ {i, τ1, τ2}). Scrivere per esercizio le tabelline di questi sottogruppi.

ESERCIZI:

1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di Z2 _{sono sottogruppi:}

H1= {(x, y) | x + y = 1} H2= {(x, y) | x + y = 0}

H3= {(x, y) | xy = 0} H4= {(t, t) |t ∈ Z} H5= {(t, t2) |t ∈ Z}.

2. Sia S4 il gruppo delle permutazioni di 4 elementi e siano i l’applicazione identica, σ =

1 2 3 4

2 3 4 1

. Provare che {i, σ} non `e un sottogruppo di S4 e determinare il pi´u piccolo

sot-togruppo H tale che σ ∈ H, calcolarne l’ordine e scriverne la tabella moltiplicativa. 3. Sia S4 il gruppo delle permutazioni di 4 elementi e siano i l’applicazione identica,

τ1= 1 2 3 4 2 1 4 3 , τ2= 1 2 3 4 3 4 1 2 , τ3= 1 2 3 4 4 3 2 1 .

Provare che L = {i, τ1, τ2, τ3} `e un sottogruppo di S4 e scriverne la tabellina.

4. Siano g un gruppo e H e K due suoi sottogruppi. Provare che H ∩ K è un sottogruppo, mentre H ∪ K lo è solo se uno dei due sottogruppi è contenuto nell’altro.

Omomorfismi di gruppi

Se G, ∗, e e L, •, u sono due gruppi diciamo che una applicazione f : G → L

`e un omomorfismo di gruppi se rispetta le operazioni, cio`e se f (a1∗a2) = f (a1)•f (a2), ∀a1, a2∈

G.

Se inoltre f `e bigettiva, f si dice isomorfismo, G e L si dicono isomorfi e si scrive G ' L.

Si vede facilmente che:

a) f (e) = u, infatti ∀ a ∈ G si ha f (e) • f (a) = f (e ∗ a) = f (a) = u • f (a), da cui per la legge di cancellazione in L si ottiene f (e) = u.

(5)

b) f (a0) = f (a)0, ∀a ∈ G. Infatti f (a) • f (a0) = f (a ∗ a0) = f (e) = u e analogamente f (a0) • f (a) = u e dunque la tesi.

ESEMPI:

1. L’applicazione f : G → L definita da f (a) = u, ∀ a ∈ G `e un omomorfismo di gruppi, mentre se si fissa un elemento b06= u di L e si definisce h(a) = b0, ∀ a ∈ G, questo non `e un omomorfismo

perch`e h(e) 6= u.

2. L’applicazione identica iG: G → G `e un isomorfismo di gruppi.

3. f : Z → Z definita da f (a) = 3a `e un isomorfismo di gruppi.

Infatti f (a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f (a) + f (b). Si vede facilmente che f è bigettivo. 4. f : Z → Z definita da f (a) = 3a + 1 non è un omomorfismo di gruppi perché f (0) = 1 6= 0. 5. f : Z → Z definita da f (a) = a2 _{non `}_{e un omomorfismo di gruppi perch´}_e

f (1 + 1) = f (2) = 4 6= f (1) + f (1) = 2.

6. Sia G il gruppo moltiplicativo {e = (1, 1), g1= (1, −1), g2= (−1, 1), g3= (−1, −1)}. Allora G

`e isomorfo al sottoguppo di S4 visto nell’esercizio 3 precedente:

L = i = 1 2 3 4 1 2 3 4 , τ1= 1 2 3 4 2 1 4 3 , τ2= 1 2 3 4 3 4 1 2 , τ3= 1 2 3 4 4 3 2 1 . Basta infatti porre f (e) = i, f (gj) = τj ∀ j = 1, 2, 3.

Data f : G → L abbiamo gi`a definito l’immagine di f come l’insieme: Imf = f (G) = {y ∈ L | ∃x ∈ G, f (x) = y}.

Se f `e un omomorfismo, Imf `e un sottogruppo di G (infatti comunque si scelgano due elementi y1= f (x1), y2= f (x2) in Imf si ha y1• y2= f (x1) • f (x2) = f (x1∗ x2) ∈ Imf ).

Ricordiamo che f `e surgettiva se e solo se Imf = L.

Se f : G → L `e un omomorfismo, definiamo nucleo di f , l’insieme degli elementi controimma-gine di u:

Kerf = f−1(u) = {x ∈ G | f (x) = u}. `

E chiaro che e ∈ Kerf , inoltre Kerf `e un sottogruppo di G perch´e se a, b ∈ Kerf allora f (a ∗ b0) = f (a) • f (b)0= u • u = u e quindi a ∗ b0∈ Kerf .

Teorema Un omomorfismo f : G → L`e iniettivo se e solo se Kerf = {e}.

Dimostrazione Se f `e iniettiva allora Kerf = {e}, altrimenti due elementi distinti avrebbero immagine u. Viceversa se Kerf = {e} e se f (x1) = f (x2), allora u = f (x1) • f (x2)0= f (x1∗ x02) e

(6)

Proposizione Se f : G → L `e un omomorfismo e se y0 ∈ L e x0 ∈ G sono tali che f (x0) = y0

allora:

f−1(y0) = x0∗ Kerf = {x0∗ z | z ∈ Kerf }.

Dimostrazione `E immediato che f−1(y0) ⊇ x0∗ Kerf . Infatti comunque si scelga z ∈ Kerf si ha

f (x0∗ z) = f (x0) • f (z) = y0• u = y0 .

Viceversa se t ∈ f−1(y0) allora f (t) = y0, cio`e f (t) = f (x0), da cui si ottiene u =

f (x0)0•f (t) = f (x00∗t) e quindi x00∗t = z ∈ Kerf , ossia t = x0∗z e dunque f−1(y0) ⊆ x0∗Kerf .

ESEMPI

1. Sia f : Z2→ Z definita da f(a, b) = a. Poich´e f(a, b) + f(c, d) = a + c = f(a + c, b + d) si ha che f `e un omomorfismo di gruppi additivi. Kerf = {(a, b) ∈ Z2 _{| f (a, b) = 0} = {(0, b) | b ∈ Z}.}

Se vogliamo calcolare f−1(2), sapendo che f (2, 0) = 2 otteniamo f−1(2) = (2, 0) + Kerf = {(2, b) | b ∈ Z}.

2. Sia f : Z → Z2 _{definita da f (a) = (a, 0). Verificare per esercizio che f `}_{e un omomorfismo di}

gruppi additivi. Kerf = {a ∈ Z | f (a) = (0, 0)} = {0}, quindi f `e iniettivo.

3. Sia f : Q∗ → Q∗ definito da f (x) = |x|, dove con |x| si indica il valore assoluto di x. Poich`e |xy| = |x||y| si ha che f `e un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Risulta

Kerf = {x ∈ Q∗ | f (x) = 1} = {1, −1}.

Anelli

Un insieme A con due operazioni + e · si dice anello se: (1) A con la somma + `e un gruppo commutativo;

(2) Il prodotto · `e associativo;

(3) vale la propriet`a distributiva della somma rispetto al prodotto, cio`e (a + b)c = ac + bc e a(b + c) = ab + ac

Inoltre A si dice anello commutativo se il prodotto · è commutativo; A si dice anello con identità (o con 1) se in A c’è un’identità moltiplicativa, che denoteremo appunto 1 (o 1A in caso

di ambiguit`a). PROPRIET `A: 1. a0 = 0b = 0.

Infatti a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0 e per la legge di cancellazione a0 = 0; il caso 0b=0 `e analogo.

2. (−a)b = −ab = a(−b)

(7)

3. (−a)(−b) = ab

Infatti (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab) = ab.

Non `e detto che se ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0. Un anello A si dice integro se ab = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.

Dati due anelli A e B, un’applicazione f : A → B è un omomorfismo di anelli se è un omomorfismo di gruppi additivi e rispetta la moltiplicazione, cioè se f (a1+ a2) = f (a1) + f (a2) e

f (a1· a2) = f (a1) · (a2), ∀a1, a2∈ A.

ESEMPI:

1. L’insieme dei numeri interi Z con l’addizione e la moltiplicazione `e un anello commutativo con identit`a, integro.

2. Se A `e un anello, l’insieme FA= {f : A −→ A} delle funzioni di A in A con le operazioni + e

· cosí definite : (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (f g)(x) = f (x)g(x) è un anello commutativo con identità, non integro.

Φ : A → FA definito da Φ(a) = fa , dove fa `e la funzione costante fa(x) = a ∀x ∈ A `e un

omomorfismo iniettivo di anelli (verificarlo per esercizio).

Verificare che FAcon la somma definita sopra e con la composizione di funzioni come

moltipli-cazione non è un anello perché non vale la proprietà distributiva.

3. Se A `e un anello, possiamo considerare l’insieme A[X] dei polinomi f (X) = a0+ a1X + a2X2+ . . . + anXn

dove a0, a1, . . . , an ∈ A sono detti coefficienti del polinomio e X indeterminata. Se an 6= 0

si dice che il polinomio f (X) ha grado n e si scrive δf (X) = n, in tal caso an si dice coefficiente

direttivo di f (X).

Dati due polinomi a coefficienti in un anello A, f (X) = a0+ a1X + a2X2+ . . . + anXn e

g(X) = b0+ b1X + b2X2+ . . . + bsXs, possiamo definire una somma e un prodotto nel modo

seguente: f (X) + g(X) = (a0+ b0) + (a1+ b1)X + (a2+ b2)X2+ . . . + (ai+ bi)Xi+ . . . f (X)g(X) =

a0b0+ (a0b1+ a1b0)X + (a0b2+ a1b1+ a2b0)X2+ . . . + (

Pi

j=0ajbi−j)Xi+ . . .

Con tali operazioni A[X] diventa un anello, integro se A `e integro.

Osserviamo che il grado della somma di due polinomi `e minore o uguale al massimo tra i due gradi. Il grado pu`o diminuire se f e g hanno lo stesso grado e coefficienti direttivi opposti, per esempio f = 1 + 2X − 3X3, g = 2 + X2+ 3X3 hanno grado 3, mentre f + g = 3 + 2X + X2 ha grado 2.

Se A `e integro il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di f g `e anbsXn+s, quindi δ(f g) = n + s.

L’applicazione φ : A → A[X] definita da φ(a) = a è un omomorfismo iniettivo di anelli, mentre ψ : A[X] → A definito da ψ(f (X)) = f (0) è un omomorfismo surgettivo di anelli. Piú in generale

(8)

fissato c ∈ A l’applicazione ψc : A[X] → A definita da ψc(f (X)) = f (c) `e un omomorfismo

surgettivo di anelli.

4. Se A, B sono due anelli, sul gruppo additivo A×B si pu`o definire oltre alla somma (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) anche un prodotto (a, b) · (c, d) = (ac, bd). Con queste due operazioni A × B `e un anello con 1A×B = (1, 1), commutativo se A e B lo sono, ma non integro anche se A e B lo sono,

perch´e per esempio (1, 0) · (0, 1) = (0, 0).

5. Vedremo in seguito che l’anello delle matrici `e un anello non commutativo con identit`a, non integro.

Campi (e corpi)

Un anello con identità K si dice corpo se ogni elemento diverso da zero è invertibile, si dice campo se K∗= K\{0} con l’operazione · è un gruppo commutativo.

Ogni corpo `e integro.

Infatti se ab = 0 e a = 0 si ha la tesi, altrimenti a 6= 0 `e invertibile e moltiplicando ab = 0 per a−1 si ha a−1(ab) = a−10 = 0; allora (a−1a)b = 0 e quindi 1b = b = 0

Come vedremo meglio in seguito, esempi di campo sono i numeri razionali Q, i numeri reali R, i numeri complessi C, gli interi modulo p con p primo Zp .