20140917 ap6

Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica,

modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu) Probabilità e Statistica (6 cfu) Scritto del 17 settembre 2014. Sesto Appello Id: A

Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)

Si ricorda che nella correzione dell'elaborato si valuteranno anche i procedimenti che portano ai risultati nali. Tali procedimenti devono essere descritti o giusticati in modo sintetico, ma chiaro. Riportare solo il risultato nale, anche se corretto, verrà considerato errore.

Problema 1 (tutti)

Una sorgente radioattiva emette 2 particelle. L'istante in cui viene emessa la prima particella e l'intervallo di tempo tra l'emissione delle due particelle sono variabili aleatorie indipendenti e distribuite in modo esponenziale di parametro 2λ. Le particelle vengono successivamente rivelate con un detector che ha un tempo morto h, cioè dopo una rivelazione, per un tempo h il dispositivo non è in grado di funzionare. Il rivelatore resta acceso solo per un tempo τ.

1. 2/30 Qual è la densità di probabilità della v.a. istante di emissione della seconda particella; 2. 4/30 Qual è la prob. che entrambe le particelle vengano emesse entro τ;

3. 3/30 Qual è la prob. che entrambe le particelle vengano rivelate dal detector;

Problema 2 (tutti)

In Meccanica Statistica la probabilità che un oscillatore armonico unidimensionale soggetto ad un campo elettrico costante E abbia la velocità e la posizione rispettivamente tra v e v + dv e x e x + dx è p(v, x)dvdx. La distribuzione è

p(v, x) = A e−(mv2+kx2−2qEx)/(2kBT )

dove m è la massa della particella, kB la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta, k la costante elastica

della molla e q la carica della particella. Determinare

1. 2/30 il parametro A in funzione delle varie costanti siche;

2. 2/30 il dipolo elettrico (d = qx) medio, mettendo in evidenza la dipendenza dal campo elettrico. 3. 2/30 la covarianza tra la velocità e la posizione;

Problema 3 (solo esame 6 cfu)

Si vuole indagare i tempi di risposta di 4 nuovi modelli di diodi. I dati forniti da ogni fabbrica per i tempi di risposta (in ns) di un campione di diodi sono mostrati in tabella. Mediante un test ANOVA si vuole vericare l'ipotesi che il tempo di risposta non dipenda dal tipo di diodo. Dopo aver specicato l'ipotesi nulla, determinare

D1 151 148 147 147 148 150

D2 151 149 152 151 151 152

D3 145 152 149 149 153 148

D4 151 147 146 142 148 149

1. 2/30 le medie di gruppo e la media totale;

2. 3/30 SSW e SSB e il loro numero di gradi di libertà, specicando sotto quali condizioni sono stimatori

corretti;

3. 3/30 se al livello di signicatività del 1%, si può rigettare l'ipotesi nulla.

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

Da una popolazione normale si estrae il seguente campione −2.57079, −1.90373, 0.39946, 4.10459, 3.89901, 7.0918, 6.17053, −0.5862, 0.53441, 7.65317, 7.54467, 13.4893.

1. 1/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative, media e varianza campionaria.

2. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la media della popolazione.

3. 3/30 Trovare, con almeno 4 cifre signicative e con un livello di condenza del 95% e del 99% gli intervalli di condenza per la varianza della popolazione.

Soluzione

Problema 1 (tutti)

1. Sia Ti la v.a. istante di emissione della i-esima particella e Z la v.a. intervallo di tempo tra l'emissione

della prima e della seconda. Dal testo si deduce che T1 e Z sono indipendenti ed identicamente distribuite.

La loro densità congiunta è

p(t1, z) = (2λ)2e −2λ(t₁+z) t1, z ≥ 0. Risulta T2= T1+ Z e di conseguenza pT2(t2) = Z d w p(w, t2− w) = Z t2 0 d w 2λ e−2λw2λ e−2λ(t−w)= . . . = (2λ)2t2e−2λt2 2. Basta calcolare P (T2< τ ) = Z τ 0 pT2(t) d t = . . . = 1 − e −2λτ (1 + 2λτ )

3. La prob. richiesta è P (T2< τ, Z > h) = P (T1+ Z < τ, Z > h)Per determinare la regione di integrazione basta

disegnare le disuglianze imposte, oppure in maniera più algebrica si può procedere così 0 < T1+ Z < τ ⇒ 0 < T1< τ − Z ⇒ Z < τ quindi Z τ h d z Z τ −z 0 d t1(2λ)2e−2λ(t1+z)= . . . = e−2λh− e−2λτ[1 + 2λ(τ − h)]

Problema 2 (tutti)

v= kBT /m, σx2= kBT /ke µx= qE/k, la densità di prob. si scrive come

p(v, x) =`A2πσvσxeµ 2 x/2σ2x´ e −v2_/2σ2 v √ 2πσv e−(x−µx)2/2σ_x2 √ 2πσx

che rappresenta il prodotto di due gaussiane normalizzate se si pone la parentesi pari a 1. Ne risulta che A = 1 2π √ mk kBT e−q2E2/2kkBT

2. Facilmente E[d] = q E[x] = qµx= (q2/k)E

3. La densità congiunta si fattorizza, pertanto x, v sono v.a. indipendenti. Tutti i momenti misti si fattorizzano e in particolare la covarianza è nulla.

Problema 3 (solo esame 6 cfu)

1. L'ipotesi nulla è H0(Xi,j ∼ N (µ, σ2)).

Risulta Xi,∗= 148.5, 151, 149 + 1/3, 147 + 1/6e X∗∗= 149

2. SSW = 107 + 2/3con 20 gdl, sempre corretto. SSB= 46 + 1/3con 3 gdl, corretto solo sotto H0.

3. La statistica da usare è una F di Fisher F3,20= 2.8689. Risulta P (F3,20> 2.8689) = 0.062che è il p-dei-dati.

Ne segue che H0 si può rigettare ad un livello di signicatività maggiore del 6%. All'1% si può accettare.

Analisi confermata dallo studio delle zone di rigetto P (F3,20 > fα) = α. Infatti f1% = 4.93, f5% = 3.1 e

f10%= 2.38.

Problema 4 (solo esame 6 cfu)

1. ¯X = 3.8188, S2 12−1= 23.081 2. Al 95% per la media [+0.76636, +6.8713] Al 99% per la media [−0.48851, +8.1262] 3. Al 95% per la varianza [+11.583, +66.538] Al 99% per la varianza [+9.4888, +97.530]