Instituzioni analitiche I

tIZZOA

d'ordine

NAZIONALE

) Digitizedby

Google

INSTiTUZIONI

ANALITICHE

MILANESE

t

Deir

AccademiadelleScienze diBologna

TOMO

I.

^

IN

MILANO,

iClDCCXLVIII

NELLA

REGI

A-DUC

AL

CORTE

CON

LICENZA

DE’

SUPERIORI

ALLA

SACRA CESAREA REALE MAESTÀ

v

D

E

L

L*

AUGUSTISSIMA IMPERATRICE

MARIA

TERESA

D'ADSTRIA

REGINA D’ONGARIA

E DI

BOEMIA

, cc. ec. ec.

Ra

quanti penfieri

6

io

rav-volto

nell

animo

per

Sollevar-mi

a

[perare

,

che

Voi

potefle,

SACRA

CESAREA

REAL

MAESTÀ»,

con

eflrema degnazióne

accoglie-re quefi opera

mia

,

che

va

Superi

chi

Voftro

Jtu&ufiijfimo

Nóme

, e

de

Vofiri

For

innatif-2

fimi

fimi

Aufipic

j,

un

fiolo

mi

conforta

,

ed

è

que-fio la

confiderazione del Vofiro

Sejfo,

che

da

VOI

illufirato

per

bella

forte* è

pur mio

.

Qtieflo penfìero

mi d

foftenuta nella fatica

c

non

mi d

laf

ciato

fentire

il rifcbio

dell

imprefa;

e

veramente

fe

in

qualche

tempo

poteva

giufiificarfi

I ardimento

di

una

Don-na

,

che

tentajfe

feguire

i

rapidi

voli di

una

Scienza, che fpazia

mai

fempre

negli Infini-ti,

in

quel

tempo

ejfere ciò

doveva

,

nel

quale

regna

una

DONNA,

e

regna

con univer

fia-le

ammirazione

.

Farmi

in

fatti

,

che

in

que-fta età

,

che

fra

tutte

le

venture chiara

,

ed

altera

avrà da

VOI

il

nome

,

debbano

le

Don-ne

tutte

fiervire alla

gloria del

lorofejfio, e ciaficuna

,

per quanto

le

può

venir fatto

,

con-tribuire

all'

accreficimento

dello

Splendore

,

nel

quale

V

OI

lo

avvolgete

;

VOI

,

chefparfi

i

aven-do

cTogri

intorno

alta

maraviglia

di

Voflre

;

Azioni

,cofiringete

gli

Uomini

a

dir di

VOI

con più\ ragione

,

che

non

fu

detto

di

alcuno

degli

antichi

Cefiari,

che

colla

Giufiizia,

e

Cle-Clemenza

dell

Imperio

onorate

T

umana

natu-ra,

e

rapprefintate

la

divina

.v.

Lafcio a

quel-le,

_{ohe gelofi}

delle

glorie del noflro fijfo

con-ferveranno à

Pofieri

le

Vofire Gefta,

ìefpri-mere

j

come

all efìmia

bellezza

d$lX

còrpo

\ti-mirmfìin'NOl

accoppiate

ad

una

,

ad una

tutte

te

virtù

',

e

fopra

tutto- lafcio loro il

celebrare

la

forza

del voflro

higegno

T

In-comparabile

Vofiro

Valore

,

l’àmpia Vofira

Sufficienza

,

e

quella

invitta

Coftanza

,

che

rifiorata

,

dirò

così,

dalle

ftejje

fventure

,e

da

pericoli fleffi, le

cofe Vofire nel principio

del

regno

da

nemico

Fato

travagliate

, e

quafi opprejfe ritornò

liete,e felici.

Non

_fi

rimarranno

effe

pure

di

far

conofiere

la

dol-cezza

de’

Voflricofiumi, r

Umanità

Vofira

,

e

la

generol

à

Attenzione

,colla

quale

fra

lo

ftrepito

ancora

, e il

tumulto

dell

armi

pro-teggete,

e

ravvivate

gli fiudj

t\e

Parti,

on-de

_fi

nutre

il

pubblico

bene

, e

fi

accendono

utilmente

gli

animi

degli

Uomini

.

Sin

da

primi anni occuparono

le

Scienze

la

Vofira

Mente

, e

nijfuna

fra

quefie

è

a

VOI

ftra-mera

»

Vi d

ora

da

quelle

diftolto la

cura

de'

Popoli

,

ed è

fembrato

poco al

Cielo,

cbe

foftela

più dotta del Vofiro Secolo

.

Ma

non

è in

VOI

però

men

fervido

lamore

del

Vero

,

e

perciò

chilo

ricerca

fommament

e

difiingue-te,

e

favorite.

Degnatevi adunque

,S

ACRA

CESAREA RE

AL

MAESTÀ’,

clementif

fintamente

riguardare

quefia

mia

fatica

,

c

come

opera

,

cbe

in fe raccoglie tutti

i

più

lumino

fi

progredì

dell

Intelletto

untano

,

c

come

quel tributo

,

che

per

me

poteva

offrir-li

maggiore

alla

gloria

del

Vofiro

Regno

,

che

non

per

altro

par

,

cbe richiami

la

memo-ria

delle

Eroine

,

cbe altrove

regnarono

,

cbe

per

maggiormente

al confronto

efaltarc

la

MAGNANIMITÀ',

PRUDENZA,

E

FORTUNA

VOSTRA;

efe

il

Mufico

Volume,

cbe

la

Sorella

iniad avuto

l onore di prefentarvi

, è

fiato

tan-'to

avvcnturofo

di

fciogliere

al canto

la

Vo-firn

Voce

,

abbia quefto

la

fof

pirata forte di

addopr

are

alcuna

volta

la

Vofira

zione

, e

Salacità* Altro non rimanendomi

,

che

d

implorarvi

dal

Cielo

lungbijjima

Vita

,

onde

deriverà

la

J

labilefelicità

di

tante

a

VÓI

foggette

Nazioni

,

al Voflro

Trono

umi-li

ffim

amente

mi

projìro

DELLA

S.

C.

R.

MAESTÀ*

VOSTRA

TJmiliJfìma,obbedientiffima, fedelijjìma

Serva,eSuddita

Matia

Gaetana Agnefi

! I . * si

V

V‘ ' ' . ’ ’ • w ’• \1' V > I r;•' ’•\ - v <» '

V

.•. •> .>*?*; .*»* ».,

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V

v:iV:OY

*A

}

o

.?

/

.f

nei

AL

LETTORE»

On

avvialcuno,ilquale informato

elTendodelleMatematichecofc_#

,

non

fappiaaltresìquanto,inoggi

fpezialmente,IlanecelTariolo

Au-dio dell’Anali!!, equaliprogrefli fifieno

con

quellafatti,fi

faccia-no

tuttora,e pollanofpcrarlinell’

avvenire;che però

non

voglio,

nè debbo

trattenermi

qui inlodandoquella feienza,chepunto

non

ne

abbi-fogna,emolto

meno

da

me

.

Ma

quantoèchiarala—

necelfità dilei,

onde

la Gioventù ardentemente s’ in-vogli difarneacquifio,grandialtrettantofonole diffi-coltà,chevis’incontrano,fendo noto,efuor di

dub-bio,che

non

ogni Città,

almeno

nellanoflra Italia—,

àpcrlone,chefappiano,o voglianoinfegnarla,e

non

cercar-ne iMaeffri.Tolo foper prova, ed ingenuamenteil

confettò

, mentre con tutto lo fludio, ch’io

mi

fono

sforzata di fare da

me

mede

fi

ma

foflenuto dallapiù forteinclinazionepercjueflafcienza,

mi

troverei

tutta-via intricata nelgranlabirintod’infuperabilidfficoltà, fe tratta

non

me

n*avelie la ficuraguida,efaggia—

direzione deldotiiflìmoPadre

Don

Ramiro

Rampinelli

Monaco

OlivctanooraProfcttòredi Matematicanella-.

Regia

Univerfità di Pavia, a cui

mi

riconofco

alta-mente

debitricedituttique’ progrettì(qualiettifieno) de* qualièflatocapaceil

mio

piccioltalento,ledicui

lodiiotralafcio

come

fnperfluead

un

Soggettosì cele-bre,e fpezial

mente

per

non

offenderelanota,e

for-fètropporigidadi luimodelìia.

Al

fopraccennato

in-comodo

poflonorimediare,

non

v’à.dubbio,inparte

ibuonilibri,

quando

ettifienoconquellachiarezza—,

chebalìaferini,econ quel

metodo

, chepur troppo

è necettario;quindiè,che quantunquele cofe

Anali-tichefieno tuttepubblicatecon le llampe, pure

per-chèettefonofcollegate,fenz*ordine,efparfequa,e

lànell’operedi moltiAutori, e principalmentenegli

AttidiLipfia,nelle

Memorie

dell’Accademiadi

Pari-gi

,edinaltriGiornali, coficchè

non

potrebbe

certa-mente un

Principiante ridurrea

metodo

le materie—,

quando

ancheeglifottedituttii librifornito, pensò

die-de

alla luce l’utiliffirao libro de

L

Analifedetnontr/c,

opera

degna

ditutte quellelodi,che maggiorifi

pof-fono.

Dopo

diche fembreràforfèaffatto inutile,che

comparilcano quelle

mie

Inffituzioni, avendo altrigià

da molto

tempo

cosi largamenteprovedutoall'altrui

bifogno.

Ma

fuquellopuntoioprego il cortefe

Let-torearflettere,che crefcendolelcienzedigiorno in

giorno,

dopo

1*edizionedellodato libro moltiflimi,ed

importamiflìmi fono Itati i nuovi ritrovamenti inferiti

dai loroAutoriindiverfeopere,

come

erafucceduto

deglianteriori;quindiper ifcemareagliStudio!!la

fa-ticadiandarefratantilibriripefcandoi metodidi

re-cente invenzione,

mi

fembravanoutiliffime,e

neceffa-rie

nuove

InffituzionidiAnalill.

Le

nuove

fcoperte_»

m’ànno

obbligataadun'altradifpofizione dicofe, e_»

ben

fachipon

mano

in sifattematerie, quantofia_. difficileilritrovarequella,cheIladotata delladovuta

chiarezza,e femplicità, omettendo tutto ilfuperfluo,

fenzalafciarecofaalcuna, che efferpolla utileo

ne-ceffaria,eche proceda conquellordinenaturale,in_,

cuiforfèconfillelamiglior illruzione

, ed il maggior

lume

. Quello naturaleordineioó certamente fempre

avutoinvilla,el’ó

fommamente

procurato,

ma

non

fo poifefaròHata bailantemente fortunataper

conle-guirlo

.

* 2 Nell*

Nell’ atto poi di maneggiarevarj metodi,

mi

fi

fonoparatealla

mente

alcune cflenfioni,c parecchie.» diverfe cofe,lequaliperavventura,

non

faranno

pri-vedinovità,ed’invenzione:a quefledaràilbenigno

Lettorequelpefo,chealuifembrerà,

non

intenden-do

iodiraccoglier lodi,contentadie(Termicon fodo,

everopiacere divertita,cdiaver procuratodi giova-realtrui

.

Nel

Tomo

fecondo per entro il CalcoloIntegrale

ritroveràilLettore

un

Metodo

affatto

nuovo

perli

Po-linomj,ncinluogo alcuno prodotto;quelloè del

ce-lebre,e

non mai

abbaftanzalodato Signor

Conte

Ja-copoRiccatiCavalieredi fingolariffimo merito nelle-» feienzetutte,eben notoal

mondo

letterario.’Aegli

voluto fare a

me

quella grazia nel

comunicarmelo

,

cheio

non

meritava, ed io rendo alui, edal

Pub-blicoquellagiufiizia,chefi conviene.

Finalmente,ficcome

non

è fiata

mia mente da—

principioilpubblicar colle (lampela prefente opera—

da

me

cominciata, e profeguita in Lingua

Italiana-pcr

mio

particolar divertimento, oalpiùper

ifiruzio-ne

d’alcuno de' miei minori fratelli , che inclinato

foffeallematematiche facoltà,

nè

effendomi determi-natadi darlaal Pubblico,che

dopo

dielTergià

mol-toavvanzatal’opera,epervenutaa confiderabile

me

;

mi

fono perciò difpcnfata dal tradurlaioLatino

Idioma(

comecché

daalcunicredali piùconvenire

a_

talmateria) siper l'autorevole efempioditanti

cele-bri Matematici Oltramontani,edItaliani ancora,

lo

dicuioperenellaloronatia favella

vanno

a

comuno

vantaggio ftampate,sipelnaturale

mio

rincrefcimento

allamateriale fatica ditrascrivere inLatinociò,

cho

avevadigià fcritto in Italiano.

Nè

intendoperò tarmi

carico di quellapurità dilingua, che

lodevolmento

viene praticatain materiedaquella diverfe,

avendo

io

avutoin mira più,cheognialtracofa,la

neccHarùu

poflibilechiarezza

.

Die

i

6

.Novembri s

1748.

IMPRIMATUR.

Fr.

H.

Todefcbini InquijitorGeneralisMediolani.

F.CuriomsArchipresbyterS.EufebiipròEminentifs.

&

Reverendifs.

D. D.

Card.Arcbiepifcopo.

INDICE

DE’

CAPI

D

I

TUTTA

L’OPERA

.

TOMO

I.

_v

LIBRO PRIMO

Deir

Analìfi

delle

Quantità

finite.

CAPO

I. DelleprimarieNotizie,ed Operazioni deir

Anali/i delleQuantitàfinite. . ,

CAPO

II. Delle Equazioni, e de’Problemipiqni

de-terminati.

CAPO

III. DellaCoftruzionede'Luoghi,ede’Problemi

indeterminati, chenon eccedono il

fe

-") condogrado.

CAPO

IV. DelleEquazioni,e

dS

Problemifolidi.

CAPO

V. DellaCoftruzionede’Luoghichefuperanoil

fecondogrado.~ '/*

*>

CAPO

VI. Del Metodode'Majftmi,eMinimi, delleL->

TangentidelleCurve,de’FleJJi

contra-ri ,e Regrejft,facendo ufodella fola*.

AlgebraCarteftana.

?

TOMO

TOMO

ti

c

I

Ci

Yx

i

LIBRO

SECONDO

1

Del

Calcolò Differenziale

.

*«• /*

» \1«ìf

^

*.•y .. . .. \)..i• \,i

CAPO

I. Dell’Ideade’Differenzialidi diverfi ordini

,

edelCalcolode'medefimi.

CAPO

II.

Del

MetododelleTangenti

.

v

CAPO

III.

Del

Metodode’MaJJimi,eMinimi.

CAPO

IV. De’FleffiContrari, ede'Regrejji

.

CAPO

V, DelleEvolute,ede’RaggiOfculatori,

• . .

LIBRO

TERZO

Del

Calcolo

Integrale.

•• .. v» * *

.

» ' ' .*• V* - • .

CAPO

I. Delle RegoledelF Integrazioniefpreffedcu.

formolefinitealgebraicbe,o ridotte quadrature fuppofle.

”, i < t

CAPO

II. Delle RegoledelF Integrazioni facendo ufo delleSerie.

CAPO

III. DellufodelleaccennateRegole nelle Retti

-ficazioni delle Curve, Quadraturede'

Spazj,Appi.inazionidelleSuperficie,e

Cubature de’Solidi.

CAPO

IV. Del Calcolo delle Quantità Logaritmiche,

edEfponenziali.

LIBRO

QUARTO

Del Metodo

Inverfo

delie

Tangenti

.

CAPO

I. Della Coflruzionedelle Equazioni

differeu-zialidelprimo grado,fenzaalcuna pre-cedente/epurazionedelleindeterminate.

CAPO

II. DellaCoflruzionedelle Equazioni

differen-zialidelprimo gradoper mezzo della precedentefeparazione delle Indetermi-nate.

CAPO

III. DellaCoflruzione d’altreEquazioni piùlimi

tate permezzodivariefoflituzioni.

CAPO

IV. Della RiduzionedelleEquazionidifferenziali

delfecondogrado.

I

NSTITUZ

IONI

A

N

A

L

I

T

I

C

H

LIBRO

PRIMO

/./T,'

%

yk

Dell

Anali

fidelle

Quantità

finite

? jlll

wl

'Analifi delle quantitàfinite, che

y

'^ÌT*^jÌP| C0IIluneraente chiamafi Algebra^.

v

;

VU

nii2 Cartefiana, è

un metodo,

con cui

te,cchefi cercano, per

mezzo

dialcune operazioni.

c metodi, cheparteaparte

mi propongo

di{piegare

nc’feguentiCapi

.

A

CAFO

Digitizedby

Google

t

2

ISTITUZIONI

CAPO

I.

Delleprimarie Notizie, ed Operazioni deli1

Analijt delleQuantitàfinite.

i.

Le

primarieoperazioni diquell’Algebra fonole

fleffcdell’Aritmetica

comune,

cioèla

Somma,

la

Sottra-zione,laMoltiplicazione,laDivifione,el’Effrazione

delleRadici;

ma

conquella differenza,che

nell’Arit-metica

comune

fiadopranoinumeri, edin quellale

lpe-cie

,ofiale letteredell’Alfabeto,conlequalifi

denomi-nano,

eficalcolanolequantità in affratto, diqualforta effefiano,geometriche, o fifiche,come Linee,

Super-ficie,Corpi,Forze, Refiftenze, Velocitàec.;e però

quellatalfortadiAritmetica chiamafiAlgoritmodelle quantità,o Aritmeticafpeciofa;edè

ben

quellamolto piùeccellente di quella, tuttocheleoperazionifieno le fieffe,fiperchèquelle quantità

non

fi

confondono

tra loro nelle operazioni,

come

lenumeriche,fiancora

per-chè conlafieffa facilitàfitrattano nel calcolo lequantità

note,eleincognite; efinalmente perchèledimollr

azio-ni analitichefonogenerali,edaqualunquecafo applica-bili,ladovelearitmetichefonoparticolar iffime

,edin

ognidiverfo cafo è neceffariauna nuova dimollrazione

.

2.

Ma

delleQuantitàaltrefonopofitive

,cioè

mag-gioridel nulla,altre minoridel nulla, eperò negative.

ANALITICHE.

j

Per cagion d’efempio:IBeni, chefipoffeggono,fono

politivi,

ma

quelli,che adaltrifi

debbono

,fono

negati-vi,perchè daipofitivis’hannoafottrarre,e

ne

dimi-nuifconola

fomma,

eperòficcome fonoquantità

pofiti-vc

iCapitali,che

uno

abbia,cosifonoquantitànegative iDebiti.Similmentefe

un

Mobiledirettoverfo

uno

feo-po, o

meta

del fuoviaggiodeferiva

uno

fpazio, farà

que-flo fpazio pofitivo;

ma

fefiporteràverfolaoppofia par-te, deferiverà

uno

fpazio,che relativamentealla

meta

,

verlocuidoveva andare

,farànegativo.Quindiin

Geo-metriafeunalineacondottadq,unapartefiaffuma per

pofitiva(ilcheè arbitrario)farànegativalalinea con-dotta verfolaparteoppofia

.

3.

Le

quantità pofitivcfidifiinguonoin algebra., dallenegativeper

mezzo

dicertifegni a loroprefiffi;

alle pofitivefiprefiggeilfegno-f,chedicefipiù,

allo

negativeilfegno

—

,chedicefimeno; e

quando

una.

quantità,che

o

fiapolla fola,oinunaferiedialtrefi*

laprima,

non

abbia prefiiTofegno alcuno,s’intende

fem-preaffettadalfegnopofitivo.Ilfegno

±,

acui è contra-riol’altro hF,è fegno

ambiguo,

e lignificailpiùedil

meno

,cioèilpofitivoedilnegativo,di

modo

che,per

efempio,

±

a

vorrà dire, chelaquantità afi

può

affume-re e pofitiva,enegativa. Ilfegno

=

fignifica

eguaglian-za,cperòa

—

bvorràdire,cheafiaegualea&;ficcome

*>b

fignifica,

chea

fiamaggioredib,ed

a<b,

che a

fiaminoredib.L’eguaglianzapoi delle ragioni, cioèla

prò-4

ISTITUZIONI

proporzione geometricaditre,oquattro quantitàfi

efpri-raerà cosia,b;:b,c fefarannotre, evorràdire, che_.

laragionediaallab èegualea quelladiballac;eda,

b::cyd vorrà d

;_{rc,chea è}

allab,

come rad.

Final-mente

ilfegnocofignifical’infinito,eperòa

—

oo figni-ficherà,cheafiaegualeall’infinito, cioèchefia quanti-tà infinita.

4.Quantità femplice, incompleta, odi

un

fol

ter-mine

è quella,checefprdfada una, opiù lettere,ma_.

tra loro

non

diflinte e fcparateda fegno alcuno,come.»

a, ab,aac ec., cosi all’oppoftoèquantitàcompollae di

piùtermini quella,cheè efprellàdapiùlettere traloro fcparate da’ fegni,

come

a

+

b

y aa

—

f

+

bb,ec.; eperò

a•+b farà didue termini,

aa—jf +

hhdi tre, ec.

Della

Somma

delleQuantitàfempliciintiere.

5.

Le

quantità femplicifi

fommano

traloroconIo fcrivereuna

dopo

l’altra,lafciandoaciafcuna di loroquel

legno, che hanno.Abbialida

fommare

aconbconc,

faràla

fomma

a-+b-*c\abbiafida

fommare

a con

—

by faràla

fomma

a

—

b\ abbiafida

fommare

aconacon b

con byfaràla

fomma

a

+

a+b +

b;

ma

qui avvertafi,che

a-fa è lollelfoche 23,e b

+

bè Iofiefibche2 b; eperò

la

fomma

farà23

+

ib.Quindi per

fommare

lequantità efpreiTe dalle

medtfime

lettere,balleràalla fiefialettera

prefiggeretal

numero

,che contengatanteunità,quante

voltecitac polla; eperòla

fomma

di acconacconacy

ANALITICHE.

5 cioè ac-fac--+ac farà3ac,e quello

numero

fichiama., coefficiente

numerico

.

Che

felequantità da fommarfi dallefleffieletteredenominate averanno inoltre coeffi-cientinumerici,fi

fommino

efficoefficienticonlaregola ordinaria dell’aritmetica; cosilafotnmadi2acon5 a

con

bcon 4bfarà7a-+sb;cosila

fomma

dia con3b

con

—

2 ccon jc cony<afaiàa

+

$b

—

ic-1-7e-+•5a,

ma

a

+

ya

fanno 6a,e

—

2c

+

70 fannoy c,

dunque

la

fomma

lari

6a-+•$b

+

yc.

DellaSottrazionedelleQuantità

f

empiiciintere.

Perfottrarre

una

quantitàdaun’altrafi

muta

il

fe-gno

aquella,chefidevefottrarre,e colfegno mutatofi

fcrivepredol’altra.Perfottrarrebdaalìferiva

a—b\

do-veavvertali,chefeafaràquantitàmaggioredib,il

refi-duo

dellafigurazione, cioèladifferenza farà pofitiva;

febfaràmagg'oredia>effadifferenzafarànegativa^

.

Perfottrarreoff'dabbc,fifacciabbc

—

af

;per fottrarre2?

dayj,lifacciaya

—

la;

ma

cinquea

meno

dueafanno

trea, adunqueilrefiduofarà30; perfottrarre

—

bda a,

fiferivaa*-b.

Nè

pajaUrano, chenel fottrarre~~b

quan-titànegativaeffadivenga pofuivaj

onde

ilrefiduolìa_.

a+b;

imperciocchéilfottrarreunaquantitàdaun'altra è

lo fteffo,cheilcercareladifferenza tra effe quantità;ora

ladifferenza tra a,e

—b

èappunto a~hb in quella guifa

,

cheladifferenza tra

un

capitaledicentofeudi e

un

de-bito dicinquantaècentocinquanta; perchè dall’avere^ cento

6

INSTI

TU

ZIO

NI

centoall’avere nulla v’è differenza dicento,e

dall’ave-re nullaall’avere cinquantadidebitoviècinquanta di differenza;

adunque

dal capitale dicentoaldebito di

cin-quantavifaràdifferenzadicento cinquanta. Cosi, perla

fieffaragione,a fottrarrebda

—a

fifcrive

—

a—b\

cper fottrare

—b

da

—a

fifcrive

DellaMoltiplicazione delleQuantità/empiici intere

.

7.

Le

quantità femplicifimoltiplicanoconlo fcrive-re l’unaunitamenteall’altrafenzaalcun fegnofrappolto, e c>òcherifultachiamafiilprodotto,ficcomc chiamanti

imoltiplicatorilequantità,chetra lorofi moltiplicano.

Ma

intornoalfegno,chedevefiprefiggereadeffì

pro-dotti,èregolagenerale, chefe lequantità moltiplican-ttfifono

ambe

pofitive,o

ambe

negative,alprodottofi

prefigge fempreilfegnopofitivo;feunadi effe,

qualun-quefiafi,è pofitiva,l’altranegativa,alprodottofi pre-figgefempreilfegno negativo.

La

ragionediciòè, che la moltiplicazione altro

non

è, che una proporzione

geo-metrica,ildicuiprimo terminefial’unità;ilfecondo,e

terzo termineleduequantità,che devonfimoltiplicare;

edilquartoilprodotto,epertantopolliin ferie l’unità

per primo termine,l’uno de’moltiplicatoriperfecondo,

l’altromoltiplicatoreperterzo;poichéilquarto,perla_.

naturadellaproporzionegeometrica,deveeffere

molti-piodel terzo,

come

ilfecondoèmoltiplo delprimo;fe_>

ilfecondo, eterzotermine fonopolitivi,cioèfe,per

efem-ANALITICHE.

7

efempio,è1, a::b,alquarto,efiendol’unità,cioèil

primo

pofitivo,dovrà pureefierepofitivoilquarto.Sia_.

negativoilfecondo,e pofitivoilterzo,cioèfia1 ,

-

a::b,

alquarto;.

dovendo

ilquartoefieremoltiplodelterzo,

co-me

ilfecondo è moltiplodel

primo

,ed efiendo negativo

ilfecondo,dovrà pureilquartoefierenegativo.Sia

pofi-tivoilfecondo, negativoilterzo,cioèfia1 ,a::

—b,

al

quarto;

dovendo

ilquartoefieremoltiplodelterzo,

come

ilfecondo è moltiplodelprimo, ed efiendoilfecondo,

ed

il

primo

pofitivi,edilterzonegativo,

non

potràil quar-to efiere fe

non

negativo. Sieno finalmenteilfecondo,

cdilterzonegativi, cioèfia1,

—

a::

—

b,alquarto;

ef-fendoilfecondo moltiplo negativo del

primo,

bifognerà

cheilquartoframoltiplo negativo del terzo;

ma

ilterzo

,è negativo,

dunque

dovràilquartoefierepofitivo.

Adun-que

ilprodottodiainbfaràab',quellodiain

-b

farà

—

ab-,di

-

ainbfaràpure

-

ab;di -ain

—

b faràab\ di a in b in c faràabe',diain

—b

in c farà

—

abe,perchè

a

in

—

bdarà

—

ab,e

—

abin cdarà

—

abe;edil

prodot-to di

—

a in

—

bin c faràabe.

Selequantitàdamoltiplicarliaverterò dei

coefficien-tinumerici,fimoltiplicanoelficoefficienticonlafolita_

regolade’

numeri

,edilprodottofiprefiggealprodotto

delle lettere;

onde

ilprodottodi6a in

—

Sbcfarà

—

4Sabc;

ilprodottodilain

—

ib in

—

farà1labe,ecosi degl*

altriec.

8.

Ora

poichéilprodottodia ina è aa\diaina ina

,

S

ISTITUZIONI

o

diaainaèaaa;diaina in a ina, o Ihdiahain aè ancia,e cosìiucceffivamente;pcr

non

replicare tante volte

lamede-limaletterafifuole lcriverea1

inluogodiaa,a}ia

luogodiaaa,a* inluogodiajaa,e cosìdegl’altri;cioè

fcrivcndofopralaletteratal

numero,

checontengatante

unità,quantevoltedovrebbeefil-rereplicata ellalettera, etale

numero

fichiamal'elponente;filuoleptrò

fcrive-re indiffefcrive-rentementetantoaa, quanto a1

;

non

così dipro^

dottomaggiore.

9.

Comecché

ilprodottodi

un numero

moltiplicato infe fftffòfichiamailquadratodiquel

numero,

ofiaUt

fecondapatella,efequelloprodottodi

nuovo

fi

molti-plicanelloHello

numero

, il

nuovo

prodottofichiama-,

ilcubo, olaterza potellà dello fieffo

numero

,edil

pro-dottodelcubonel

numero

fichiamailquadrato

quadra-to

,olaquartapotellà,e cosìluccelfivamente;cosìpure

amoltiplicato ina,cioèaafichiamailquadratodi a,

o

lafecondapotellà dia,a’ilcubo,oterza potellà,a* la

quartaec.Sarà

dunque

affaidiverto 2a daa1

,effendoil

primo

la

tomma

diacon a,cioèa

+

a,edilfecondo

ilquadratodi a,e cosìfidica di3aeda>,di44 ed a

4

ec.

Ma

poichéilprodottodi

con

+

,

£

di

—

con

—

è

fem-prepofitivo,ne viene, chetantoilquadratodia, quanto

di

—

afaràfempre aaquantità pofitiva; all’oppolloil

cubo

dia faràbensìpolìtivo,

ma

farànegativo,cioè

—

a'il

cubo

di

—a,

perchè

—a

in

—a

faaa,ed aain

—a

fa

—a’

.

Cosìfatàpofitivalaquartapotellà tanto dia, quantodi

ANALITICHE.

9

—

a;egeneralmente quandoI'efponente della poteftà, a

cuifivuoleelevareladata quantità,fia

numero

pari, olia

pofitiva,ofianegativalaquantità, ciòcherifultafarà

femprepofitivo;e

quando

I’efponentefiadifpari,fela

quantitàcpofitiva,ciòcherifultafaràpofitivo,efarà

negativoquandolaquantitàfianegativa.

DellaDivifionedelleQuantità/empiiciintere.

io.

La

divifioneèun’operazione oppoltaalla molti-plicazione, e ciò,chequella

compone,

quella rifolve;

poi-chéab èilprodottodiainb, cosidividendoabptrafi

avràb,edividendo perbfiavràa;dividendoahcper

leavraffia,cdividendo peraavralfibc,edividendo

percavraffiabec.

La

quantitàdadividerlifichiamail

dividendo;quella,percuifidivide,fichiamaildivifore;

e ciò,cherifultadalladivifione

,dicefiilquoziente.

Adun-que ogniqualvoltaneldividendo,enel divifore vifono

lelìefiequantità,fitolganoelleinquel

modo,

incuifono nel divifore, daldividendo,cancellandole; e ciò,che

ri-mane

,faràilquoziente,quindi fefidivida aapera,il

quozieùtefarà fefidivida a’ptr a

,

ilquozientefaràaa\

fefidivida a1

b’peraa bb,ilquozientefaràab; chefein oltreildividendo,e diviforeavelleròcoefficienti

numeri-ci,fidividanoefficonlaregola ordinaria dell’aritmetica,

edilquoziente numericofiprefiggaalquozienteletterale,

eperò dividendoja’b'_per

3£’,ilquozientefaràa1

;

divi-dendo

^6aab‘per 8 ab,ilquozientefaràjabb;e quinotili,

10

INSTI

TUZIONI

che qualoralaquantitàdadividerli

fu

la ftetfadel divifore,

come

farebbe a dividere bperb,fa' per la'

cc.,il quo-ziente è l’unità; elaragioneè chiara,perchèildividere è

11ricercarequantevolteildivifore entriovvero fu nel

dividendo.

ir.

Quando

poiildividendo,e diviforenon abbiano quantitàolettera

comune

,percuipodafarli ladivifione

nel

modo

fuddetto,contefarebbe a dividere aperb,a'per bcyScialiperree ec.,fifcrivono cosia> a', ijjbbec.

,

b bc ICC

cioèildividendoaldiCopra,edildiviforealdi Cottod'una

lineetta, efiintende,cheadebbalìdividereper7>,a'per

lece.,equeiìechiamanfìfrazioni;laquantità poi fopra

lalinetta dicefiil

Numeratore

,quelladifonoil

Deno-minatore.

Che

fealcunedelle lettere deldivifore

,

ma

non

tutte,fodero

comuni

conlaquantitàdadividerfi, fi

tol-gano

lecomunidall’uno, e dall’altra, c delrimanentefe

nc

formiunafrazione; cosidividendoa'bbpersabcc,farà

ilquozientea'b;dividendoioab'peri^bcc,faràil

quo-ziente2 abb cc.

3

"

12.

Ma

perchè può ederepofitivo,o negativo edil

dividendo, edildivifore, ènecedarioinciafcuna

combi-nazionede’cafifidarelaregolaperlofegno daprefiggerli

alquoziente.Quellaèla llelTi diquella,cheferve perla

moltiplicazione,vale a dire,chefeildividendo,edil di-viforeaveranno ambiil

medefimo

fegnopofitivo,0

ANALITICHE.

u

tivo,ilquozientefaràTempre pofuivo,efeaveranno

Pe-gnicontrarj,ilquozientefarànegativo.

La

dimodrazione

dipende daquella de’ legni della moltiplicazione;

imper-ciocchéficcomelamoltiplicazioue èuna proporzione,il

di cuiprimo terminefial’unità;ilfecondo, edilterzoi

duemoltiplicatori;edilquartoilprodotto;cosìladivilìone

èla flelTaproporzione,

ma

inverfa,ildicui

primo

termi-ne

èildividendo;ilfecondoildivifore; ilterzoil

quo-ziente;edilquartol’unità.Abbiafidadividere+zab per +; b,farà

dunque

laproporzione

±

ab,

±

b::*a

,

i

(pon-go

alterzotermine,cioèalquozienteillegno*

,

non

fa-pendofiperorafedebba ederepofitivo,o negativo); ora

confiderata quellaproporzione,

come

quella della molti-plicazione,

ma

inverfamentcpolla,fifache efiendo

pofi-tivoilfecondo termineb,

non

potrà ederepofitivoil

pri-mo

ab,fe

non

fiapofitivoilterzo a;ed elTendp negativoil

fecondob,

non

potràedere negativoilprimoab,fe

non

fiapofitivoilterzo a;epetonelladivifione

quahdo

fieno

politivi,onegativiidue primi,cioèildividendo,edil di-vifore,bifognerà chefiapofitivoilterzo,cioèil

quozien-te.IlleUamentepure

non può

nellalidia ferie,o

propor-zione ederepofitivoilfecondob,enegativoil

primo

ab,

o pure negativoilfecondob

,e pofitivoilprimoab,fe

non

fianegativoilterzo a;adunquenalladivifione

eden-do

pofitivoildividendo,cnegativoildivifore,opure all’oppolìo,dovrà necedariamente edere negativoil quo-ziente.

B

2 >

-i2

INSTI

TU

Z

I

O N

I

13.Perquellaragionefarà

dunque

loflettofcrivere,

per efempio, a,

come

—

a

,imperciocchéfea pofuivo

^-b

~~b

devefidividereperbnegativo,

dunque

ilquoziente deve

edere negativo;

come

pureèlo flettofcrivere

—

a,eda.

~b

T

DellaEffrazionedelleRadici dalleQuantità

/

empiiciintere.

14.

Come

evvi nelle poteflàilquadrato,ilcubo,la

quartapoteflà,laquinta ec.; cositra leradicivièla

qua-drata,o fu feconda,lacubica,o Haterza,laquarta,la

quintaec.

La

denominazionedellaradicefichiamaildi leiindice,eperòl’indice della radicequadrata,oila

fe-condaèildue;dellacubica, ofiaterzailtre;della

quar-tailquartoec., eper cavarelaradiceda unadata

quan-titàdeveii ritrovare quell'altra quantità,laquale moltipli-cata infeflettatante volteuna

meno,

quante fonoleunità nell'indice dellaradice,abbiaprodottalaquantità

propo-fla; cosia faràlaradicequadratadiaa,lacubicadia', la

quartadi<j\ec.

;inettamentelaradicequadratadiaabb

fa-ràab,di1Saabbccfaràlaradicequadrataqabe;lacubica-,

di27a'x'farà

3ax,e cosi deli'altre.

15.

E

poichéilprodottodel

meno

col

meno

è

fetn-prepofitivo,

come

difoprafièveduto, quindi è, chela radicequadratadiaa farà tanto<7,quanto

—

a,cioè ;

non

cosi dellacubica,laquale farà pofitivafefiapofitivo

ilcubo,e farànegativafefuquellonegativo, poiché il

ANALITICHE.

13

cubodiafarà a'

,

c•

—

a' quello di

—

a;barisi laradice quarta farà e pofitiva, enegativa;egeneralmente parlan-do,laradiced’indice pari faràTempree pofitiva, e nega-tiva;d’indice difparifarà poltrivafepofitivalaquantità

propofla,enegativafefiaquellanegativa.

E

perchè, per

laflefTanaturade’fegninellamoltiplicazione,neffuna,.

quantitàpofitiva,o negativa

può

mai generarepoteflà

ne-gativad’efponentepari; cosi èimponìbileritrovareradice

d'indicepari diquantitànegativa.Quelletaliradici

d’in-dice pari di quantitànegativafi

chiamano

imponìbili, o

immaginarie;farà

dunque

immaginarialaradicequadrata

di

—

aa,laquartadi

—

a

,

laquadrata,efefìadi

—

a*'

ec.;e faràvera,e realelaradice terza di

—

a'

,

laquinta di

—

a* ec.

16.

Ma

ilpiù delle voltelapropofla quantità,dicui

fivuolelaradice,

non

farà

un

quadrato,

un

cubo, oaltra

poteflà nata dalla moltiplicazionediquantitàrazionale in fe fteffa,

ma

farà

un

prodottod’altranatura,

come

ab,

abe ec.;inquelli califi faufodiquello fegno

v

,

che_.

chiamafi vincoloradicale,

onde

j/ ab,o femplicemente

v

ab vorràdire radicequadratadiab,

y

abevorràdire

radicecubadi abe,e così

_^

radicequarta,

_^

radice

quintaec.,equelle

taliquantitàaffettedalvincolo radi-cale11

chiamano

Irrazionali

.

' _Della

14

ISTITUZIONI

Delia

Somma

delleQuantitàcompofle intere.

17. Dalla

fomma,

ofottrazionedelle quantità

fem-plicinalconolecompolle. Per

fommare

quellepureballa feriveeleunadopol’altraconque*legni,che

anno

.Per

fommare

adunque a

+

bc onc

—

d,fiferiva ij-t-i-t-f

—

d; per

fommare

2aa

—

.v.vcon 3rc+- ayy

,

fifacciazaa

—

xx

+

3cc 4- 2yy;per

lommare

aa

—

xx

conbb+•

xx

+

yy,fi fac-ciaaa

—

xx

-h-bb +-

xx

+•yy;

ma

qui offervifi,che

—

xx,

c 4—

xx

fielidono,ediflruggono,adunquecancellati

que-lli

,la

fomma

faràaa+- bb+-yy;per

fommare

zaa

—

5bb

con aa4-2bb4-yy

,

fiferivazaa

—

5bb-haa+-2bb4-yy;

ma

2.7.14-.ilfanno3.1.1,e

—

$bb+-2 bbfanno

—

3 bb ,

adunque

la

fomma

farà3.7.7

—

\bb4-yy.

DellaSottrazionedelleQuantitàcompofle intere.

«

18.Simutinoifegniallaquantità,chefivuol

fot-trarre, indiconifegni cosimutatififeriva prclTo quella,

dacuifivuolfarelafottrazione.Perfottrarrec

—

dda_.

«ni

fiferiva.74-£

—

c+-d,elaragioneè chiara,

imper-ciocché

fondendola

folaquantità c, efcrivendoa4

-b

—

c

giàfiavrebbefottrattotroppo,perchè devefifottrarre_»

c

—

d,cioèlafola differenza dir,edi d, eperòfi avrebbe fottratio più deldovere, quantoèlaquantiià

d

,

adunque

per avere giudalafottrazione bil'ogncràaggiungereeffa_

quantitàd,e fcrivere

a-hb

—

cadilo

lidiodicalidelle

quan-ANALITICHE.

1

5

quantità piùcomporto. Perfotcrar.ro

a+-ib

da34+- 2 b, liferiva $a+-2 b

—

a

—

3b,efacondo'ariduzionedei

ter-mini limili

,poiché3.3

—

a èza,e2b

—

3è e

—

b

,fari il refiduo2<j

—

è;perfottrarreaa

—

zab dizaa

—

ab,fi

feriva 2 aa

—

ab

—

aa-t-zab,cioè aa+-ab;perfottrarre

?ab

—

2he+-2ed dayab

—

t\bc4-2ed, fi feriva $ab

—

4bc+•zcd

—

3

ab-r-zbc

—

2 ed,cioèfacendolariduzione,

zab

—

zbc.

DellaMoltiplicazionedelleQuantitàcowpofle intere.

ip.Intefalaregoladelmoltiplicarelequantità

in-complete

,è faciliflìma quella dellecomporte.Siferiva

adunque

l’unode’moltiplicatorifotto l’altro, all’ufodell’ aritmetica volgare, indi per ciafcun termine dell’uno de’ moltiplicatorifimoltiplichinotuttiiterminidell’altro

conladataregoladellequantitàfemplici,inquello,che

riftilta

,fifacciaalfolito lariduzionede’terminifintili ,ed

avrafliilprodotto.Abbiafidamoltiplicare a +- b

—

c

per.v;

<x4-br'C

fiferiva

_{£_}

,fimoltiplichi per*•ciafcun

tertni-a.v4- bx

—

ex

nedell’altro moltiplicatore portoaldifopra, e faràil

pro-dottoax+-

bx

—

ex.Abbiafidamoltiplicare 2j+- 3b

—

c

»+.ji

—

c

per

3*

—

2y,fiferiva 1V

Cax+.>jbx

—

jcx

—

ja;

—

uty +. try

per

lotermine 3*fimoltiplichinotuttiiterminidella quantità

pollaaldi l'opra,indififaccia lortertbper lotermine.#

—

zy,efe altriterminivi forteroaldil'ottofifarebbeIo fielTo;

i6

INSTI

TUZ

IO

NI

fieflò,e faràilprodotto

6ax

+-9bx

—

$cx

—

4ay

—

6by 4-2 cy.

Nè

importa, chel’operazioneficominciadelira,o afinifirarifpettoall’uno,edall'altro de’ moltiplicatori

,

ficcomenullaimporta, chedi efiìpiuttoflo l’uno,che

l’altrofiferiva fopraofotto,echefi

ponga

iltaleotal* altrotermine per primo.Abbiafidamoltiplicareaa4-

xx

peraa

—

xx

,

adunque

fiferiva aa4-

xx

aa

—

xx

edilprodottofarà a*4-

aaxx

—

aaxx

—

x

*

ma

aaxx

—

aaxx

fi elidono; adunqueilprodottofarà

a*

—

x*

.

Nellemoltiplicazionilunghe, per maggiorfacilitàdi

ridurreitermini fimili,tornaaliai

comodo

lofcrivereelfi termini fimili,chenella moltiplicazionefigenerano,

uno

fottol’altro inquefia guifa

fimoltiplichi 431

4-3aab

—

2abb-i-b•

per aa

—

jab-t-fibb

4<j’4-3<j+£

—

2a*bb-*-aab}

—

_$ab++

6b’

—

20 a*b

—

i^a^bb-t-ioaab'

—

12ab*

4-24a1bb

+

iSaab'

doveprefiofivede, che3a'b

—

zoa'b fanno-

—

17a*b‘r

che

—

2l'bb

—

1la'bb+-24.71

bbfanno7,7’bb;che aab'

4-\oaab*

+

18 aab'fanno29,-.ab1

;che

-—

jjab*

—

izab*

fan-no

—

ìyab*;e peròilprodottofaràfinalmente 4*’

—

17,74b+•7a1_bb4-2paab'

—

17ab44-6b’.

20. Allevolteè fuperfluoilfarel’attuai

moltiplica-zionenellaguifa,chefièdetta,ballando fempliccmente

!’indicarla,i!chefuolefarfiper

mezzo

di que-fiofegno

X,

ANALITICHE.

17

ècol tirareunarettafopraciafcunode’ moltiplicatori,la

qualefiefiendafopratuttique’termini,che entranonella

moltiplicazione;cosi00+-

xx

X

aa—xx

vorràdireil prodot-todi00

+

xx'maa

—

ma

nella quantitàaa+-

xx'Kaa

—

xx

±:04

_non

_eflendo

iltermine

±

a*lottolaretta linea,

non

•.s’intendeeglicoraprefonellamoltiplicazione di

modo,

checosifcrivendo vorràdireilprodottodiaa-t-xx in—

aa

—

xx

,alqualeprodottoè in oltreaggiunto,o

fot-trattoa*.

'li.Inquellaguifa,chenellequantità fempliciil

prodottodia inadicefiilquadratodi a,ilprodottodi

aainadicefiilcubodia,ilprodottodia*inalaquarta— poteftà ec.; cosi nellequantitàcompofie ilprodotto,

per efempio,di 0-1- 6 in0 6,ofina

+-bX

a -^bdicefiil

quadratodi

a+-b,

ilqualenonvolendoliformare

attual-mente

colla moltiplicazione,fifcriverà cosi0+-b;

ifief-famente

0+6

X

+-bfaràilcubo,efifcriverà 0

+

b;

04-è

X

a+-b

%0 pure 0+-b

Xa-*-b

dicefilaquarta

pote-rà,

efifcrive0

+

b;lofteflbintendafi delle quantità di più termini

.

Per formare attualmentequelle potefià,devefi

mol-tiplicarein fe laquantità,edilprodottonellaftefia

quan-titàfucctlfivamentetantevolteuna

meno,

quanteunità

contieneil

numero

dell’efponente di elTa potefià, chefi

defidcra.

Ma

perlafecondapotefià,cioèperIo

iS

ISTITUZIONI

to,fipuò abbreviarel’operazionecosì:Selaquantitàè

un

binomio,cioè didue termini,

come a±.b\

fifacciail

quadratodelprimo termine

,indife gliferivanoapprettò iduerettangoli,cioèduevolteilprodottodel

primo

ter-mine

nelfecondo con quel legno,cheportalaregola-.

della moltiplicazione, efinalmentefiaggiungail

quadra--1

todelfecondo termine.Cosìa+•bfaràaa+-2ab+-bb;

. 1 1

a

—

b faràaa

—

lab4-bb;

—

a

—

bfaràaa+-2ab+-bb .

Se

laquantitàfotte

un

trinomio,cioèditretermini,fi

feri-vanoinoltreiduerettangoli delprimo terminenel ter-zo,eduealtrirettangolidelfecondonel terzo

(intenden-do,

diequelli rettangoliabbianoque’ fegni,cheportala moltiplicazione)efinalmenteilquadratodel terzo

termi-l

ne.Cosìa+-b

—

cfarà egliaa+-2ab+-bb

—

2

ac

—

tbc+- cc

.

Selaquantità faràunquadrimonio,cioèdiquattrotermini, fiferivano in oltreduevolreirettangolide’primitretermini

nelquarto,condipiùilquadratodi ettoquartotermineec.

22.

Ma

rifpettoallequantitàbinomie puòfervireil

fe-guente

Canone

generale

non

foloperelevarlealquadrato,

ma

aqualunquepotellà

m,

intendendo per

m

un qualunque

numero.

Siadunque p4-qdaelevarliallapotellà »«, faràetta

m

m

—

i m

—

i - -

m

j p

+

mp

q+•

mX

m

—

I

_p

qq+-f»Xw»

—

lX«i

-

_ip

q * » •1

“7“

• - -

m

•— 4

f

i»Xi»

—

t

X

m

—

2

X

t»

—

3p q * cc.,e così

profe-r

—

3 4

Dt.b-ANALITICHE.

r9

Dcbbali adunquefareilquadratodi

p+-q

,inquello

cafo

m

farà 2, eperò fortuitonelcanoneinluogodella

m

il2,faràilprimo

termine^;

ilfecondo2pt~~1

qicioè 2pq;ilterzo 2

X

2

—

1 cioè??(

non

eflendovi

X ••~>

confideratalaquantità_p

,perchèelevataallapoteflà nulla

fieguagliaall’unità,

come

fidimollreràal

numero

50.)

ilquarto

_2X

2

—

iX

2

—

2

X

/>1

“

5

?

1

,

ma

2

—

2è lo

* ?

flettoche zero,adunquequello termineè moltiplicato

per zero,e cosipureciafcun de* futteguenti

,**

_onde

faran-no

ettiancora zero,eperòilcanone termineràcolterzo

termine,e faràilquadratoricercato_pp+-2pq

+

qq

.

Si voglialaterza poteflà dip

+

q;farà

m —

3,quindi

faràzeroilquinto terminecoifutteguenti,ela

ricer-catapoteflà (fattalafollituzionedi3 inluogodivi)

p

>+. 3ppq+.

3pqq+.q».Se laquantità da elevarfi farà p

—

q, bafleràporreilfegno

meno

atuttique’termini

,

ne’ qualilaq è apoteflà difpari

.

Ilfuddetto canoneferve

non

foloper lobinomio

ma

perqualunquealtroancora;eperòfivogliala

terza potèllàdi 2

ax

—

xx

:

fifupponga2,1

x—p

tc

—

xx=q

t

farà

m

—

3,indinelcanoneinluogodi_p,e delle poteflà

dipfifolhtuifca 2ax,elecorrifpondentifuepotcllà,Io fieflofifaccia di

—

xx

inluogodiq,e delle fue poteflà,

cfiponga3inluogoditn,efarà

—

naax*

t~

10

ISTITUZIONI

Anzi potràeglifervire perqualunque polinomio,

cioèperqualunquequantitàcompolladi piùtermini,che

didue.Siailtrinomio a4-h

—

c

daelevarliallaterza

po-terà,farà

dunque

m

—

fi

ponga

a—p,

eb

—

c

—

qtindi

fuirogato<j,elefuepoteflà inluogodi_p,e delle fue

po-terti,ficcomeinluogo di q, e fue potertifoftituito

b

—

c, efuecorrifpondenti poterti, farà a’+• 3

aaXb

—

c 4-

$aXb

—

c+-b

—

c,cioè a'4-3aab

—

3

aac+-^abb

—

6

abc

4-3 acc+-b'

—

%bbc +- %bcc

—

e* .

DelltfDivifimedelleQuantitàcompofle intere.

23.

Tre

combinazioni,ofianotrediverfi cafi

pof-l'ono darfi intornoalladivifione delle quantità

complete

;

11primo

quando

fiacompletalaquantitàdadividerli , e

fempliceildivifore;ilfecondo

quando

Ga femplice

quel-la,e

compoGo

quello;ilterzoquandofianocomportie_. l’una, el’altro.

Quanto

aiprimiduecafibadafarufo

del-laregoladelle quantità femplici.Nel primocafofidivida

ciafcunterminedella quantità propoftaperlodivifore,c

nafcerannointieri,orotti,oinparteintieri,ed inparte

rot-ti,

come

porteràlanaturadella divifione nelle quantità fcra-plici.Cosi dividendoaa-t-ab

—

acper«,avralfi a-t-b

—

c;

dividendo 4ab

—

6bc

xx

perib,avrafliza

—

3C4-

xx

;

li

dividendo

<\ab— cc+

3

xx

per 3r,avrafiì

406—

cc-h

3**

,

ofia4ab

—

c4-

xx

.

Nel

fecondocafofiferivaildivifore

k

t c

ANALITICHE.

21

fottoaldividendo,all’ufodellefrazioni, efeinciafcun

termine del numeratore,e deldenominatorevi farà

qualchequantità

comune

,ficancelliquella; e ciò,che

rimane,faràTempre unafrazione.Dividendo però %a'b

per aa

—

ax

+-ab,faràilquoziente 3al_b

.Dividendo 6a

*

o-x+.b

per2aa

—

lax

+

2

xx

,faràilquoziente 30*

aa

—

ax+.xx 24.

Nel

terzo cafofad’uopoinprimo luogo

ordina-reildividendo, edildivilorerelativamenteaduna

qual-chelettera,cheficrederàpiù a propofito, ilchefifa_.

fcrivendoperprimo terminee neldividendo,e nel

divi-fore quello,incuiquella letterafitrovaallamaggior

di-menfione opotellà,perfecondo termine quello,incui

quellaftelfaletteraèallapotellà piùprolfima;c cosi

fuc-cellìvamentefino a que’ termini,cheaffatto

non

conten-gano

effalettera,iqualifarannogliultimi.Cosifarebbe ordinatarelativamenteallaletteraalaquantità a'

₊

_iaac

—

aab

—

$abc+-bbc,edildiviforea

—

b.

Che

fefivoleffe

ordinarerelativamentealla letterab,fi Priverebbela_. quantità cosi: bbc

—

3abe

—

aab+-a'+- 2aac

,

edildivifore cos't:

—

b+-a.

l

Ciòpollo,ladivifionefifainquellamaniera:Si

di-videilprimo terminedeldividendoper loprimo

termi-nedel divifore,edilquozientefifcrive aparte;per

que-lloquozientefimoltiplica tuttoildivifore,edilprodotto

fifottraedaldividendo;fattalafottrazione,eridottii

Zi

ISTITUZIONI,

termini,di

nuovo

fidividenelladellamaniera perlo

primo terminedel diviforeilprimo terminediciò,cheè

ritnadoneldividendo, cioèdel

primo

redo,equello

quozientefifcrivepredol’altrocon quel legno, che deve

avere;indiperquello fecondoquoziente fi moltiplica

tuttoildivifore,edilprodottofifottraedaldividendo,

cioè dalprimorello

,edinquella guifaoperandofi

ripe-teilcalcolofinoatanto,chedallafottrazionenulla

ri-manga

,ela

fomma

di tuttiiquozienti parziali faràil quo-ziente totale nato dalla divifione.

Siadadividerlia'4-2a.jc

—

aab

—

^abe4-bbcpcTa

—

Siferivalaquantitàdadividerli in

(A)

tildivifore in

(B);

divifoa1_{per a,}

ilquozientefaràaa, chefiferiva in

(D),

indi fattoilprodottodelquozientenel divifore,e

fottrat-todaldividendo,rimarràil

primo

rello

(M)

,Sidivida-,

ilprimo terminelaac quello refiduo(Af) perlodello

primo terminea del divifore,cferiva!]ilquoziente iae

prefiol’altroin

(D),

fifottragga dalprimorello(

M)

il

prodottodi2ac nel divifore (fi),edaveralfiilfecondo

re-do

(N)

.

Si dividailprimo termine

—

abe di quello

fe-condo

redoper IofltlToterminea del divifore

,edil quo-ziente

—

bcfiferiva in

(D)

vicinoagl’altri,dalfecondo redo(

N)

fottraggafiilprodottodi

—

bc nel divifore,e_, nulla

rimane;

adunque ilquoziente farà

aa+iac

—

bc

(

A

)a'

+

*aac

—

aab

—

$abc+-bbc

(E)

a

—

b

(N)

-Ac+bbc

ANALITICHE.

Siadadividerli a

*

—

^aab-t-^abb

—

b'pera

—

b.Siferiva

ildividendoin

(A),

ildivifore in

(B),

dividaliil

primo

terminea’per a

, edilquozienteaali

ferivain(

D

) ,

indi fattoilprodottodelquozientenel divifore,e

fottrat-todaldividendo, rimarràilprimoretto(Af);fidivida...

ilprimo terminediquelloretto(Af),cioè

—

zaab perIo

ttefloprimo terminea del divifore,e fcrivafiilquoziente

—

2abprettol’altroin

(D),

fottraggafidal

primo

retto

(Af)ilprodottodi

—

labnel divifore,e fiavràil

fecon-do

retto

(N)

,

fidividail

primo

termineabb diquello

fe-condo

rettoperlotteffòprimo termineadel divifore,

ed

ilquoz:

entebbfiferivain(

D)

accantodegl’altri, fot-traggafi indi dalfecondoretto(IV)ilprodottodibbnel divifore

(B),

e nullarimane;

adunque

ilquozientetotale fatàtfj

—

2ab -t-bb

(A)

a’

—

_ì<jab+-$abb

—

b1 (Af)

—

2aab+~$abb

—

b% (Af) abb

—

b'

(B)

a—

b (

D

)aa

—

2ab+- bb Altro

Efempio

Dividendo2aa+-Jab+-ibb

—

ac

—

2

bc, Diviforea+- ib

Primoretto ab+- ibb

—

ac

—

ibe,Quozientei

j+-b

—

c

Secondo

retto

—

ac

—

2

bc

Altro

Efempio

Divid.

—

4d<f‘

—

e*, Divifore%dd

—

ce

Primo

retto 1id'

e+-3ddee

—

4

de’

—

e',Quoz. ^dd+^de+ee

Secondo

retto 3ddee

—

e*

li

I

NST1TUZ

IONI

Altro Efempio

Dividendo

₄

aa

+

4.7b

—

2ac*-bb

—

cc Divifore za+•b

Primo

rdlo zab

—

2ac-*-bb

—

cc

Secondo redo

.

—

2ac

—

ccQuoziente za*-b

—

c

Terzo

redo bc

—

cc

Ma

quioflervifi,chel’ultimoredobc

—

cc

non

è

divifibileper za, edinconfeguenza

non può

andare

avanti l’operazione,rimanendolafrazione bc

—

cc, e

que-x«+-A

do

vuoldire,chelapropodaquantità

non

èinteramente divifibileper za+-bt

ma

folo in parte, eperòfaràil

quo-ziente in parte intero,edinparte rotto, cioè2a+-b

—

c

4-bc

—

cc,

o

puretutto rotto, fcrivendo^aaJt-a

rab-?ac-hbb-cc .

la +- b la4.A

Dell' EJìrazione delle Radici dalleQuantitàcompofte intere.

25.

Come

nellequantità femplici,cosi nelle

compo-ne

laradicequadratadiuna qualunquequantità èquella, chemoltiplicatain fedella aprodottalaquantità data;la

cubicaquella,chemoltiplicata infeduevolte, la

quar-tatrecc.

La

manieradicavarelaradicequadratanelle

quan-titàcomplefleèlafeguente, intendendo però, che prima

fienoordinatiiterminirelativamente ad unalettera

fe-condo, cheèdatodettoal

numero

24.

Sialaquantitàaa+-2 ab bb,di cuifivuolelaradice

quadrata, chefiferiva in (-4);ficavilaradicequadrata

ANALITICHE.'

25

dal

primo

termine aa,e farà ertaa,laquale fiferiva in (B),fifottragga dalla quantitàpropofia

(J)

ilquadrato

diefTa,cioèaa,edilrelìduofiferiva in

(D),

indifi

raddoppilaquantità afcrittain

(B),

efiferiva in(Af),

efaràefia2 a\per2afidividailprimo terminedi

(D)

,

edilquozientebfiferivain(B),indifimoltiplichiil

di-vifore 2 a nelquozienteb, efifottraggailprodottodalla quantità

(D),

e di piùdaefiafifottraggailquadratodi b

,

eperchènullarimane,faràa+-blaradice cercata

(

A

) aa

+

2ab

+

bb

(B)a-*-A

(D)

2

ab+bb

(Af) 20

Sialaquantità a* b+-

^adbb—

nab'

+•4&4. Si feriva in

(A),

efieftraggalaradicequadratadalpr'mo

termine, cheeaat efiferiva in(B),ilquadratodiaa

fottraggafi dallaquantità(

A

),erimanelaquantità(

D

) ,

firaddoppj aatefiferivain (Af), eperelioraddoppiato,

cioèper 2aaydividafiil

primo

terminedelprimoreflo

(D),

edilquoziente3abfiferiva in(B),indi fottrattoil

prodottodi3ab nel divifore2 aacondipiùilquadratodi

efib34b dalprimoreflo

(D),

rimarràilfecondorefio

(H)

.Siraddoppjtuttalaquantità(B),efiferiva in_.

(G)

,perloprimo terminediefiafidividail

primo

ter-mine

di

(H),

edilquoziente

—

ìbbfiferiva in(B)

,

e_.

perchèfottrattoilprodottodelquozientenel divifore

(G)

condipiùilquadratodellofiefiòquozientedallaquantità

(H)

, nulla rimane, faràlaquantitàfcritta in

(B),

D

cioè

2 6

IN

STITUZIONI

cioèaa

+

3ab

—

zbblaradice,cheficerca.

(A) a*+ 6

a'b

+

ìaabb—

izab'

+

^b*

(B)

aa+

$ab

—

lbb

(

D

) 6a'b+-

$aabb—

\zab'+

4M

(

M)

ìaa

(H)

-qaM—izab'-t-qb*

(G)zaa+

6ab

Ecco

l’Operazione peraltriEfempj.

Sia y*+-4ay1

—

_8a'y+.^a* Rad. yy

+

zay

—

zaa

Primo

refio qay'

_

8<j’^+-4.7+ zyy

Secondorefio

_

qaa\y—

Sa'y

+

qa* zyy

+

qay

Saràadunquelaradicequadrata

yy+iay—

zaa

Sialaquantità

16a*-zqaaxx

-1

6aabb+1

ibbxx+px

4 Rad.

^aa-^xx—

zbb

I.refio-Z4aaxx-i6aabb+1

zbbxx+yx*

8aa

II.refio

—

\6aabb

+\zbbxx

8aa

—

6xx

III.refto

—

4b*

Con

quefiaoperazionefiarriva infineall’ultimorefio

—

4b*tilquale

non

è divifibilein alcun

modo

per8aa,

come

efiggeil

metodo,

cheinquellocafo

non

àluogo.

Ciò vuoldire,chedallaquantitàpropofia

non

fi

può

at-tualmenteefiraerelaradicequadrata,e però conviene.,

fervirfi delfegnoradicale,

come

di{opraal

numero

16.

\

lofteflòfaccialiin fimilicafiperaltreradicicube, quar-te ec.,e cosi

^aa +

bbvorràdirelaradicequadratadi

aa+bb\

f^aab

—

abb vorrà dire la radice cuba di a ab

—

abb ec.

26.Rifpettoalleradicicube.Siadaefiraerfila ra-dicecubadalla quantità a’_{+- 3}aabé+-3abb-t-b5

, che fi

feri-ANALITICHE.

27

feriva in(

A

). Sicavi la radicecubadalprimo

termino

a*della quantitàpropofta,efiferiva in

(B),

filottragga

ilcubodiquella,cioèa’,dalla quantità(

A

),edil

refi-duo

fiferiva in

(D),

fifaccia indiiltriplodelquadrato dia,cioè3aa,efiferiva in(

M),

perefTofidividail

primo

termine del refiduo

(D)

, edilquoziente bfi

feriva in

(B),

perefiofimoltiplichiildivifore3aa,edil

prodotto condi piùiltriplodel quadratodibnella

quan-tità<3,edil

cubo

dibfifottragga dalrefiduo

(D)

;

0

perchènullarimane,farà a

+

blaradice,cheficercava

.

( A')a'

+

$aab-h $abb-hb'

(B)

a

+

b

(D)

^aab4-%abb

+

bl

(

M

)3aa

Debbafielìraerelaradicecubadallaquantità

Z6 +-

6

bz*

—

4

oh’z’

+

_p6b'z

—

64

b*.

Si cavi la radice dal

primo

terminezs

,chefaràzz,

efiferiva in(R),fottraggafiilcubodi(

B

)dalla propo-rla quantità

(^),

edilrefiduofiferivain(

D),

fifaccia iltriplo delquadratodi

(B),

efiferivain

(M),

indiper efiofidividailprimo terminedellaquantità(

O)

,edil

quoziente zbzfiferiva in

(B),

fottrrggafipofeiail

pro-dottodizbznella quantità(

M),

e di piùiltriplodel

qua-dratodizbzmoltiplicato inzz

con

ilcubodizbzdal

refi-duo

(D),

e fcrivafiilrefiduo in

(Hi,

facciafiiltriplodel

quadratodi(

B)

,

chefcrivafi in

(G),

eperlo

primo

ter-mine

di efiofidividail

primo

terminedella quantità

(H),

edilquoziente

—4

bbfiferiva in(B),fi

moltipli-D

2 chi

28

ISTITUZIONI

chiquello quozientenella quantità

(G),

edilprodotto

condipiùiltriplodelquadratodi

—

4bb inzz

+

ibz,ed ilcubodi

_4

bb fottraggafi dalla quantità

(H),

e nulla-,

rimane;ondefaràlaradicecubadellaquantitàpropoli*

tuttalaquantità(B),cioèzz-t-ibz

—

qbb,

« , ,, , « Radice cuba .

\Si) z 4-6bz

—

40^ 6+b

\&)

zz+ibz

—

+bb (

D)

I.redo6tz

—

40Ì i

+

g 6tz-'64i C'V) jz (H)II.redo —itttz

—

484*4- jtfiz

—

(S4A

(G)

jz4.ntz•+izlbzs

Nelloftefifo

modo

lìfaràintornoallaquantità

* s 4 »» 4 1 * Radice cuba

(•'O

*7>—

S*'y•+>44<‘Of

—

—itcy-+<J4c(R) !Xy

—

+•»« (D)I. reflo

—

J4<y

5

-H44«y

—

ijicy -t-ipicyy--pCcy-+«4c(M) 17/

(H)II,reno io8«y

—

t

4<c> rf

—

}Ccy+64

e

(G) 177—jtffjf+urty 27.Perleradiciquarte. Sia propollalaquantità

<*4

+ 4

a'b+-

6

aobb+- ^ab'+-b*tdicuifivoglialaradice», quarta.Siferivain

(A)

,eficavilaradicequarta dal

primo

termine, chefaràa,efiferivain(

B)

,fottraggafi laquarta potefià di(B)dallaquantità

(A)

,edilreliduo fiferiva in

(D)

,indi facciafiilquadruplodelcubodi<7, efiferivain(Af), perefibfidividailprimo termine», dellaquantità

(D),

edilquozientebfi ferivain

(B),

dalla quantità

(D)

fifottraggailprodottodelquozienteb neldivifore43»,e di piùilfefiuplodelquadratodib nel

quadratodi«,edilprodottodelquadruplodelcubodib

«ella quantitàa,efinalmenteilquadrato -quadrato o

bu

analitiche:

29

quartapoteflà di b; eperchènullarimane,farà a+•&la-,

radicecercata

(

A

) 4-

43’^

+.

6

aàbb+- 4<7&’

+

&+

_(B)

a+-b

(D)

43*b+-6aabb+•qab'4-b4

28.Rifpettoallaradicequinta.Per vedereinquale

maniera crefcanoleoperazionidafarli,ballaformarela

quintapoteflà delbinomio, per efempioa+-b,laquale.»

cidarà regola, ftccomelafeconda,terza,equarta

pote-flà dellofleflobinomiociàdataregola perleradici

qua-drata, cuba,e quarta.Similmentefidifcorra delle

radi-ci fella, fettima ec.

Del

Calcolo delle Frazioni /empiici,ecompofte.

29.Dalladivifione dellequantitàs’èveduto cornea

nafconolefrazioni,ofianoirotti.

Una

frazione

adun-queindica

una

divifionedafarfidel numeratore per lo

denominatore,

onde

ne viene, chefeilnumeratorefarà

10 fleflo deldenominatore,

comejj^

o pure aa

—

bb,

ed

a a a

—

bb

altrefimili,talifrazioniniente altrovorrannofignifìcare, chel’unità,perchèdi fattodividendoaper

a,aa

—

bbper

aa

—

AA,ilquozienteè l’unità.

E

perchèlamoltiplicazioneè

un’operazionecontrariaalladivifione, è chiaro,che

un

qua-lunqueinterofi

può

ridurreadeflereunafrazione di

qual-fivogliadenominatore,feperlaquantità,chedeveeflere

11denominatore,fimoltiplicherà,efidivideràl’intero;

così

/

/

3

o

ISTITUZIONI

cosiperridurrel’intieroaad unafrazione del denomi-natore bfi l’criveràab; per ridurre a

—

bad unafrazione-*

“

deldenominatore dfifcrivcràad

—

bd;perridurrea-hb

d

ad una frazione del denominatore

c—d

li fcrivera

a+-b

_Xc—

d,cioèac

+bc

—

ad

—

bd.

.c

—d

c

—

d

DellaRiduzionedelleFrazioniall’efprejjtonepiù femplice.

30.

Quando

lefrazioni

anno

in ciafcunterminedel

numeratore,edeldenominatorelaItelTa,ole ftefle

let-tere balla cancellarenell’uno,e nell’altrolelettere

co-muni,

avendo riguardoallepotellà loro,

come

dillinella divifioneal

numero

io.; cosia^bbfaràaabb;ab

'

farà

a C c aie

bb;

a’b—x'b

faxa

a’—.x*

.

Ma

quando

anchenel

nu-C ab

—

b b a

—

•b

meratore, e denominatore

non

vifiano leflelTelettere-.,

purchél’uno,el’altrofieno moltiplicatiperlaftelfa

quan-tità,farannoanco perefladivifibili,edinconfeguenza-. fipotrà ridurrelafrazione.

Adunque

aac

—

aad,che è

~cd—dd

appunto

aaXc-d

,ridotta farà aa; aa+-iab\ ofia_*

dXe~d

d ••i+*atb aa+-

labXaa

+

lab, farà ridottaaa

+

lab; aac

—

aad

ca+-

takXi

b

cd—dd

—

bbc-bbbd

_of

_u

_aa

_—bbXc

_—

_d

ridottafarà

aa—bb

;

ANALITICHE.

3l

aac

—

aad

—

acd+-add

ed

—

dd a

±-.?L

ec. d

ofia

aa-.ad

X

c—d

,ridotta fari

dXc—

d

Generalmente adunque

ogni qualvoltalafrazione è tale,cheilnumeratore,edenominatorefieno

ambi

di-vifibiliper

una

(lettaquantità(cheinquellicafifi

chia-ma

illoro

comun

divifore)facendo attualmentele divi-fioni,idue Quozienti darannolafrazioneridotta;ma_.

avvertafi,chefeil

comune

divifore

non

èilmaffimo,la

frazione faràbensìridotta,

ma

non

allapiùfemplice ef-preflìone;cosi lafrazione a'

—

abb,clicè

aXa-+bXa—b

a

x

c

_x

-può

ettèredivifanelnumeratore,e neldenominatore pera,

pera+-b,eper aa

+

ab", ilmaflimodiquellidivifori

èaa-hab;

adunque

perchèfiaridottaalla

minima,

bifognerà

dividerlaper aa+•ab, c faràilquozientea

—

b.

Ma

ilpiùdelle

volte èaffaidifficileilriconofcerefevifia,equalefia_.

quello

comun

divifore,eperòfe ne daràlaregola più

abbalToal

numero

36. per ora

ommettendolo

afinedi

non

confondere troppolaGioventù

non

ancoraavvezza,

epatteròall'altreoperazionifervendomidifrazioni ridot-teall’efpreffionepiù femplice.

Del