Fa olta di S ienze Matemati he Fisi he e Naturali
Corso di Laurea in S ienze dell'Informazione
TESI DI LAUREA
Implementazione in Java di strumenti per la simulazione di
sistemi dinami i
Candidato: Lorenzo Cioni
Relatore:
Prof. Giorgio Gallo
ea Yuri,
impertinentefolletto
Prefazione i
Presentazione . . . i
S opodella Tesi . . . i
Struttura della Tesi . . . ii
Note tipogra he . . . ii
Ringraziamenti . . . iii
Elen o delle tabelle iv Elen o delle gure ix 1 System Dynami s e Computer Simulation 1 1.1 Introduzione . . . 1
1.2 La SimulazionedeiSistemi . . . 1
1.2.1 Introduzione . . . 1
1.2.2 Caratterizzazionedeisistemi . . . 2
1.2.3 Caratterizzazionee lassi azionedeimodelli . . . 3
1.2.4 Sistemi ontinui . . . 5
1.2.5 Stabilitaesistemi on anelli di feedba k . . . 8
1.2.6 S hemi a blo hi egra di usso. . . 12
1.3 La System Dynami s . . . 15
1.3.1 Introduzione . . . 15
1.3.2 Gli\andamenti tipi i" . . . 15
1.3.3 Anellidifeedba k e diagrammiCL . . . 19
1.3.4 I diagrammiFD . . . 25
1.3.5 Lestrutture di base . . . 30
1.3.6 Losviluppodi un modello . . . 38
1.4 LaComputerSimulation perlamodellizzazionedeiSistemiDinami i 41 1.4.1 Introduzione . . . 41
1.4.2 Caso 1: Anello singolo,feedab k positivo/feedba k negativo 43
1.4.3 Caso 2: Anelli multipli, feedab k positivo/feedba k negativo 47
1.4.4 Caso 3: Anelli on pi u di due elementi per anello, anelli
sovrapposti, feedab k positivo/feedba k negativo . . . 51
1.5 I metodidi risoluzione . . . 57 1.5.1 Il metododi Eulero . . . 57 1.5.2 I metodi diRunge-Kutta . . . 59 1.6 Considerazioni nali . . . 61 1.6.1 I ritardi . . . 61 1.6.2 Lenon linearita . . . 63
2 La progettazione di editor gra i e la visualizzazione di grandezze variabili nel tempo 65 2.1 Introduzione . . . 65
2.2 La progettazionedi editorgra i orientatiaigra . . . 66
2.2.1 Introduzione . . . 66
2.2.2 I gra : al unede nizioni . . . 68
2.2.3 La aratterizzazione diun editorgra o orientatoai gra . 70 2.2.4 Algoritmie vin olidilayout . . . 71
2.2.5 Astrazionegra a . . . 74
2.2.6 Le operazioni di editing ed il soddisfa imento dei vin oli topologi i ed appli ativi . . . 78
2.2.7 Persistenza deidati ed estendibilita . . . 79
2.2.8 Soluzioniimplementative . . . 82
2.3 La visualizzazione digrandezze variabili neltempo. . . 84
2.3.1 Introduzione . . . 84
2.3.2 Larappresentazionedell'asse deitempi . . . 85
2.3.3 Larappresentazionesull'asse delle ordinate . . . 86
2.3.4 Rappresentazioni sovrapposte . . . 89
2.3.5 Leunitadimisura . . . 90
2.3.6 Soluzioniimplementative . . . 91
3 D(a)ySyToolBox:la struttura astratta 93 3.1 Introduzione . . . 93
3.2 TopLevel . . . 95
3.3 Causal Loop Graphi Editor . . . 99
3.3.1 Introduzione . . . 99
3.3.2 I \ma rostati" dell'editor . . . 101
3.3.3 I pulsanti . . . 105
3.3.4 Levo i delmenu sulframe prin ipale . . . 108
3.3.5 I menu ottanti . . . 111
3.4 Flow Diagram Graphi Editor . . . 113
3.4.2 Levo i delmenu sulframe prin ipale . . . 114
3.4.3 I pulsanti . . . 119
3.4.4 Il anvas e i men u ottanti . . . 121
3.4.5 L'EquationEditor . . . 123
3.5 Display . . . 128
3.5.1 Introduzione . . . 128
3.5.2 L'interfa iautente . . . 128
3.5.3 Le nestreausiliarie,parametri\globali"eparametri\lo ali"131 3.5.4 I framedivisualizzazione . . . 135
3.6 Equation Solver . . . 136
3.6.1 Introduzione . . . 136
3.6.2 Il Tool Equation Solver . . . 137
3.7 I onvertitori da CL a FD e vi eversa . . . 139
3.7.1 Introduzione . . . 139
3.7.2 L'interfa iautentedel Converter Tool . . . 140
3.7.3 La onversione dei diagrammi CL in diagrammi FD e vi eversa . . . 142
4 D(a)ySyToolBox: la struttura interna 145 4.1 Introduzione . . . 145
4.2 TopLevel . . . 146
4.3 Causal Loop Graphi Editor . . . 148
4.3.1 Larappresentazionepittori a . . . 149
4.3.2 Il \ anvas" e lemodalitaditra iamento . . . 152
4.3.3 Lastruttura astratta \grafo" . . . 154
4.3.4 I frameausiliari eil he k diun grafo . . . 158
4.3.5 L'interazione on ilSistema Operativoospite . . . 159
4.4 Flow Diagram Graphi Editor . . . 162
4.4.1 Larappresentazionepittori ae il multigrafo soggia ente . 163 4.4.2 Il frameprin ipale: Draw e Graph . . . 167
4.4.3 I frameausiliari . . . 168
4.4.4 Lestrutture dati perla simulazione . . . 169
4.4.5 Controllie persistenza . . . 172
4.5 Display . . . 174
4.5.1 Il frame prin ipale ed i frame di visualizzazione . . . 174
4.5.2 I frame ausiliari . . . 178
4.6 Il ToolEquation Solver ed i onvertitori da CLa FD e vi eversa . 180 4.6.1 Introduzione . . . 180
4.6.2 Equation Solver . . . 181
5 D(a)ySyToolBox:note di utilizzo 186
5.1 Introduzione . . . 186
5.2 TopLevel . . . 187
5.3 Causal Loop Graphi Editor . . . 189
5.4 Flow Diagram Graphi Editor . . . 195
5.5 Gli altriTool . . . 201
6 Con lusioni 204 6.1 Introduzione . . . 204
6.2 Lo stato deisingoli Tool . . . 205
6.2.1 TopLevel . . . 205
6.2.2 CausalLoop Graphi Editor . . . 205
6.2.3 FlowDiagram Graphi Editor . . . 206
6.2.4 Display . . . 206
6.3 Problemi aperti ed estensioni . . . 206
6.3.1 Problemiaperti . . . 206
6.3.2 Estensioni . . . 211
A Des rizione del software mediante il linguaggio UML 212 A.1 Introduzione . . . 212
A.1.1 Il LinguaggioUML . . . 212
A.1.2 UML e i diagrammi dei asid'uso . . . 214
A.1.3 UML e i diagrammi delle lassi . . . 216
A.1.4 Il programmaPoseidon . . . 222
A.2 I diagrammi . . . 225
A.2.1 TopLevel . . . 225
A.2.2 CausalLoop Graphi Editor (ClEdit) . . . 229
A.2.3 FlowDiagram Graphi Editor . . . 251
A.2.4 Display . . . 280
A.2.5 Equation Solver . . . 291
A.2.6 I onvertitori da CL a FD e vi eversa . . . 294
A.2.7 Classi ausiliarie . . . 298
A.2.8 Classi gra he . . . 302
Presentazione
S opo della Tesi
S opodellapresentetesielaprogettazioneeimplementazionediunambiente
dedi ato per:
1. lade nizione dimodelligra i e matemati idi sistemi,
2. la simulazione del omportamento dei modelli os de niti mediante la
soluzione delle loroequazionides rittivee
3. lavisualizzazione delrisultatodi taliequazioni.
L'ambiente progettato e in parte implementato, detto D(a)ySyToolBox 1
,
on-tiene, pertanto,un insieme di Tool he onsentono la modellizzazionedi sistemi
dinami i, la simulazione del loro omportamento e la su essiva visualizzazione
degliandamenti neltempo delle variabilides rittivedeidiversi sistemi
modelliz-zati.
Lamodellizzazione sitradu e nella de nizionedi un modellogra o he
rappre-senta le relazioni fra le variabili aratteristi he del sistema, modello gra o ui
viene fatto orrispondereun modello matemati oottenuto de nendo un insieme
direlazionifra le varie variabili.
Sihanno pertanto:
1. una des rizionegra a o qualitativa ditipo gra oe
2. una des rizionequantitativadi tipo matemati o.
La des rizione gra a puo essere ottenuta utilizzando due strumenti distinti ma
ridu ibiliuno all'altro ovvero i diagrammiCausal-Loop (detti an he diagrammi
CL) e idiagrammidi usso (dettian he diagrammiFD).
La des rizione matemati a onsiste in un insieme di equazioni he stabilis ono
deilegamidi ausa-e etto fra levarie variabili.
Taliequazioni dipendonodauna variabiletempo dis retizzata.
Mediante la soluzione delle equazioni e possibile ottenere un erto numero di
relazionidel tipoy =x(t) he possonoessere rappresentate utilizzandodeipiani
artesiani in mododa avere l'evoluzione nel tempo delle variabili aratteristi he
delmodello.
Struttura della Tesi
Ilprimo apitolo ontieneunabreveintroduzioneteori aaimetodieagli
stru-menti della System Dynami s, alle problemati he della Computer Simulation e
della simulazione ontinua.
Il se ondo apitoloa rontatemati he relativealla progettazionedi editorgra i
perla reazione el'editingdigra edistrutture analogheoltre atemati he
rela-tive allavisualizzazione digrandezze infunzione del tempo.
Nelterzo apitoloviene presentata la struttura astratta dell'ambientedi
model-lizzazione proposto, vengono presentati i singoli Tool, vengono des ritte le loro
interfa eelelorofunzionalitaevengonoillustratelerelazioniesistentifraivari
Tool.
L'analisidellastruttura internadeisingoli Tool,in luselestrutture dati
dinami- heutilizzateeleproblemati herelativeallapersistenzadeidati,vienea rontata
nel apitolo quattro mentre il apitolo inque ontiene al uni esempi di utilizzo
deivari Tool.
La tesi si hiude on un apitolo dedi ato alle on lusioni in ui viene delineato
illavoro an ora dasvolgere e on l'Appendi eA.
L'Appendi eA ontiene lades rizionedelle lassi utilizzate,deilorometodiedei
loro ampidati, edellelororelazionire ipro he mentrei odi isorgentedel
soft-waresviluppatoperimplementarel'ambienteoggettodellatesisonomemeorizzati
nelCD allegatoallatesi stessa.
Note tipogra he
Iltestodellatesiestato ompostoeimpaginatoutilizzandoilsistemadi
om-posizione L A
T
E
X ([GMS94℄, [Lam94℄) nella versione MikTeX per Windows TM
,
utilizzandounPersonalComputermodelloPresario,mar aCompaq,dotatodi
SistemaOperativo WindowsMilleniumEdition TM
.
Una volta omposto il testo, i le in formato :tex sono stai onvertiti in
for-mato PostS ript TM
on il omando dvips TM
, visualizzati on il programma
GSview4:3 TM
perWindows TM
estampati on una stampanteLexmarkZ25:
PerlaBibliogra aestato usatoilpa kage BiBTex ([GMS94℄[Lam94℄). Le
gu-re, in ne,sono state disegnate utilizzando ilprogramma Paint perWindows TM
La onverzionedei le ontenentileimmaginidalformato:gif alformato:eps,in
modo da poterle utilizzareall'interno dell'ambienteL A
T
E
X, e stata ottenuta on
i programmi PaintShopPro7 TM , ImageAl hemy1:1 TM e GSview4:3 TM per Windows TM . Ringraziamenti
La presente tesi, he hiude (almeno per ora) una arriera universitaria
plu-ride ennale,deve tuttoallapazienza e all'amore. Desidero,pertanto,ringraziare
ilProfessorGiorgioGallo,pazienteami hevolerelatoredellapresenteTesi, e
Da-niela,mi orazon y mi vida.
Desidero,inoltre, ringraziare laProfessoressa Maria EugeniaO hiuto peril suo
preziososostegnoeinumerosiparte ipantialNewsgroupit: omp:java hehanno
tolleratolemiespesso strampalate domande relativeal linguaggioJava TM
1.1 Tabellaespli ativadella relazioneInteressi/Capitale . . . 46
3.1 Elen o dei Tool . . . 94
3.2 Elementi dell'interfa ia di TopLevel . . . 96
3.3 Pulsanti e relativi e etti . . . 107
3.4 Le vo i dei sottomen u del Causal Loop Graphi Editor . . . 109
3.5 Elementi della vo e \File" . . . 117
3.6 Elementi della vo e \Appli ation" . . . 117
1.1 Esempio di sistema in retroazione . . . 10
1.2 S hema a blo hi e grafo di usso orrispondente . . . 12
1.3 Grafo di usso e sua riduzione in forma minima . . . 13
1.4 Esempi di andamenti tipi i . . . 16
1.5 Ar hi on segno in diagrammi CL . . . 20
1.6 Anello di feedba k positivo e andamento di una delle variabili . . 21
1.7 Dai diagrammi CL ai diagrammi FD . . . 25
1.8 Variabili ausiliarie in diagrammi FD . . . 30
1.9 Diagramma FD on un solo anello di feedba k : evoluzione esponenziale . . . 31
1.10 DiagrammaFD onun soloanellodifeedba k: evoluzioneditipo asintoti o . . . 32
1.11 Esempio di diagrammi FD e CL on \ res ita a S" di una delle variabili . . . 33
1.12 Andamenti delle variabili \ConsumatoriE ettivi" e \vendite" . . . 35
1.13 Esempio di diagramma FD on \ res ita a S" seguita da de lino di una delle variabili . . . 36
1.14 Esempio di sistema on feedba k negativo on possibili os illazioni 38 1.15 Singolo anello, feedab k positivo . . . 43
1.16 Singolo anello, feedab k negativo . . . 46
1.17 Due anelli, feedab k negativo . . . 48
1.18 Tre anelli: due on feedba k negativo, uno on feedba k positivo 50 1.19 Due anelli, feedab k positivo . . . 51
1.20 Anello singolo on tre elementi, feedba k positivo . . . 52
1.21 Anello singolo on tre elementi, feedba k negativo . . . 54
1.22 Anello singolo on tre elementi, feedba k negativo . . . 55
1.23 Anelli sovrapposti, feedba k positivo e negativo . . . 56
1.24 Ritardo pipeline e ritardo esponenziale . . . 62
2.1 Interazione fra un editor gra o e una appli azione . . . 66
2.2 Multigra e gra ( fr. la gura 1.11) . . . 68
2.4 S ala lineare e normalizzata (a), s ala lineare, logaritmi a e
normalizzata (b). . . 87
2.5 Rappresentazionepuntiforme, on interpolazione lineare, a gradini 89 2.6 Rappresentazioni sovrapposte, s alelineari (o logaritmi he) . . . . 90
2.7 Rappresentazioni sovrapposte, s alenormalizzate . . . 90
3.1 Possibile usso logi o delleoperazioni nell'ambienteD(a)ySy Tool Box . . . 94
3.2 Relazioni logi he fra operazioni e moduli dell'ambiente D(a)ySy ToolBox . . . 95
3.3 TopLevel . . . 96
3.4 TopLevel e due Viewer . . . 98
3.5 Il \Causal Loop Graphi Editor" . . . 100
3.6 Al uni dei \ma ro stati" delCausal Loop Graphi Editor . . . 101
3.7 Con gurazione dell'interfa ia del Causal Loop Graphi Editor dopo una <new> . . . 102
3.8 Con gurazione dell'interfa ia del Causal Loop Graphi Editor dopo una <open> o una <import> . . . 103
3.9 L'insieme dei pulsanti . . . 106
3.10 I men u ottanti . . . 112
3.11 Il \Flow Diagram Graphi Editor" . . . 114
3.12 I men u \Draw" e \Edit" . . . 115
3.13 Il \ anvas" on un diagramma di esempio . . . 116
3.14 I men u ottanti . . . 122
3.15 I parametri dellasimulazione . . . 124
3.16 L'Equation Editor per un nodo di tipo \level" . . . 125
3.17 L'Equation Editor per un nodo di tipo \ onstant" . . . 126
3.18 Il frameprin ipaledel Tool Display . . . 128
3.19 I sottomen u del frameprin ipaledel Tool Display . . . 129
3.20 Le nestre ausiliarie . . . 130
3.21 Un esempio di frame di visualizzazione . . . 133
3.22 Un frame di visualizzazione on due gra i sovrapposti . . . 134
3.23 Il Tool Equation Solver . . . 138
3.24 Il Converter Tool . . . 140
3.25 Le interfa e dei onvertitori . . . 141
4.1 TopLevel: lastruttura interna . . . 146
4.2 Le strutture dati (sempli ate) della \rappresentazione pittori a" . 150 4.3 La lasse \Graph" e le lassi \ausiliarie" . . . 154
4.4 Le strutture dati (visione sempli ata) asso iate ad un \grafo" . . 155
4.5 Le interazioni della lasse \Intera tor" . . . 162
4.6 Le lassi per gli elementi di onnessione . . . 163
4.8 Le lassi per il multigrafo . . . 166
4.9 Il frameprin ipalee al une delle lassi ollegate . . . 167
4.10 I frame ausiliari per la simulazione . . . 170
4.11 Il frameprin ipalee i frame di visualizzazione (1) . . . 174
4.12 Il frameprin ipalee i frame di visualizzazione (2) . . . 175
4.13 Le lassi per i frameausiliari . . . 178
4.14 Le lassi del ToolEquation Solver . . . 181
4.15 Le lassi per la onversione . . . 183
5.1 TopLevel: al uni dei asi d'uso . . . 187
5.2 ClEdit: al uni dei asi d'uso . . . 190
5.3 ClEdit: gestione deigra . . . 191
5.4 ClEdit: gestione dei le . . . 192
5.5 FdEdit: al uni dei asid'uso . . . 196
5.6 FdEdit: la gestione delle equazioni . . . 197
5.7 FdEdit: gestione dei gra . . . 198
5.8 FdEdit: gestione dei le . . . 199
5.9 Display: leinterazioni on gli altri Tool e i prin ipali asi d'uso . 201 5.10 Resolver: le interazioni on gli altri Toole i prin ipali asid'uso . 202 A.1 La notazione UML per i diagrammi dei asid'uso . . . 214
A.2 Al uni esempi di utilizzo . . . 215
A.3 I diagrammi delle lassi (1): la notazione . . . 217
A.4 I diagrammi delle lassi (2): aggregazione . . . 220
A.5 I diagrammi delle lassi (3): omposizione . . . 220
A.6 I diagrammi delle lassi (4): ereditarieta . . . 221
A.7 TopLevel: i listener, il main e altri metodi . . . 225
A.8 TopLevel: le lassi prin ipali, nessundettaglio . . . 226
A.9 TopLevel: al une lassi prin ipali in dettaglio . . . 227
A.10TopLevel: al une lassi prin ipali in dettaglio . . . 228
A.11ClEdit: visione \pa kage entri " . . . 229
A.12ClEdit: visione \ lass entri " . . . 230
A.13ClEdit: visione \diagram entri (1)" . . . 231
A.14ClEdit: visione \diagram entri (2)" . . . 232
A.15ClEdit: visione \diagram entri (3)" . . . 233
A.16ClEdit: visione \inheritan e entri (1)" . . . 234
A.17ClEdit: visione \inheritan e entri (2)" . . . 235
A.18ClEdit: visione \inheritan e entri (3)" . . . 236
A.19ClEdit: diagramma delle lassi (1) . . . 237
A.20ClEdit: diagramma delle lassi (2) . . . 238
A.21ClEdit: diagramma delle lassi (3) . . . 239
A.22ClEdit: lassi in dettaglio (1) . . . 240
A.24ClEdit: lassi in dettaglio (3) . . . 242
A.25ClEdit: lassi in dettaglio (4) . . . 243
A.26ClEdit: lassi in dettaglio (5) . . . 244
A.27ClEdit: lassi in dettaglio (6) . . . 245
A.28ClEdit: lassi in dettaglio (7) . . . 246
A.29ClEdit: lassi in dettaglio (8) . . . 247
A.30ClEdit: lassi in dettaglio (9) . . . 248
A.31ClEdit: lassi in dettaglio (10) . . . 249
A.32ClEdit: lassi in dettaglio (11) . . . 250
A.33FdEdit: visione \pa kage entri "(1) . . . 251
A.34FdEdit: visione \pa kage entri "(2) . . . 252
A.35FdEdit: visione \inheritan e entri "(1) . . . 253
A.36FdEdit: visione \inheritan e entri "(2) . . . 254
A.37FdEdit: visione \inheritan e entri "(3) . . . 255
A.38FdEdit: visione \ lass entri " . . . 256
A.39FdEdit: le asso iazzioni(1) . . . 257
A.40FdEdit: le asso iazioni (2) . . . 258
A.41FdEdit: al une lassi, senza dettagli (1) . . . 259
A.42FdEdit: al une lassi, senza dettagli (2) . . . 260
A.43FdEdit: al une lassi, senza dettagli (3) . . . 261
A.44FdEdit: erediterieta, senza dettagli . . . 262
A.45FdEdit: dettaglio delle lassi (1) . . . 263
A.46FdEdit: dettaglio delle lassi (2) . . . 264
A.47FdEdit: dettaglio delle lassi (3) . . . 265
A.48FdEdit: dettaglio delle lassi (4) . . . 266
A.49FdEdit: dettaglio delle lassi (5) . . . 267
A.50FdEdit: dettaglio delle lassi (6) . . . 268
A.51FdEdit: dettaglio delle lassi (7) . . . 269
A.52FdEdit: dettaglio delle lassi (8) . . . 270
A.53FdEdit: dettaglio delle lassi (9) . . . 271
A.54FdEdit: dettaglio delle lassi (10) . . . 272
A.55FdEdit: dettaglio delle lassi (11) . . . 273
A.56FdEdit: dettaglio delle lassi (12) . . . 274
A.57FdEdit: dettaglio delle lassi (13) . . . 275
A.58FdEdit: dettaglio delle lassi (14) . . . 276
A.59FdEdit: dettaglio delle lassi (15) . . . 277
A.60FdEdit: dettaglio delle lassi (16) . . . 278
A.61FdEdit: dettaglio delle lassi (17) . . . 279
A.62Display: le lassi prin ipali . . . 280
A.63Display: dettagliodelle lassi (1) . . . 281
A.64Display: dettagliodelle lassi (2) . . . 282
A.67Display: dettagliodelle lassi (5) . . . 285
A.68Display: dettagliodelle lassi (6) . . . 286
A.69Display: dettagliodelle lassi (7) . . . 287
A.70Display: dettagliodelle lassi (8) . . . 288
A.71Display: \pa kage entri " . . . 289
A.72Display: \inheritan e entri " . . . 290
A.73Equation Solver: i listener e al une lassi . . . 291
A.74Equation Solver: le lassi prin ipali . . . 292
A.75Equation Solver: lassi e asso iazioni . . . 293
A.76I onvertitori: i listener e al une lassi . . . 294
A.77I onvertitori: le lassi prin ipali . . . 295
A.78I onvertitori: dettaglio delle lassi (1) . . . 296
A.79I onvertitori: dettaglio delle lassi (2) . . . 297
A.80Classi ausiliarie . . . 298
A.81Classi ausiliarie: dettaglio (1) . . . 299
A.82Classi ausiliarie: dettaglio (2) . . . 300
A.83Classi ausiliarie: dettaglio (3) . . . 301
A.84Classi gra he . . . 302
A.85Classi gra he: dettaglio (1) . . . 303
System Dynami s e Computer
Simulation
1.1 Introduzione
S opo di questo apitoloequellodi presentare una rapidae on isa
introdu-zioneaimetodie aglistrumentidella SystemDynami s, alleproblemati hedella
Computer Simulationedella simulazione ontinua.
LaSystem Dynami sfauso dimetodidi aratteregenerale la ui
implementazio-ne ri hiede l'uso di software progettato ad ho he onsenta la de nizione di un
modello del sistema sotto esame, la de nizione di relazioni he ne des rivono il
omportamento e la lorosoluzione ottenuta utilizzando i metodi della
program-mazionedis retadalmomento he levarie equazionides rittivedelmodellosono
s rittein funzione diuna variabile tempo dis retizzata.
1.2 La Simulazione dei Sistemi
1.2.1 Introduzione
La simulazione [Iaz75℄ rappresenta l'arte di ostruire modelli matemati i di
sisteminaturaliedarti iali omplessi, modelli heepossibiletestareutilizzando
un omputer.
Con etti hiavedellapre edentede nizionesonoi on ettidisistema edimodello
visti ome oggetti delpro esso disimulazione.
Unsistema puo essere de nito ome un insieme di omponenti interagenti fra di
loroinmododa dar luogo adun omportamento osservabile.
Unavoltastabilitoqualielementifanno partedelsistemae qualifannoparte del
mondoesternoal sistema,e possibile studiareil omportamentodelsistema
uti-lizzandoun modellodelsistema uisipongonodelledomande, ovvero epossibile
Il modellodel sistema onsistein genere inuna rappresentazione astrattao
sim-boli a delsistema inesame.
Il modello ontiene i omponenti del sistema e le loro interazioni e rappresenta,
in genere, una visione sempli ata del sistema, dal momento he in esso sono
rappresentati solo gli elementi signi ativi per il tipo di studio he si intende
ompiere sulsistema.
La risoluzione di un problema mediante un modello di un sistema la si ottiene
nelrispetto diun erto numerodi vin olidetti
ondizioni inizialie
ondizioni al ontorno.
Le ondizioni iniziali de nis ono le ondizioni del sistema all'inizio dello
stu-diomentre le ondizioni al ontorno sono ivin oli he il mondoesterno pone
all'evoluzionedel sistemaovvero ai ambiamentidistato delmodello delsistema
oggettodi studio.
S opo della simulazione e pertanto, dato un sistema, de nirne un modello ui
assegnare ondizioni iniziali e al ontorno e studiare l'evoluzione del modello in
mododaottenere, se esiste, una soluzione ad un dato problema.
Durante l'evoluzione del modello tutti i suoi omponeneti mutano le loro
on-dizioni istantanee ovvero il loro stato sebbene solo le ondizioni rilevanti per lo
studio delsistema entrino afar parte della de nizione di uno stato. Un modello
diun sistema non rappresenta il omportamentodel sistemadalmomento he il
omportamentoe des ritto dalla su essione degli stati del sistema,detta storia
degli stati. Se il modello e stato de nito in modo orretto, gli stati del sistema
orrispondono agli stati del modello in modo he la su essione degli stati del
modello orrisponda allasu essione degli stati delsistema.
Dato un sistema di ui si de nis e un modello, si puo usare il modello in un
pro essodisimulazioneperprodurre unasu essione distati he sisuppone
or-rispondere allasu essione di stati del sistema dato, in modoadeguato rispetto
aglis opi peri quali lasimulazionee stata e ettuata.
1.2.2 Caratterizzazione dei sistemi
Il passoinizialeperlade nizionediun modello diun sistemaelade nizione
dell'interfa ia fra il sistema e l'ambiente esterno.
L'ambiente esternoindividua tutti glielementi he non appartengono al sistema
inesame ma he pongono vin oli (detti ondizioni al ontorno) sulla sua
evolu-zione.
I vin oli posti dall'ambiente esterno sul sistema non dipendono dall'azione del
sistemasull'esterno. La de nizione dell'interfa ia dipende dagli obbiettividello
possonodistinguereal unegrandezze aratteristi hesoggette avariareneltempo
edettevariabili. Lefunzioni hedes rivonol'andamentoneltempodellevariabili
sono dette segnali.
Le variabili aratteristi he di un sistema sono tali he l'evoluzione di al une di
esse dipende daquelladi altre.
Side nis onopertantolevariabili di ingresso ovariabiliindipendentio ause, le
variabili interne ele variabili di us ita ovariabilidipendenti o e etti.
Le variabili di ingresso possono essere viste ome le ause prime del
omporta-mentodelsistema. Levariabiliinterneequelle dius ita sioriginanodall'interno
delsistemaesi di erenzianoperl'obbiettivodella loroazione: leprime agis ono
su altri omponenti interni al sistema mentre le se onde agis ono sull'ambiente
esterno. Tali variabili sono dette endogene. Le variabili di ingresso sono dette
esogene dalmomento he sioriginano nell'ambienteesterno.
Le variabili esogene a loro volta si di erenziano in variabili manipolabili e
va-riabili non manipolabili: le prime sono variabili il uiandamentonel tempo puo
essere in uenzato dall'internodel sistema mentre le se onde sono variabili il ui
andamento nel temponon puo esserein uenzato.
Disolito ([Mar81℄) di un sistema si da una rappresentazione utilizzando blo hi
e ollegamenti(ovvero ar hi orientati) fra blo hi. I blo hi possono
rappresen-tare o ilsistema nella sua interezza (modello a bla k box) oppure i varielementi
omponentiil sistema.
Nelprimo aso le onnessioniiningressoalblo orappresentanole variabili
eso-gene mentre le onnessioni inus ita rappresentano le variabilidi us ita.
Nelse ondo aso sonorappresentate an he levariabiliinterne ome ollegamenti
fra omponenti interni delsistema.
Gli s hemi a blo hi onsentono di rappresentare un sistema omplesso ome
omposto da un erto numero di blo hi inter onnessi. In tal modo e
possi-bile evidenziare le relazioni di ausa ed e etto (an he in presenza di anelli di
feedba k ) fra le variabili aratteristi he del sistema. In un sistema si ha un
anellodi feedba k tutte levolte he una atena dilegami ausa-e ettosi hiude
suse stessa inmodo he un e etto diventi una delle ause dise stesso.
Nei diagrammi a blo hi in piu e possibile rappresentare on fa ilita i
ollega-menti per orsi dai segnali all'interno del sistema e fra il sistema e il suo mondo
esterno.
1.2.3 Caratterizzazione e lassi azione dei modelli
Un modello 1
e, pertanto, una rappresentazione si a o una des rizione
sim-boli a di un sistema di uisi vuolestudiare l'evoluzione e,in quanto tale, e una
rappresentazione/des rizione approssimatadelsistema in esame.
Larappresentazione si a diun sistema da luogo adun modello si o utilizzato
1
per des rivere per analogia il sistema in esame. Esempi di modelli si i sono i
modelliins ala, i modellii oni ied imodellianalogi i.
Questi ultimi sono aratterizzati da grandezze si he diverse male ui relazioni
re ipro he sonoanaloghe aquellefra legrandezze si he aratteristi hedel
siste-mainesame.
La des rizione simboli a di un sistema de nis e un modello matemati o.
Dire-mo ([Mar81℄) he di un sistema si ha un modello matemati o(nel seguito solo
modello) se sono note le equazioni he onsentono di determinare gli andamenti
nel tempo delle variabili interne e di us ita noti gli andamenti nel tempo delle
variabiliesogene.
Neimodellimatemati i levariabilisono rappresentate ingenere da numeri reali
ui sono asso iate pre ssate unita di misura mentre i segnali sono funzioni he
legano i valoridelle variabili alla variabile tempo, he puo assumere valori reali
oppuremultipli interi di un intervallodi tempo T 2
.
I modellimatemati ipossonoessere lassi ati omestati i oppuredinami i.
Inunmodellostati olevariabilidiingressonon ambianoilorovaloriperlunghi
intervalli di tempo. In tal modo si hanno legami puramente algebri i fra le
va-riabilidiingressoe levariabiliinterneedi us ita. Il sistemaesupposto essere in
unostato detto diregime stazionario o diequilibrioin uisonoassentifenomeni
transitori. In tale ondizionetutti isegnali assumono valori ostanti.
E,ingenere, possibileadottare un modellostati osolonel aso gli ingressi
assu-mano valori ostanti oppure variabili lentamente rispetto alle ostanti di tempo
delsistema inesame. Un modello stati oe di solito ostituitodauna o piu
fun-zioni de nitein modoanaliti o,gra oo tabellare.
Imodellimatemati istati i non dannoinformazionisuiregimi transitori, ovvero
sugli andamenti neltempo delle variabili dipendenti nel passaggioda un regime
stazionario adun altro.
Per ottenere tali informazioni e ne essario far uso di modelli dinami i dal
mo-mento he tali modellifanno uso di equazioni he des rivono sia i legami fra gli
andamenti delle variabili sia i legami fra le variazioni di tali andamenti, questi
ultimiutilizzando equazioni di erenzialioalle di erenze nite.
Nel aso siutilizziunmodellodinami operlostudiodiun sistema,l'analisidella
risposta del sistema ad uno o piu segnali detti di e itazione viene fatta
suppo-nendo he il sistema sia inizialmente inuna ondizione di equilibrio o di quiete.
Una ondizione di equilibrioe una ondizione in uitutte le variabili hanno
va-lori ostanti. In tale ondizione le variabili di us ita non variano a meno he le
variabili di ingresso non subis ano a lorovolta delle variazioni. In al uni asi le
variabilidius ita possono variarean he in assenzadivariazionidelle variabili di
ingresso. In tal aso l'evoluzionedelsistema dipende dalsuo stato iniziale.
I modelli matemati i possono inoltre essere lassi ati ome modelli lineari e
modellinon lineari. Un modelloe detto essere linearese soddisfalaproprieta di
2
sovrapposizione degli e etti mentre e detto essere non linearese non la soddisfa.
Datoun sistemain una ondizione diquiete il prin ipiodi sovrapposizione degli
e etti stabilis e he:
1. se ad una ausa x orrisponde un e etto y, ad una ausa x orrisponde
l'e etto y, 8 2<; 2. seaduna ausax 1 orrispondeun e etto y 1 e aduna ausax 2 orrisponde un e etto y 2
,allora ad una ausa x
1 + x 2 orrispondel'e etto y 1 + y 2 .
Molti sistemi ammettono modelli lineari se le variabili non assumono valori al
di fuori di dati intervalli di valori detti intervalli di linearita, uno per ias una
variabile. Inmolti asi epossibile,inoltre,usaremodellistati iedinami ilineari
an he perlo studio disistemi non linearia pattodi eseguire delle linearizzazioni
lo aliapprossimando on retteandamentides rittidafunzionidiordine
superio-re.
Un modello, lineare o meno, si di e, in ne, stazionario se soddisfa la proprieta
di invarianza nel tempo o di traslazione nel tempo di ause ed e etti. Se ondo
tale proprieta, dato un sistema inizialmentein quiete, se ad una ausa x(t)
or-risponde un e etto y(t), 8T2 < +
aduna ausa x(t T) orrisponde un e etto
y(t T).
1.2.4 Sistemi ontinui
I sistemi ontinui ([Iaz75℄) sono sistemi he, ai ni dell'analisi, sono
onsi-derati aratterizzati daun usso ontinuodi materiali ( usso di materiali) e di
informazioni( usso di informazioni).
I sistemi ontinuisono disolito des rittidamodellimatemati i aratterizzatida
1. equazionidi erenziali,
2. equazionialledi erenze nite
he des rivono le leggi divariazionedelle variabili neltempo.
Adun sistema ontinuoe pertantoasso iato un erto numero diequazioni
di e-renziali oalle di erenze nite. Le te ni he di risoluzione adottate sono di solito
analiti he o numeri he ma e possibile far uso di te ni he di simulazione. La
simulazione,nel aso di equazioni alle di erenze nite viste an he ome
appros-simazioni di equazioni di erenziali, si tradu e nel al olo iterativo delle varie
equazionia partireda un istanteiniziale e sulla base diun erto numerodi
on-dizioniiniziali.
Nei sistemi ontinui e ne essario individuare, per prima osa, gli elementi he
ostituiranno le variabili di stato, quelli he ostituiranno le variabili esogene, i
su essivoerappresentatodallarisoluzione ovverodalladeterminazionedei
valo-ridellevariabilidistatoall'istantet+tuna volta hesianonoti ivaloriditutte
le grandezze all'istante t e dalla ripetizione di tale determinazione dall'istante
inizialeall'istante nale della simulazione,rappresentatida un istante 0e da un
istante nt.
Il risulato dell'elaborazione, he rappresenta il prodotto della simulazione,e
o-stituito dagli andamenti nel tempo delle variabili di stato insieme a quelli delle
variabiliesogene ed eventualmentedei parametri.
I sistemi ontinui possono essere lassi ati ome ( fr. la sezione 1.2.3) di tipo
lineare o non lineare, di tipo stazionario o non stazionario. Nel aso dei sistemi
lineariilprin ipiodisovrapposizionedeglie ettidevevalere([Iaz75℄)siarispetto
alle ondizioni iniziali (inassenza di ingressi)sia rispetto agliingressi (quali he
sianole ondizioni iniziali)estabilis eun legamefra le ause(variabiliesogene e
valoriiniziali delle variabilidi stato) ele variabili individuate(nel modello o nel
sistema) ome e etti.
I sistemi (ed i modelli) stazionari sono aratterizzati da parametri ostanti nel
tempomentre i sistemi(ed i modelli)non stazionarisono aratterizzatida
para-metrivariabilinel tempo.
Se un sistema ontinuoe ditipolineare e stazionariolo si puo des rivere on un
erto numerodi equazionialle di erenze nite lineari a oeÆ ienti ostanti.
I sistemi ontinui, inoltre, possono essere aratterizzati da anelli di feedba k in
uiunaus ita,attraversounatrasformazione,vieneriportatainingresso( asodi
unsistema onunsoloingressoeunasolaus ita)e omposta onquesto. De nito
ilsegnale errore ome la di erenzafra il segnalein ingressoe ilsegnale inus ita
riportatoin ingresso,il feedba k si di e negativo sead un aumentodel se ondo
orrisponde una diminuzione dell'errore altrimenti si di e positivo. Nei asi di
feedba k positivoilsistematendeallainstabilitamentre,qualorailfeedba k sia
negativo, il sistema, di solito, tende ad una posizione di equilibrio ovvero tende
a raggiungere un obbiettivo ( omportamento \goal seeking") sebbene, nel aso
in ui la atena di ritorno sia aratterizzata da un guadagno e essivo ( fr. la
sezione1.2.5), sipossa avere instabilitaan he inpresenza di feedba k negativo.
Lostudiodeisistemi ontinuilineariestazionarisibasasuunateoriabenfondata
la uitrattazione esula dallo s opo della presente tesi ( fr. al proposito [Iaz75℄ e
[Mar81℄). Inquesto ontesto isilimitaanotare omeilproblemadibase
dell'a-nalisidi un sistema on le proprieta suddette sia quello di determinare il valore
dell'us ita dato un ingresso appli atoin un erto istante t
0
e date le ondizioni
iniziali. Tale problema lo si risolve, nell'ambito della Teoria dei Sistemi,
deter-minandolarispostadelsistema ome sommadellarisposta libera edellarisposta
forzata. Perrispostaliberaside nis e larispostadelsistemainevoluzione libera
ovvero in aso diingressi nullie ondizioniiniziali non nullementre perrisposta
forzatasi de nis e larisposta delsistemainevoluzioneforzata ovvero in
Dynami sneiqualisipuoanalizzarel'evoluzionedelmodelloavendo ssato ome
ostanti(an he nulle) tuttelevariabili esogene inmodo he ilmodellosi portiin
unasituazione diequilibrio perpoiappli are a erte variabiliesogene deisegnali
diingressoditipoparti olare(tipi amentedellefunzionigradinounitariotraslate
neltempo) he permettonodivalutarel'evoluzionedelsistema(edelmodello)in
presenza disolle itazioni esterne.
Un metodo s hemati o per la des rizione dei sistemi ontinui ([Iaz75℄) e quello
della System Dynami s ( fr. la sezione1.3).
Comesarameglioillustratonellasezione1.3, lastrutturadibasediunmodelloe
omposta da elementidi a umulazione,detti livelli, ollegati daar hiorientati
he rappresentano s ambi di entita (informazionio materiali) fra i livelli e sono
dettiflussi. I ussi sono regolatidaequazioni he dipendonodailivelli uisono
ollegati e da altre grandezze del modello. Il modello pone in relazione ussi e
livelliepertanto,poi hei ussisonorappresentatidalladerivata diunavariabile
livello, rappresenta, in genere, un sistema di equazioni di erenziali
rappresenta-bili ome equazionialledi erenze nite.
Nel aso, adesempio,diuna relazione( fr. lesezioni1.3e1.4)diproporzionalita
direttafra un livelloy(t)(ad esempioCapitale) e un usso xentrantenellivello
(ad esempio interesseAnnuo) in ui la ostante di proporzionalita b e positiva
(puo essere iltasso di interesse) si possono s rivere leequazioni seguenti:
y(t+t)=y(t)+x(t)t (1.1)
x(t)=by(t) (1.2)
dalle quali, on sempli i passaggi e supponendo t tendente a 0, si ottiene la
seguenteequazione di erenziale delprimo ordine:
dy(t)
dt
=by(t) (1.3)
la ui soluzione e y(t) = y(0)e bt
in ui y(0)e il valore all'istante iniziale del
livelloy(t). A tale des rizione intermini diequazionidi erenziali orrispondono
duedes rizionipittori heinterminisiadiundiagrammaCLsiadiundiagramma
FD( fr. lesezioni1.3e1.4). L'esempiovisto aratterizzaun anello onfeedba k
positivoin uientrambelevariabilimostranounandamento res enteneltempo.
In modoanalogo si puo aratterizzare un anello on feedba k negativo in ui le
variabilitendono azerooppureadun valore obbiettivo. Il primo asoedes ritto
dalle equazioni seguenti (in ui a e una ostante positiva he puo rappresentare
la\vitamedia" diun bene):
y(t+t)=y(t) x(t)t (1.4)
x(t)= 1
dalle quali si puo ottenere, on passaggi analoghi ai pre edenti, la seguente
equazionedi erenziale delprimo ordine:
dy(t) dt = 1 a y(t) (1.6)
la ui soluzione e y(t) = y(0)e t
a
in ui y(0)e il valore all'istante iniziale del
livello y(t). A tale equazione orrisponde un andamento del livello de res ente
neltempo. Come nel aso pre edente, almodellomatemati o orrispondonodue
des rizionipittori he in terminidiun diagramma CLe diun diagrammaFD.
Nel aso, in ne, in ui si vogliamodellizzare un par heggio in ui posono essere
presentialpiuY autoe in ui, all'istantet, sono presentiy(t)auto sipuo
pro e-dere ome segue. Se si de nis e on k la frequenza di arrivo (k > 0) delle auto,
si ha un sistema in ui un usso tende a far res ere un livello il quale a sua
voltalimitailvalore del usso no a he, eventualmente, ilpar heggiosi riempie
eil usso siannulla. L'equazione he des rive l'andamento del ussoe,an he in
questo aso,unaequazionedi erenzialedelprimoordineedhalaseguenteforma:
dy(t)
dt
=k(Y y(t)) (1.7)
Taleequazione halaseguentesoluzione ([Iaz75℄):
y(t)=Y (1 e kt
) (1.8)
mentre l'equazione del usso x(t)e laseguente:
x(t)=kY e kt
(1.9)
In qesto aso si ha una grandezza (illivello) he tende adun valore limite (Y)e
un'altragrandezza(il usso) he tendeazero. Sipuoveri are ([Iaz75℄) hetutti
isistemimodellizzati onunsololivellosonodes rivibilidaequazionidi erenziali
delprimo ordine mentre, se si introdu onolivellie relazioni fra ussi e livelli,si
deve far ri orso a equazioni di erenziali di ordine superiore. Ad esempio nel
aso di tre livelli e tre ussi in relazione fra di loro si puo dover ri orrere a tre
equazioni di erenziali (una del primo ordine, una del se ondo ordine e una del
terzo ordine) per des rivere gliandamenti dei tre livelli nel tempo dove, in ogni
equazione ompaiono solo la funzione he des rive il livello e le sue derivate. I
metodi della System Dynami s rimpiazzano on rappresentazioni pittori he, piu
intuitiveepiufa ilidade niree aratterizzare,isistemidiequazionidi erenziali
he sarebbealtrimentine essario impostareperdes rivere un sistema ontinuo.
1.2.5 Stabilita e sistemi on anelli di feedba k
Un sistema ([Mar81℄) soggetto ad una perturbazione in ingresso 3
inve e di
raggiungere una ondizione diequilibrio puo mostrare una risposta di ampiezza
3
res ente nel tempo. Un sistema (non ne essariamente) lineare 4
he presenti un
tale omportamento sidi e instabile.
Il aso piusempli e he si possa analizzare perdis utere il on etto di stabilita e
quellodiun sistema on:
1. una variabilein ingressox(t) e
2. una variabiledi us ita y(t).
Sisuppone he il sistema siain una ondizione di equilibrio all'istantet = t
0 e
he venga perturbato mediantel'appli azionediun segnalenon nulloedidurata
limitata allavariabiledi ingressox(t).
Il sistema in risposta a tale perturbazione puo presentare tre omportamenti
distinti he si tradu ono in:
1. una risposta limitata 5
,
2. una risposta divergente,
3. una risposta onvergente asintoti amentea zero.
Nel aso (1), he orrisponde ad un omportamentostabile, si ha he esiste una
ostante M tale he jy(t)jM per t t
0 .
Nel aso (2), he orrisponde ad un omportamento instabile, una tale ostante
non esiste, ovvero si puo a ermare he 8M 09t t
0
tale he jy(t)jM .
Nel aso (3), in ne, siha he esiste una ostanteM omenel aso (1)einpiusi
ha:
lim
t!+1
y(t)=0
Il aso (3)e detto asintoti amente stabile ostrettamentestabile ([Mar81℄).
Per i sistemi lineari il omportamento del sistema sottoposto ad una
perturba-zione, dato he ad essi si appli a il prin ipio di sovrapposizione degli e etti, e
indipendente dal punto di equilibrio in ui si trova il sistema al momento della
perturbazione e dall'entita di questa per ui un sistema lineare e detto essere
stabile, instabile oppure asintoti amente stabile se il suo omportamento in
ri-sposta aduna perturbazionee, rispettivamente, deltipo (1), (2)o (3).
Oltre alla stabilita in presenza di una perturbazione ([Mar81℄), dis ussa nei
pa-ragra pre edenti, si puo fareriferimentoallastabilita in presenzadi ingresso
li-mitato.
Datoun sistemaadun soloingressoedunasolaus ita he sitrovi inunostato di
equilibrio aratterizzatodaingressoeus itaidenti amentenulli,ilsistemaedetto
essere stabilein presenza di un segnale diingresso limitatose adogni segnale di
4
Nel seguito della sezione faremo riferimento essenzialmente ai sistemi lineari stazionari,
salvoavviso ontrario.
ingressox(t) di ampiezza limitata(ovvero tale he 9M
x
tale he jx(t)jM
x 8t)
orrisponde un segnale di us ita y(t) di ampiezza limitata(ovvero tale he 9M
y
tale he jy(t)j M
y
8t). An he la stabilita in presenza di ingresso limitato e
indipendente dalpunto diequilibrio delsistemaedal valore diM
x
dalmomento
he, inforzadel prin ipiodisovrapposizione deglie etti, sele relazionisuddette
sonosoddisfatte perdue valoriM
x eM
y
allorasono soddisfattean he peri valori
M
x e M
y
8 0.
I on ettidistabilitainpresenzadiunaperturbazioneedistabilitainpresenzadi
ingressolimitatopossonoessereappli atiall'analisidisistemi aratterizzatidalla
presenza dianelli di feedba k , detti an he sistemi in retroazione ([Mar81℄).
Il asopiusempli edimodellodiunsistemainretroazioneequellodiunos hema
ablo hi aratterizzato dadue modulie daun sommatore 6
ollegatiin mododa
formareun singoloanello di feedba k .
Il modelloe aratterizzato da:
1. un erto numero disegnali;
2. idue moduli on lerelative relazioniingresso-us ita;
3. ilsommatore e
4. le due atene di trasferimento del segnale: la atena diretta e la atena
inversa.
Figura1.1: Esempio di sistema in retroazione
Nella gura 1.1 il segnale di ingresso e rappresentato dalla funzione r(t)
he, passando attraverso la atena diretta, determina il segnale di us ita (t).
Il segnale (t) riportato in ingresso attraverso la atena inversa permette di
generare,medianteilsommatore,ilsegnale erroree(t) = r(t) H( (t)) ilquale,
a sua volta, passando attraverso il modulo aratterizzato dalla funzione G,
6
Un sommatoreeunelemento he omponeisegnaliiningressoinbaseaisegnipresentisui
permettedide nireil segnale (t). Dalmomento he il segnaleerroree al olato
ome di erenzadei due segnali r(t) e (t) l'anellodi feedba k di gura1.1e un
anellodifeedba knegativoeilsistematendeaportarsiinunostatodiequilibrio
in ui e e(t) = 0. Il raggiungimento dello stato di equilibrio puo avvenire in
presenza oassenza di os illazionismorzate attornoallaposizionedi equilibrio.
L'analisi di tali sistemi puo essere svolta determinando la funzione di
trasfe-rimento della atena diretta G(s) e la funzione di trasferimento della atena
inversa H(s) in modo da de nire la funzione di trasferimento del sistema nella
osiddetta formaminima([Mar81℄):
G 0 (s) = C(s) R (s) = G(s) 1+G(s)H(s) (1.10)
in ui R (s) e la Trasformata di Lapla e del segnale di ingresso e C(s) e la
TrasformatadiLapla e del segnaledi us ita.
Epossibile,quindi, al olare (t)
antitrasformandoC(s) ottenuto omeG
0
(s)R (s).
Lo studio della stabilita del sistema il ui modello e presentato in gura 1.1 si
puori ondurre all'analisidella funzioneditrasferimentoinformaminimaovvero
alla analisi dei suoi zeri e dei suoi poli 7
. Si puo dimostrare ([Iaz75℄) he un
sistemalineare stazionario estabile se e solo setutti i poli della sua funzione di
trasferimento hanno parte reale negativa in modo he i modi di evoluzione del
sistemasono o esponenzialide res enti ofunzioni periodi he smorzate.
Nella equazione 1.10, G(s) rappresenta la funzione di trasferimento del sistema
in assenza di feedba k mentre H(s) rappresenta il ontributo della atena di
feedba k : se H(s) 6= 0 il sistema e aratterizzato da un feedba k per ui il
guadagno del sistema varia del fattore 1+G(s)H(s). In funzione del valore di
j1+G(s)H(s)jsi hanno itre asi seguenti:
1. j1+G(s)H(s)j< 1
2. j1+G(s)H(s)j= 0
3. j1+G(s)H(s)j> 1
ui orrispondonoperilguadagnodelsistema ompresol'anellodifeedba kG
0 (s)
itre asi seguenti:
1. G 0 (s)>G(s) 2. G 0 (s)=+1 3. G 0 (s)<G(s) 7
Nel primo aso ([Iaz75℄) il feedba k e detto essere positivo e il sistema e detto
rigenerativo,nelse ondo aso ilsistemaeun os illatoree sipuoavere unsegnale
il us ita an he senza nessun segnale in ingresso e nel terzo aso il feedba k e
negativo eil sistemaedetto essere degenerativo.
Unaveri adellastabilitadiunsistemalasipuofareutilizzandoildenominatore
della 1.10 ovvero 1+G(s)H(s). Lo s opo e quello di veri are per quali valori
dis si haj1+G(s)H(s)j <1 in modo he il sistema sia stabile. Tale veri a di
stabilitasibasa sull'analisideldiagramma polaredella funzione ditrasferimento
a atena aperta G(s)H(s). In questa sede i si limitaad osservare ( riterio di
Nyquist) he se la urva polare suddetta ra hiude il punto ( 1;j0) allora il
sistemae instabile.
Dato un sistema lineare stazionario e stabile si puo diostrare he valogono le
proprieta seguenti ([Iaz75℄):
1. la risposta libera del sistema tende a zero per t ! +1 quali he siano le
ondizioniiniziali,
2. inassenzadisegnalidiingressoilsistemahaun solostatodiequilibrio
sta-bilein ui siporta apartire daun qualunque insiemedi ondizioni iniziali.
Lo stato di equilibrio e detto di riposo e in tale stato le ondizioni iniziali
sono nulle.
1.2.6 S hemi a blo hi e gra di usso
La gura 1.2 ([Mar81℄) rappresenta il diagramma a blo hi di un sempli e
sistemain retroazionee il orrispondente grafodi usso.
Figura1.2: S hema a blo hi e grafo di usso orrispondente
Ungrafo di usso rappresentaunmodoalternativoaglis hemiablo hiper
rap-presentare gra amente sistemi omplessi. Mediante i gra di usso un sistema
latrasforamzione identita ovvero tale he 1(s) = s).
I nodisono dei tipiseguenti:
1. nodisorgente oindipendenti, prividi ar hiin ingresso,
2. nodiinterni o dipendenti, on almenoun ar o iningresso
mentre agli ar hi sono asso iatii oeÆ ienti he rappresentano letrasformazioni
eseguite su ias unar o.
Conriferimentoalla gura1.2,inodiee sonointernimentreilnodoreunnodo
sorgente e gli ar hi sono aratterizzati, rispettivamente, da una trasformazione
identita,dalla trasformazione g e dallatrasformazione h.
Adognigrafopuoessereasso iatounsistemadiequazionialgebri helineariin ui
innodisorgenterappresentanoitermini noti,inodidipendentisonolein ognite
mentre gliar hi rappresentano i oeffi ienti.
Nel aso della gura 1.2, il sistema di equazioni ( he onsente di esprimere la
variabilediun nodoin funzionedelle variabilideinodidella stellaentrantee dei
oeÆ ientisugli ar hi relativi) hala formaseguente:
e =r h (1.11)
=ge (1.12)
e puo essere espresso in forma ompatta (sostituendo la 1.12 nella 1.11 ed
e ettuando al unisempli i passaggialgebri i) ome segue:
e= r
1+hg
(1.13)
Figura1.3: Grafo di usso e sua riduzione in forma minima
Come risulta evidente dalle equazioni 1.11, 1.12 e 1.13 e ome e illustrato dalla
Datoun grafo G on un erto numerodi nodi sorgente x
0i
( i 2 [1;:::;n℄) e un
ertonumerodinodidipendentix
j
(j 2[1;:::;m℄)di ui iinteressanole
varia-bili,losi puoridurreinforma minima ottenendo un grafoGin uisono presenti
isolinodix
0i e x
j
on un ertonumero diar hi he li olleganodirettamentefra
diloro.
Lariduzione puoessere e ettuata:
1. per sempli azioni su essive ( fr. la gura 1.3) appli ando le regole di
riduzione he sarannointrodotteabreveinmododarimuoverenodiear hi
ritenutisuper ui,
2. inmododiretto medianteun'analisi deglielementitopologi i delgrafo.
Il pro edimento di riduzione per sempli azioni su essive si basa sulla
appli azionedelle seguenti inque regole:
1. riduzione di ar hi in parallelo ad un ar o il ui oe iente e dato dalla
sommaalgebri adei oeÆ ientidei singoliar hi,
2. riduzione di ar hi in serie he formano un ammino orientato (ed
elimina-zione dei nodi interni) adun ar o il ui oe ienteedato del prodotto dei
oeÆ ientidei singoliar hi,
3. eliminazionediun appio(anello he siiniziaesi hiudesullo stesso nodo)
di oe iente t on introduzione di un oe iente moltipli ativo 1=(1 t)
sututti gliar hi he terminanosu quel nodo,
4. dupli azionedi un nodo on dupli azione deirami entranti e distribuzione
deirami us enti inmodoarbitrariofrai nodi dupli ati,
5. dupli azione di un nodo on dupli azione dei rami us enti e distribuzione
deirami entranti in modoarbitrariofra inodidupli ati.
Tale pro edimento si tradu e nella rimozione di variabili e trasformazioni non
ritenute signi ative e puo trovare uso nell'ambito della simulazione di sistemi
dinami iperl'eliminazionedivariabiliausiliarieelasempli azionedei
diagram-miCL( fr. lasezione1.4). Lariduzioneillustratanella gura1.3estataottenuta
apppli ando,nell'ordine, leregole (5), (2) e(3).
Il pro edimento di riduzione diretta si basa sulla appli azione della formula di
Mason e sfrutta , nel aso di sistemi lineari,il prin ipio di sovrapposizione degli
e etti. Sfruttandotaleprin ipioepossibile onsiderareseparatamentel'e ettodi
ogni nodo sorgente su ogni nododipendente he si vuole mantenere nella forma
minimainmododaridursia onsiderareformeminime onun solonodosorgente
ed un solonododipendente, omenel aso della gura 1.3. Per ulterioridettagli
1.3 La System Dynami s
1.3.1 Introduzione
I metodidella System Dynami s he verrannobrevementedes rittinella
pre-sente sezionesono ditipogenerale maperpoterliimplementaree ne essariofare
uso diprodotti software adho .
Daunpuntodivistateori o,laSystemDynami s ([Kir98℄)sifondasul osiddetto
\appro iosistemi o" 8
emiraades rivere il omportamentodisistemi omplessi
onsiderandoli ompostidi un gran numero di parti interagenti in modo da
for-mare uno s hema uni ato.
Tale appro io ri hiede un ambiamento di prospettiva dal momento he non
vengono esaminati piu i singoli eventi e le relative ause ma vengono prese in
esame omplesse atenedi auseed e etti he, peresserediun qual he interesse,
devono ontenere anellidi feedba k .
Se ondo una visione tradizionale della Teoria dei Sistemi ( fr. la sezione 1.2),
infatti,lespiegazionidel omportamentodiunsistemavannosempreri er ate in
qual he evento esterno alsistema. L'appro io sistemi oribalta tale prospettiva
e ipotizza he la struttura interna sia spesso piu importantedegli eventi esterni
nella determinazionedel omportamento diun sistema.
Considerandoglieventi ome ausadi omportamentideisistemi,ingeneresi
ar-rivaallade nizione di atenedieventilegati fralorodarelazionidi ausa-e etto
he raramente onsentono di apire per he un sistema omplesso si omporta in
un erto modo, spesso ontrointuitivo, mentre onsiderando la struttura
inter-na del sistema puo essere piu fa ile apire il omportamento mostrato e questo
per he e lastruttura interna he determina tale omportamento.
1.3.2 Gli \andamenti tipi i"
L'analisidel omportamentodeisistemi ha ome punto dipartenza la
de ni-zione di un erto numero di andamenti (o s hemi di omportamento) tipi i he
possonoessereseguitidallevariabili aratteristi he delsistema. Taleappro iosi
basasull'assunzione he gliandamentitipi isonoris ontrabiliinmoltesituazioni
in ui la struttura del sistema e nota per ui, dato un erto andamento delle
variabili, e possibile inferire la struttura interna del sistema o, meglio, dato un
erto andamento delle variabili, e possibile ri er are nel sistema una struttura
he e apa e diprodurre quel omportamento.
Gliandamentitipi i ( fr. la gura1.4) he sarannobrevementeesaminatinel
se-guito perpoivenire asso iati (nella sezione 1.3.3) astrutture interne deisistemi
sono iseguenti:
1. res ita/de res ita esponenziale,
8
2. asintoti o,
3. res itaa S,
4. os illatorio.
Taliandamentipossonoessereosservatisiasingolarmentesiain ombinazionefra
diloro. Ad esempiononeraro osservare andamenti asintoti io di res ita
espo-nenzialeodi res ita aS on sovrapposte delle os illazionismorzate 9
o meno.
Figura1.4: Esempi di andamenti tipi i
Nel asodi res ita( fr. iltra iatoeti hettato ome(a)in gura1.4)o
de res i-taesponenziale lavariabiledi uisistudia l'andamentoassume, on unavelo ita
di variazione res ente nel tempo, valori res enti o de res enti a partire da un
valore iniziale.
Il modello matemati o di tali andamenti e ostituito, rispettivamente, dalle
funzioni([BS91℄) 10 : y(t)=Ae t=T on > 0eT >0 (1.14) 9
Unaos illazionesidi esmorzataselasuaampiezzatendeazero onilpassaredeltempo.
10
Lefunzioniutilizzatenelseguitoperrapprersentaregli\andamentitipi i"sonoovviamente
y(t)=Ae t=T
on > 0eT >0 (1.15)
InentrambeleequazioniilvaloreArappresentailvaloreiniziale(ovvero ilvalore
assunto dalla funzionepert=0).
L'equazione 1.14 des rive un andamento rapidamente res ente nel tempo. Per
apprezzarelasuarapiditaepossibile al olareilvaloredelladerivatadella
funzio-ne in t=0 e due grandezze qualila ostante di tempo eil tempo di raddoppio 11
.
Il valore della ostante di tempo lo si ottiene imponendo he il valore
dell'esponente dell'esponenziale siauguale a 1per uisi ha:
= T
(1.16)
Il valore del tempodiraddoppio lo siottiene risolvendo l'equazione y(t)=2y(0)
ottenendoil valore: d = T ln2 = ln2 (1.17)
Il valore della derivata in t = 0 , he permette di individuare la retta tangente
alla urva nell'origine,edato dalla relazioneseguente:
y 0 (0)= A T = (1.18)
Da tali relazioni si vede ome i valori della ostante di tempo, del tempo di
raddoppio e della tangente nell'origine dipendano dai valori di e T: tenendo
ostante, a bassi valori di T orrispondono andamenti rapidamente res enti
(bassivaloridi edi
d
)mentre ad elevati valoridiT orrispondono andamenti
lentamente res enti(elevativaloridi e di
d
). Andamentioppostisiottengono
tenendo ostante T e fa endo variare .
L'equazione 1.15 des rive, inve e, un andamento rapidamente de res ente nel
tempo he puoesseredes rittosfruttandorelazionianaloghealle1.16,1.17e1.18
solo he inve e he di tempo di raddoppio si parla di tempo di dimezzamento 12
de nitosempredalla1.17elatangentenell'originehapendenza oppostaeper io
negativa.
Inquesto aso dopoun tempopari a lafunzionesieridottaadun valoreparia
0:368 delvalore iniziale. An he in questo aso i valoridi e diT in uenzano la
velo itadi variazionedella variabileverso il valore diregime (inquesto aso 0).
Nel aso di una evoluzione asintoti a dei valori di una variabile ( fr. i tra iati
eti hettati ome (b) in gura1.4), due sono gliandamentipossibili:
1. ilvaloreinizialedella variabileall'istantet =0,A
0
,emaggioredelvalorea
regimeA (ovvero, idealmente, at =+1)
oppure
11
Iltermineinglese orrispondenteedoubling time.
2. il valore iniziale della variabile all'istante t = 0, A
0
(puo essere an he
A
0
=0),einferiore al valore aregime A (ovvero, idealmente, at =+1)
Il primo aso e assimilabile al aso des ritto dall'equazione 1.15 e infatti lo si
puo des rivere on una equazione deltipo:
y(t)=A+(A
0
A)e t=T
on > 0eT >0 (1.19)
mentre il se ondo aso ( onsiderando un valore iniziale nullo 13
) puo essere
des ritto dauna equazione deltipo:
y(t)=A(1 e t=T
) on > 0eT >0 (1.21)
An heinquesto asosipuode nirela ostanteditempo edepossibilevalutare
il valore della tangente, rispettivamente, in (0;A
0
) e (0;0) svolgendo
onsidera-zioni analogheallepre edenti.
Nel aso di una res ita a S ( fr. il tra iatoeti hettato ome ( ) in gura 1.4)
la variabile mostra su un intervallo [0;t
0
℄ una res ita esponenziale dal valore 0
ad un valore A
1
seguita da una evoluzione asintoti a he, nel aso ideale, fa in
modo he lavariabile raggiunga un valore ostanteA
2 .
L'andamento puo essere des ritto dalla equazione seguente, in ui u(t)
rappresenta lafunzione gradinounitario 14 : y(t)=Ae t=T (u(t) u(t t 0 ))+A 1 (1+(A 2 A 1 )(1 e (t t 0 )=T 0 ))u(t t 0 ) (1.23) on >0, >0,T >0,T 0 >0e A 0 =Ae t0=T .
Nel aso di un andamento os illatorio ( fr. il tra iato eti hettato ome (d) in
gura1.4)lavariabilemostraun andamento he uttuaattornoadun livelloA
0 .
Taleandamentopuomostrareunamaggioreominoreperiodi itaeuna maggiore
ominore regolarita neltempo.
Il aso piu sempli ee quello diun andamentoperiodi o sempli edes rivibile da
una equazione ome la seguente 15
:
y(t)=A os (2t=T +') (1.24)
13
Leequazioni 1.19e1.21sonos rivibili entrambenellaforma
y(t)=A+(A
0 A)e
t=T
(1.20)
ilmotivodelladi erenziazioneedi tipoespositivo.
14
Lafunzione gradinounitarioeunafunzionedes rittadallerelazioniseguenti:
u(t)=08t<0; u(t)=18t0 (1.22)
mentrelafunzioneu(t t
0
)elastessafunzionetraslataint
0 .
15
Si ri orda he un segnalee detto essere periodi o se esiste unvalore T
0
tale he y(t) =
y(t+T
0 ).
Nell'equazione 1.24 ilvalore' rappresenta lafase della variabile ovvero il valore
dell'angolo all'istante iniziale. Il segnale des ritto dalla 1.24 varia in ampiezza
frai valoriA e A ed haun andamentoperiodi o diperiodoT >0.
Unavariantedegnadiinteressedeisegnaliperiodi isonoisegnaliperiodi i
smor-zati ovvero i segnali periodi i la ui ampiezza tende ade res ere neltempo no
adannullarsi.
Unmodellodi talisegnalie ostituitodalla seguente equazione ([BS91℄):
y(t)=Ae ( t=T
0
)
os(2t=T +') (1.25)
( on T > 0) in ui all'os illazione rappresentata dalla funzione oseno si
so-vrappone losmorzamentoimpostodall'esponenzialela uiampiezza de res e nel
tempo no adannullarsi.
1.3.3 Anelli di feedba k e diagrammi CL
Allo s opo di des rivere le varie strutture dei sistemi he ausano gli
anda-mentitipi ides rittinellasezione1.3.2ene essariointrodurreunanotazione he
permettadirappresentare gra amentele relazionidi ausa-e ettofra i vari
ele-menti diun sistema.
Tale notazione fa uso di eti hette (dette an he variabili) e di ar hi orientati: le
primeindividuanole variabili des rittive della struttura delsistema mentre i
se- ondiindividuano lerelazionidi ausa-e etto suddette.
Mediantetalielementigra i(ed altri hesarannointrodottiabreve)epossibile
ostruire diagrammi CL des rittivi dei vari sistemi. I diagrammi os ostruiti
possono ontenere i osiddetti anellidi feeba k (o anelli ausali,in inglese ausal
loop)ovvero ([Kir98℄)sequenze hiusedi auseed e etti: inpresenzadiunanello
di feedba k si ha he un elemento del diagramma in uenza se stesso attraverso
la osiddetta atena di reazione ( fr. an he la sezione 1.2.5). Gli elementi dei
diagrammi he non fanno parte di anelli di feedba k e appartengono a atene
di ause-e etti he non si hiudonosu se stesse fanno parte dei osiddetti anelli
aperti (o open loop) 16
.
Oltre aglielementivisti, per poter analizzare in modoeÆ a e la struttura di un
sistemaene essario onos erequal osadipiuinmeritoallerelazioni ausa-e etto
frai varielementi deidiagrammi.
Dati due elementi A e B tali he A e la ausa e B l'e etto (e pertanto esiste
un ar o orientato da A a B detto legame ausale) e ne essario stabilire se tale
relazioneedi proporzionalitadiretta oinversa.
Nelprimo aso unavariazionediA (aumentoodiminuzione) ausa una
variazio-ne dellostesso segnodiB per uia an o dellafre ia dell'ar oorientato daAa
B ompare un segno +.
Nel se ondo aso ad una variazione di A (aumento o diminuzione) orrisponde
Figura1.5: Ar hi on segno in diagrammi CL
una variazione disegno opposto diB (rispettivamente, diminuzione oaumento)
per ui a an o della fre ia dell'ar oorientato daA a B ompare un segno .
La gura1.5, trattada[Kir98℄ onminimiadattamenti,des rive unsistema per
ilriempimento diun bi hiere di a qua ovvero il pro esso di riempimentodi un
bi hiere di a qua.
Sebbene nel seguitoiterminisistema e pro esso sarannousati ome sinonimi,il
primopone l'a entosui modulimentre ilse ondo pone l'a ento sulle attivita.
L'analisi del diagramma di gura 1.5 puo iniziare da uno qualunque dei suoi
elementi. Supponendo, per sempli ita, he il bi hiere sia inizialmente vuoto, si
puopartiredal\livellodell'a qua"osservando he tantopiuquestoebasso tanto
maggioreeilvaloredeldislivello(ovverodelladi erenzafratalelivelloeil\livello
desiderato") da ui il segno sul orrispondente legame ausale. Proseguendo
e fa ile intuire un legame di proporzionalita diretta fra l'entita del dislivello e
la posizione del rubinetto (piuo meno aperto) e fra questo e l'entita del\ usso
dell'a qua" he a sua volta in uenza il valore del \livello dell'a qua" on una
relazionediproporzionalitadiretta.
Dalmomento heilpro essodes rittotendeadannullareilvaloredel\dislivello"
inmododa ausarela hiusuradelrubinetto el'annullamentodel usso, l'anello
difeedba keunanellodifeedba knegativo hetendeaportareilsistema
Il diagramma di gura 1.5 segnala tale fatto inserendo un segno ir olettato
( )al entrodell'anellodifeedba k . Unaregola prati a he permettedi
deter-minareseun anello difeedba k e ditipopositivooppurenegativoelaseguente:
un anello di feedba k e di tipo positivo (e tale fatto viene indi ato mettendo
un segno + ir olettato, , al suo entro) se ontiene un numero pari di legami
ausali di segno negativo mentre e di tipo negativo (e tale fatto viene indi ato
mettendounsegno ir olettato, ,alsuo entro)se ontieneunnumerodispari
dilegami ausalidi segno negativo.
Si fa notare ome non tutti gli elementi della gura 1.5 sono des ritti da
varia-bili ollegateaformare un anello di feedba k e in uenzabilidalla evoluzione del
sistema: la gura ontiene, infatti,un elemento he ssa un valore indipendente
dalla dinami a del sistema ma he la ondiziona pesantemente, tale elemento e
rappresentato dalla variabile esogena \livellodesiderato".
Oltre alla presenza di tale variabile esogena si fanno notare le aratteristi he di
altre due variabili: il \ usso dell'a qua" e il \livellodell'a qua". Come sara
ar-gomentato in modo piu approfondito nella sezione 1.3.4, la prima rappresenta
unagrandezza aratterizzata dauna velo ita mentre la se ondaeuna grandezza
ui puo essere asso iato un livello di a umulo. La prima, pertanto, e una una
variabileditipo usso(nelseguitosoloflusso)mentre lase ondaeunavariabile
ditipo livello(nel seguitosololivello).
La gura1.6(trattada[Kir98℄)illustraunanellodifeedba kpositivo. Sinonimi
possibili sono i lo virtuoso, se il fenomeno des ritto ha una valenza positiva, e
i lo vizioso se, vi eversa, hauna valenza negativa.
Se nel aso di anelli difeedba k negativoil sistema tendea portarsi, tranne he
insituazioniparti olari 17
,versounostatodiequilibrio,nel asosiabbiaunanello
difedba kpositivodisolitosiassistea res iteesponenzialidiunaopiuvariabili
dell'anello. Nel aso di gura 1.6, ad esempio, se si inizia l'analisi dalla
variabi-le \ apitale a umulato" si ha he quanto piu questo e elevato tanto maggiore
(a parita di tasso di interesse 18
) sara l'entita dell'\interesse" annuo he, a sua
volta, possiede un legame di proporzionalita diretta (qualora venga mantenuto
sul onto orrente enon siaprelevato) ol\ apitalea umulato": inquesto aso
si ha un anello di feedba k positivo nel quale entrambe le variabili (\ apitale
a umulato", fr. la gura 1.6, e \interesse") mostrano una evoluzione di tipo
esponenziale.
Comerisultadalla gura 1.5,un anellodifeedba knegativofasi he un sistema
tenda a portarsi vero una ondizione di equilibrio. In quel aso la ondizione di
equilibrioerappresentata dauno stato nale(rubinetto hiuso, usso dell'a qua
nullo e bi hiere riempito no al livello desiderato) raggiunto a partire da uno
stato iniziale in ui il valore iniziale della variabile di interesse (in questo aso
\livello dell'a qua") e inferiore al valore in ondizione di equilibrio. Un altro
esempioe quellodiun sistema diris aldamentoideale in uila temperatura
ini-ziale T
0
einferiore a quelladesiderata T
f .
Si parla, in tali asi, di omportamento asintoti o dal basso: la variabile di
in-teresse raggiunge il valore nale a partire da un valore iniziale inferiore, in un
tempo teori amente in nito.
Se, inve e, il valore iniziale della variabile di interesse e superiore al valore in
ondizione di equilibrio ( ome a ade in un sistema di ra reddamento ideale in
uilatemperaturainizialeT
0
esuperiorea quelladesiderata T
f
)siparladi
om-portamento asintoti o dall'alto: lavariabile diinteresse raggiunge ilvalore nale
apartire daun valore inizialesuperiore, inun tempo teori amente in nito.
Entrambigliandamentisonoillustratinella gura1.4dalle urveeti hettate(b).
Nel aso in ui un anello di feedba k negativo ontiene dei ritardi dientita non
tras urabilel'evoluzioneinve e he di tipoasintoti opuoesseredi tipo
os illato-rio.
Unaipotesisoggia enteall'evoluzioneditipoasintoti oeinfatti hela orrezione
(rappresentata in genere dal vin olo ausale di segno negativo) agis a
istanta-neamenteinmododanon essere maidientitae essiva ripetto aivalori orrenti
delle variabilisu uiagis e.
17
In generale non e possibile, infatti, a ermare he in presenza di un anello di feedba k
negativoil sistemadaquestimodellizzatoevolvesempreversounostatodiequilibrio.
18
Come dovrebbe essere hiaro gia da questo esempio e ome sara hiaro da altri esempi,
