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Análisis Dinámico - Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

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Academic year: 2021

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(1)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

An ´alisis Din ´amico: Ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden

Jes ´us Get ´an y Eva Boj Facultat d’Economia i Empresa

Universitat de Barcelona Marzo de 2014

(2)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Ejemplos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

(3)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Introducci ´on

Con objeto de establecer un marco de trabajo adecuado a nuestro estudio, primero haremos las siguientes definiciones

Definici ´on

Unaecuaci ´on diferencial de segundo orden es aquella que

relaciona una variable independiente, una funci ´on suya (inc ´ognita) y sus derivadas hasta el segundo orden, la denotaremos

F x, y, y0, y00 = 0. i.e. la ecuaci ´on 2x + 3y + 5y0− 2y00= 0.

(4)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Cuando la funci ´on inc ´ognita depende de una variable real se

dice que laecuaci ´on diferencial es ordinaria (EDO) y la

denotaremos

(5)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Recordemos que llamamosorden de una ecuaci ´on diferencial

al de la derivada m ´as elevada que en ella aparece. i.e. la ecuaci ´on 2x + 3y + 5y0− 2y00= 0tiene orden 2.

(6)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

(7)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

I T ´ermino independiente

(8)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

(9)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

I T ´ermino independiente

(10)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

(11)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

La soluci ´on de la ecuaci ´on general

y00+ py0+ qy = g(x),

donde p, q ∈ R y g(x) es una funci ´on diferenciable, es la suma

de la soluci ´on de la ecuaci ´on homog ´enea, yh(x), y una

soluci ´on particular de la completa, yp(x),

y(x) = yh(x) + yp(x). Tambi ´en se puede indicar como

y = yh+ yp.

(12)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Ecuaci ´on homog ´enea asociada

y00+ py0+ qy = 0.

Ecuaci ´on caracter´ıstica asociada

w2+ pw1+ qw0= 0.

Simplificando

w2+ pw + q = 0,

que es una ecuaci ´on de segundo grado. La solucionamos y podemos obtener tres casos

(13)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Para cada caso las soluciones ser ´an

I Si las ra´ıces w1, w2∈ R y w1 6= w2 ⇒ yh(x) = C1ew1x+ C2ew2x

I Si las ra´ıces w1, w2∈ R y w1 = w2 = w ⇒

yh(x) = (C1+ C2x) ewx

I Si las ra´ıces w1, w2∈ C y w1 = a + bi, w2= a − bi ⇒

yh(x) = eax(C1cos bx + C2sin bx)

(14)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Ecuaci ´on completa. Soluci ´on particular.

y00+ py0+ qy = g(x).

Miraremos el t ´ermino independiente y seg ´un su tipo

ensayaremos una soluci ´on con coeficientes indeterminados a calcular.

(15)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Caso 1 g(x) = eaxPn(x)donde a ∈ R y Pn(x)es un polinomio de orden n.

(1.1) Si a no es ra´ız de la ecuaci ´on caracter´ıstica, la soluci ´on a

ensayar es:

yp(x) = eaxQn(x)

donde Qn(x)es un polinomio de coeficientes indeterminados

de orden n a determinar.

(1.2) Si a es ra´ız de la ecuaci ´on caracter´ıstica, la soluci ´on a

ensayar es:

yp(x) = eaxxrQn(x)

donde Qn(x)es un polinomio de coeficientes indeterminados

de orden n a determinar y r es el grado de multiplicidad de la ra´ız a.

(16)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

N ´otese que

Unas posibles variaciones del t ´ermino independiente pueden ser:

g(x) = Pn(x), g(x) = eax,

g(x) = b, donde b es una constante.

El caso en que g(x) = bxse obtiene haciendo Pn(x) = 1y

(17)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ´on de la ecuaci ´on homg ´enea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Caso 2 g(x) = eax(Pn(x) sin bx + Qm(x) cos bx)

donde a, b ∈ R y Pn(x), Qm(x)son polinomios de orden n y m

respectivamente.

(2.1) Si w16= a + bi, w26= a − bi ⇒

yp(x) = eax(SN(x) sin bx + TN(x) cos bx), donde SN(x)y TN(x) son polinomios de orden N = max{n, m} con coeficientes a determinar.

(2.2) Si w1= a + bi, w2= a − bi ⇒

yp(x) = xreax(SN(x) sin bx + TN(x) cos bx), donde r es el grado

de multiplicidad de la ra´ız en la ecuaci ´on caracter´ıstica (en el caso de EDO orden 2, r = 1).

(18)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 1

Hallar la soluci ´on general de

y00+ y0− 2y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ w − 2 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1= 1y w2= −2.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

(19)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 2

Hallar la soluci ´on general de

y00+ 2y0+ 5y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 2w + 5 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1= −1 + 2iy w2 = −1 − 2i.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

y = (C1sin 2x + C2cos 2x) e−x.

(20)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 3

Hallar la soluci ´on general de

y00− 4y0+ 4y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2− 4w + 4 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1 = 2y w2 = 2.

Por lo tanto, la soluci ´on general es: y = (C1+ C2x) e2x.

(21)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 4

Hallar la soluci ´on general de

y00+ 4y0+ 3y = x.

Primero, hallaremos la soluci ´on de la ecuaci ´on homog ´enea asociada.

Seguidamente propondremos una soluci ´on particular

adecuada y aplicaremos el m ´etodo de variaci ´on de constantes para determinarla.

Finalmente, daremos la soluci ´on general de la ecuaci ´on completa.

(22)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 4w + 3 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1 = −2y w2 = −3.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

(23)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 1.1, proponemos como soluci ´on particular

y = Ax + B. En este caso

y0 = Ay y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 4A + 3(Ax + B) = x.

Igualando coeficientes y resolviendo el sistema lineal resultante, obtenemos

A =1

3 y B =

−4

9 .

(24)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La soluci ´on particular es

yp= 1

3x +

−4

9 .

La soluci ´on general es

y = yh+ yp = C1e−x+ C2e−3x+ 1

3x +

−4

(25)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 5

Hallar la soluci ´on general de

y00+ 9y = xe3x.

Primero, hallaremos la soluci ´on de la ecuaci ´on homog ´enea asociada.

Seguidamente propondremos una soluci ´on particular

adecuada y aplicaremos el m ´etodo de variaci ´on de constantes para determinarla.

Finalmente, daremos la soluci ´on general de la ecuaci ´on completa.

(26)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 9 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1 = 3iy w2= −3i.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

yh = (C1sin 3x + C2cos 3x) e0x. Simplificando

(27)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 1.1, proponemos como soluci ´on particular

y = (Ax + B) e3x.

En este caso

y0 = Ay y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 4A + 3(Ax + B) = x.

Igualando coeficientes y resolviendo el sistema lineal resultante, obtenemos

A =1

3 y B =

−4

9 .

(28)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La soluci ´on particular es

yp = 1 3x + −4 9  e3x. La soluci ´on general es

y = yh+ yp= C1sin 3x + C2cos 3x +  1 3x + −4 9  e3x.

(29)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 6

Hallar la soluci ´on general de

y00+ 2y0+ 5y = 2 cos x.

Primero, hallaremos la soluci ´on de la ecuaci ´on homog ´enea asociada.

Seguidamente propondremos una soluci ´on particular

adecuada y aplicaremos el m ´etodo de variaci ´on de constantes para determinarla.

Finalmente, daremos la soluci ´on general de la ecuaci ´on completa.

(30)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 2w + 5 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1= −1 + 2iy w2 = −1 − 2i.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

(31)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 2.1, proponemos como soluci ´on particular

y = A cos x + B sin x. En este caso

y0= −A sin x + B cos xy y00 = −A cos x − B sin x.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos

−A cos x−B sin x+2(−A sin x+B cos x)+5(A cos x+B sin x) = 2 cos x. Resolviendo la expresi ´on resultante, obtenemos

A = 2

5 y B =

1 5.

(32)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La soluci ´on particular es

yp= 2

5cos x +

1 5sin x. La soluci ´on general es

y = yh+ yp = e−x(C1sin 2x + C2cos 2x) + 2

5cos x +

1 5sin x.

(33)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ejemplo 1 Tenemos un mercado en el que la demanda y la

oferta est ´an influenciadas por los precios corrientes y las tendencias de esos precios, que se manifiestan no s ´olo cuando esos precios aumentan o disminuyen sino cuando conocemos como aumentan o disminuyen en unos determinados ratios. Asumimos que:

La oferta de un bien es S = −5 + 10p − 3p0+ 6p00.

La demanda de un bien es D = 1 − 5p − 11p0+ 5p00.

Calcular la trayect ´oria temporal del precio y el precio de equilibrio.

(34)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3

En el equilibrio S = D, por lo tanto

−5 + 10p − 3p0+ 6p00= 1 − 5p − 11p0+ 5p00, simplificando

p00+ 8p0+ 15p = 6.

Es una ecuaci ´on diferencial lineal de segundo orden. La ecuaci ´on caracter´ıstica asociada a la ecuaci ´on homog ´enea es:

w2+ 8w + 15 = 0.

Sus ra´ıces son

w1 = −3y w2 = −5.

La soluci ´on general de la homog ´enea ser ´a

(35)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 1.1, proponemos como soluci ´on particular

y = A. En este caso

y0 = 0y y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 15A = 6.

Resolviendo obtenemos

A = 6

15.

(36)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3

La soluci ´on particular es

pp= 6

15. La soluci ´on general es

p = ph+ pp = C1e−3x+ C2e−5x+ 6 15. El precio de equilibrio es pe= lim t→∞p(t) = 6 15.

(37)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 2 (Sydsaeter, K. Hammond, P. (1996). Matem ´aticas

para el an ´alisis econ ´omico. Ed. Prentice Hall. p. 640) El modelo debido F. Dresch nos dice que la tasa de aumento de los precios es proporcional al total acumulado de todos los excesos de demanda pasados. Modelizado en f ´ormula es:

p0(t) = a

Z t

−∞

[D(p(τ )) − S(p(τ ))] dτ con (a > 0).

Si consideramos que a = 5, D(p(t)) = 6 − 3p y S(p(t)) = 8 + 5p. Encontrar la ecuaci ´on diferencial de segundo orden y la

soluci ´on general de la misma.

(38)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Recordemos que: Z f (x)dx = F (x) + C ⇔ F0(x) = f (x). Z b a f (x)dx = F (b) − F (a). Adem ´as Z t a f (τ )dτ 0 = (F (t) − F (a))0 = F0(t) = f (t).

(39)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sustituyendo en la expresi ´on obtenemos p0(t) = 5

Z t

−∞

[6 − 3p(τ ) − 8 − 5p(τ )] dτ. Al derivar con respecto a t resulta

p00(t) = 5 [6 − 3p(t) − 8 − 5p(t)] . Ordenando y simplificando

p00(t) + 40p(t) = −10. Ahora resolvemos.

(40)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

La ecuaci ´on caracter´ıstica es

w2+ 40 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son

w1 = 2

10iy w2= −2

√ 10i. Por lo tanto, la soluci ´on general es

ph =  C1sin 2 √ 10t + C2cos 2 √ 10t  e0t. Simplificando ph= C1sin 2 √ 10t + C2cos 2√10t.

(41)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 1.1, proponemos como soluci ´on particular

p = A. En este caso

p0 = 0y p00= 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 40A = −10. Resolviendo obtenemos A = −10 40 = − 1 4.

(42)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

La soluci ´on particular es

pp = −1

4. La soluci ´on general es

p = ph+ pp = C1sin 2 √ 10t + C2cos 2 √ 10t −1 4.

(43)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Modelo de Phillips. (Chiang, A. C. y Wainwright, K.

(2006). M ´etodos fundamentales de econom´ıa matem ´atica. Cuarta Ed. McGraw-Hill. pp. 532–537) Primero, y con base emp´ırica, se da una relaci ´on entre la tasa de crecimiento del salario en dinero y la tasa de desempleo. Esto, en un mercado de trabajo.

W0

W = f (U ) = α − βU donde f

0(U ) ≤ 0, (1)

donde W son los salarios y U la tasa de desempleo que, en este caso, la hemos tomado lineal con α, β ≥ 0.

(44)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

SiW

0

W > 0nos indica que el costo creciente del salario

monetario nos lleva a una situaci ´on inflacionaria, en

consecuencia, tambi ´en nos indica que la tasa de inflaci ´on ser ´a una funci ´on de U .

Sin embargo, la presi ´on inflacionaria puede ser compensada por un incremento de la productividad laboral, que se supone ex ´ogena y se denota por T .

Por tanto, denotando porP

0

P como la tasa de inflaci ´o (tasa de

crecimiento de los precios), se puede escribir P0

P =

W0

(45)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Combinando las f ´ormulas (1) y (2) obtenemos P0

P = α − βU − T. (3)

Sostiene Friedman que, si una tendencia inflacionaria ha estado en vigor por suficiente tiempo, las personas tienden a formar ciertas expectativas de inflaci ´on que luego intentan incorporar a sus demandas de salario monetario. Expresado en t ´erminos matem ´aticos

W0

W = f (U ) + hπ con 0 ≤ h ≤ 1,

donde π es la tasa esperada de inflaci ´on.

(46)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

A ˜nadi ´endolo a la ecuaci ´on (3) obtenemos P0

P = α − βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1. (4)

F ´ormula que nos da lasexpectativas aumentadas de

Phillips.

Como hemos introducido una nueva variable para denotar la tasa de inflaci ´on, se hace necesario formular una hip ´otesis de c ´omo se forman dichas expectativas. Para ello, buscaremos una funci ´on que nos describa el patr ´on de π a trav ´es del tiempo en el caso de que la tasa de crecimiento de los precios (tasa de inflaci ´on real) est ´e relacionada con la tasa esperada π.

(47)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 dπ dt = j  P0 P − π  con 0 ≤ j ≤ 1. (5)

F ´ormula que nos da lasexpectativas adaptativas de Phillips.

Lo que nos indica esta f ´ormula es la discrepancia entre la inflaci ´on real y la esperada.

(48)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Las ecuacions (4) y (5) tienen tres variables, luego

necesitamos encontrar otra ecuaci ´on. La idea es introducir una ecuaci ´on que nos explique la variable U .

Consideremos unapol´ıtica monetaria, en ecuaci ´on

dU dt = −k  M0 M − P0 P  con k ≥ 0. (6)

El par ´entesis nos da el crecimiento del dinero real y M

0

M es la

(49)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Busquemos la trayectoria temporal de π. Partimos de las siguientes ecuaciones: (a)expectativas aumentadas de Phillips,

P0

P = α − βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1.

(b)expectativas adaptativas de Phillips,

dπ dt = j  P0 P − π  con 0 ≤ j ≤ 1. (c)pol´ıtica monetaria, dU dt = −k  M0 M − P0 P  con k ≥ 0.

(50)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sustituyendo (3) en (5) obtenemos dπ dt = j  P0 P − π  = j (α − βU − T ) − j (1 − h) π, diferenciando, resulta d2π dt2 = −jβ dU dt − j (1 − h) dπ dt, sustituyendo (7), obtenemos d2π dt2 = jβk  M0 M − P0 P  − j (1 − h)dπ dt,

(51)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Por otra parte, sabemos que partiendo de (5) P0 P = 1 j dπ dt + π,

sustituyendo y reordenando, resulta d2π dt2 + (βk + j (1 − h)) dπ dt + jβkπ = jβk M0 M . (7)

Esta es la ecuaci ´on diferencial que tenemos que resolver.

(52)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 1:

En un pa´ıs se han encontrado las siguientes relaciones:

Expectativas aumentadas de Phillips,

p = 1

6 − 3U + π.

Expectativas adaptativas de Phillips,

dπ dt = 3 4(p − π) . Pol´ıtica monetaria, dU dt = − 1 2(m − p) .

Se pide, encontrar las trayectorias temporales de la tasa esperada de inflaci ´on π(t), tasa de crecimiento de los precios

(53)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Tenemos que

Datos problema Ecuaciones referencia

p = 1 6 − 3U + π, P0 P = α − βU − T + hπ. dπ dt = 3 4(p − π), dπ dt = j  P0 P − π  . dU dt = − 1 2(m − p), dU dt = −k  M0 M − P0 P  . Los par ´ametros correspondientes son:

α = 1 6, β = 3, k = 1 2, j = 3 4, T = 0, h = 1.

(54)

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

La ecuaci ´on a usar es d2π dt2 + (βk + j (1 − h)) dπ dt + jβkπ = jβk M0 M .

Sustituyendo los par ´ametros resulta d2π dt2 +  31 2 + 3 4(1 − 1)  dπ dt + 3 43 1 2π = 3 43 1 2 M0 M . Simplificando d2π dt2 + 3 2 dπ dt + 9 8π = 9 8 M0 M .

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Es una EDO lineal de orden 2. Escribimos la ecuaci ´on caracter´ıstica de la ecuaci ´on homog ´enea asociada

w2+3

2w +

9

8 = 0.

Sus ra´ıces son

w1 = −3 4+ 3 4i, w1= − 3 4 − 3 4i la soluci ´on general a la ecuaci ´on homog ´enea es

πh(t) = e −3t 4  C1cos 3t 4 + C2sin 3t 4  .

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

La soluci ´on particular es del tipo g(t) = A, con A por determinar.

Sabemos que g0(t) = g00(t) = 0. Por tanto, al sustituir en la ecuaci ´on resulta

0 + 0 +9 8A = 9 8 M0 M ⇒ A = M0 M.

La soluci ´on general de la ecuaci ´on es

π(t) = e− 3t 4  C1cos 3t 4 + C2sin 3t 4  +M 0 M.

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Por otra parte sabemos que dπ

dt =

3

4(p − π) .

Si derivamos la soluci ´on hallada y junto con esa soluci ´on la sustituimos en esta expresi ´on obtenemos

−3e −3t 4 4  C1cos3t 4 + C2sin 3t 4  + e− 3t 4  −3C1 4 sin 3t 4 + 3C2 4 cos 3t 4  = 3p 4 − 3e− 3t 4 4  C1cos3t 4 + C2sin 3t 4  −3 4 M0 M.

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Resultando p(t) = e− 3t 4  C2cos3t 4 − C1sin 3t 4  + M 0 M.

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 An ´alogamente, de p(t) = 1 6 − 3U (t) + π(t), obtenemos U (t) = 1 18 − p(t) 3 + π(t) 3 .

Sustituyendo las ecuaciones anteriores y simplificando obtenemos U (t) = 1 18 + e− 3t 4 3  (C1− C2) cos3t 4 + (C2− C1) sin 3t 4  .

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 2:

Datos problema Ecuaciones referencia

p = 1 4 − 2U + π, P0 P = α − βU − T + hπ. dπ dt = 1 2(p − π), dπ dt = j  P0 P − π  . dU dt = − (m − p), dU dt = −k  M0 M − P0 P  . Los par ´ametros correspondientes son:

α = 1

4, β = 2, k = 1, j = 1

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Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Al sustituir en (7) obtenemos d2π dt2 + 2 dπ dt + π = M0 M.

Resolviendo la EDO lineal de segundo grado obtenemos

π(t) = C1e−t+ C2te−t+M

0

M.

An ´alogamente al resultado anterior

p(t) = e−t(−C1+ 2C2− tC2) + M0 M . U (t) = 1 8 + e −t (C1+ C2(t − 1)) .

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