Análisis Dinámico - Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

(1)

Introducci ón Soluci ón modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ón econ ómica

An ´alisis Din ´amico: Ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden

Jes ´us Get ´an y Eva Boj Facultat d’Economia i Empresa

Universitat de Barcelona Marzo de 2014

(2)

Introducci ón Soluci ón modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ón econ ómica

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Soluci ón de la ecuaci ón homg énea Soluci ón particular de la ecuaci ón

Ejemplos Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

(3)

Introducci ´on

Soluci ón modelo general Ejemplos Ejemplos de aplicaci ón econ ómica

Introducci ´on

Con objeto de establecer un marco de trabajo adecuado a nuestro estudio, primero haremos las siguientes definiciones

Definici ´on

Unaecuaci ´on diferencial de segundo orden es aquella que

relaciona una variable independiente, una funci ´on suya (inc ´ognita) y sus derivadas hasta el segundo orden, la denotaremos

F x, y, y0, y00 = 0. i.e. la ecuaci ´on 2x + 3y + 5y0− 2y00= 0.

(4)

Introducci ´on

Cuando la funci ´on inc ´ognita depende de una variable real se

dice que laecuaci ´on diferencial es ordinaria (EDO) y la

denotaremos

(5)

Introducci ´on

Recordemos que llamamosorden de una ecuaci ´on diferencial

al de la derivada m ´as elevada que en ella aparece. i.e. la ecuaci ´on 2x + 3y + 5y0− 2y00= 0tiene orden 2.

(6)

Introducci ´on

I ¿C ´omo distinguir los elementos de las ecuaciones?

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino de segundo orden

I T ´ermino de primer orden

I T ´ermino de orden cero

(7)

Introducci ´on

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino independiente

(8)

Introducci ´on

y00 + py0 + qy = g(x)

(9)

Introducci ´on

y00 + py0 + qy = g(x)

I T ´ermino independiente

(10)

Introducci ´on

y00 + py0 + qy = g(x)

(11)

Introducci ´on

Soluci ´on modelo general

Ejemplos Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Soluci ón de la ecuaci ón homg énea Soluci ón particular de la ecuaci ón

La soluci ´on de la ecuaci ´on general

y00+ py0+ qy = g(x),

donde p, q ∈ R y g(x) es una funci ´on diferenciable, es la suma

de la soluci ón de la ecuaci ón homog énea, yh(x), y una

soluci ´on particular de la completa, yp(x),

y(x) = yh(x) + yp(x). Tambi ´en se puede indicar como

y = yh+ yp.

(12)

Introducci ´on

Soluci ón de la ecuaci ón homg énea

Soluci ´on particular de la ecuaci ´on

Ecuaci ´on homog ´enea asociada

y00+ py0+ qy = 0.

Ecuaci ´on caracter´ıstica asociada

w2+ pw1+ qw0= 0.

Simplificando

w2+ pw + q = 0,

que es una ecuaci ´on de segundo grado. La solucionamos y podemos obtener tres casos

(13)

Introducci ´on

Para cada caso las soluciones ser ´an

I Si las ra´ıces w1, w2∈ R y w1 6= w2 ⇒ yh(x) = C1ew1x+ C2ew2x

I Si las ra´ıces w1, w2∈ R y w1 = w2 = w ⇒

yh(x) = (C1+ C2x) ewx

I Si las ra´ıces w1, w2∈ C y w1 = a + bi, w2= a − bi ⇒

yh(x) = eax(C1cos bx + C2sin bx)

(14)

Introducci ´on

Ecuaci ´on completa. Soluci ´on particular.

y00+ py0+ qy = g(x).

Miraremos el t ´ermino independiente y seg ´un su tipo

ensayaremos una soluci ´on con coeficientes indeterminados a calcular.

(15)

Introducci ´on

Caso 1 g(x) = eaxPn(x)donde a ∈ R y Pn(x)es un polinomio de orden n.

(1.1) Si a no es ra´ız de la ecuaci ´on caracter´ıstica, la soluci ´on a

ensayar es:

yp(x) = eaxQn(x)

donde Qn(x)es un polinomio de coeficientes indeterminados

de orden n a determinar.

(1.2) Si a es ra´ız de la ecuaci ´on caracter´ıstica, la soluci ´on a

ensayar es:

yp(x) = eaxxrQn(x)

donde Qn(x)es un polinomio de coeficientes indeterminados

de orden n a determinar y r es el grado de multiplicidad de la ra´ız a.

(16)

Introducci ´on

N ´otese que

Unas posibles variaciones del t ´ermino independiente pueden ser:

g(x) = Pn(x), g(x) = eax,

g(x) = b, donde b es una constante.

El caso en que g(x) = bxse obtiene haciendo Pn(x) = 1y

(17)

Introducci ´on

Caso 2 g(x) = eax(Pn(x) sin bx + Qm(x) cos bx)

donde a, b ∈ R y Pn(x), Qm(x)son polinomios de orden n y m

respectivamente.

(2.1) Si w16= a + bi, w26= a − bi ⇒

yp(x) = eax(SN(x) sin bx + TN(x) cos bx), donde SN(x)y TN(x) son polinomios de orden N = max{n, m} con coeficientes a determinar.

(2.2) Si w1= a + bi, w2= a − bi ⇒

yp(x) = xreax(SN(x) sin bx + TN(x) cos bx), donde r es el grado

de multiplicidad de la ra´ız en la ecuaci ´on caracter´ıstica (en el caso de EDO orden 2, r = 1).

(18)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general

Ejemplos

Ejemplos de aplicaci ´on econ ´omica

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 1

Hallar la soluci ´on general de

y00+ y0− 2y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ w − 2 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son:

w1= 1y w2= −2.

Por lo tanto, la soluci ´on general es:

(19)

Ejemplos

y00+ 2y0+ 5y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 2w + 5 = 0.

w1= −1 + 2iy w2 = −1 − 2i.

y = (C1sin 2x + C2cos 2x) e−x.

(20)

Ejemplos

y00− 4y0+ 4y = 0. La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2− 4w + 4 = 0.

w1 = 2y w2 = 2.

Por lo tanto, la soluci ´on general es: y = (C1+ C2x) e2x.

(21)

Ejemplos

y00+ 4y0+ 3y = x.

Primero, hallaremos la soluci ón de la ecuaci ón homog énea asociada.

Seguidamente propondremos una soluci ´on particular

adecuada y aplicaremos el m ´etodo de variaci ´on de constantes para determinarla.

Finalmente, daremos la soluci ´on general de la ecuaci ´on completa.

(22)

Ejemplos

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

La ecuaci ´on caracter´ıstica es:

w2+ 4w + 3 = 0.

w1 = −2y w2 = −3.

(23)

Ejemplos

Dado que el t ´ermino independiente es del tipo del Caso 1.1, proponemos como soluci ´on particular

y = Ax + B. En este caso

y0 = Ay y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 4A + 3(Ax + B) = x.

Igualando coeficientes y resolviendo el sistema lineal resultante, obtenemos

A =1

3 y B =

−4

9 .

(24)

Ejemplos

La soluci ´on particular es

yp= 1

3x +

−4

9 .

La soluci ´on general es

y = yh+ yp = C1e−x+ C2e−3x+ 1

3x +

−4

(25)

Ejemplos

y00+ 9y = xe3x.

(26)

Ejemplos

w2+ 9 = 0.

w1 = 3iy w2= −3i.

yh = (C1sin 3x + C2cos 3x) e0x. Simplificando

(27)

Ejemplos

y = (Ax + B) e3x.

En este caso

y0 = Ay y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 4A + 3(Ax + B) = x.

Igualando coeficientes y resolviendo el sistema lineal resultante, obtenemos

A =1

3 y B =

−4

9 .

(28)

Ejemplos

yp = 1 3x + −4 9 e3x. La soluci ´on general es

y = yh+ yp= C1sin 3x + C2cos 3x + 1 3x + −4 9 e3x.

(29)

Ejemplos

y00+ 2y0+ 5y = 2 cos x.

(30)

Ejemplos

w2+ 2w + 5 = 0.

w1= −1 + 2iy w2 = −1 − 2i.

(31)

Ejemplos

y = A cos x + B sin x. En este caso

y0= −A sin x + B cos xy y00 = −A cos x − B sin x.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos

−A cos x−B sin x+2(−A sin x+B cos x)+5(A cos x+B sin x) = 2 cos x. Resolviendo la expresi ´on resultante, obtenemos

A = 2

5 y B =

1 5.

(32)

Ejemplos

yp= 2

5cos x +

1 5sin x. La soluci ´on general es

y = yh+ yp = e−x(C1sin 2x + C2cos 2x) + 2

5cos x +

1 5sin x.

(33)

Introducci ´on Soluci ´on modelo general Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 3

Ejemplo 1 Tenemos un mercado en el que la demanda y la

oferta est ´an influenciadas por los precios corrientes y las tendencias de esos precios, que se manifiestan no s ´olo cuando esos precios aumentan o disminuyen sino cuando conocemos como aumentan o disminuyen en unos determinados ratios. Asumimos que:

La oferta de un bien es S = −5 + 10p − 3p0+ 6p00.

La demanda de un bien es D = 1 − 5p − 11p0+ 5p00.

Calcular la trayect ´oria temporal del precio y el precio de equilibrio.

(34)

Ejemplo 1

En el equilibrio S = D, por lo tanto

−5 + 10p − 3p0+ 6p00= 1 − 5p − 11p0+ 5p00, simplificando

p00+ 8p0+ 15p = 6.

Es una ecuaci ón diferencial lineal de segundo orden. La ecuaci ón caracter´ıstica asociada a la ecuaci ón homog énea es:

w2+ 8w + 15 = 0.

Sus ra´ıces son

w1 = −3y w2 = −5.

La soluci ón general de la homog énea ser á

(35)

Ejemplo 1

y = A. En este caso

y0 = 0y y00 = 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 15A = 6.

Resolviendo obtenemos

A = 6

15.

(36)

Ejemplo 1

pp= 6

15. La soluci ´on general es

p = ph+ pp = C1e−3x+ C2e−5x+ 6 15. El precio de equilibrio es pe= lim t→∞p(t) = 6 15.

(37)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 2 (Sydsaeter, K. Hammond, P. (1996). Matem ´aticas

para el an álisis econ ómico. Ed. Prentice Hall. p. 640) El modelo debido F. Dresch nos dice que la tasa de aumento de los precios es proporcional al total acumulado de todos los excesos de demanda pasados. Modelizado en f órmula es:

p0(t) = a

Z t

−∞

[D(p(τ )) − S(p(τ ))] dτ con (a > 0).

Si consideramos que a = 5, D(p(t)) = 6 − 3p y S(p(t)) = 8 + 5p. Encontrar la ecuaci ´on diferencial de segundo orden y la

soluci ´on general de la misma.

(38)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Recordemos que: Z f (x)dx = F (x) + C ⇔ F0(x) = f (x). Z b a f (x)dx = F (b) − F (a). Adem ´as Z t a f (τ )dτ 0 = (F (t) − F (a))0 = F0(t) = f (t).

(39)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sustituyendo en la expresi ´on obtenemos p0(t) = 5

Z t

−∞

[6 − 3p(τ ) − 8 − 5p(τ )] dτ. Al derivar con respecto a t resulta

p00(t) = 5 [6 − 3p(t) − 8 − 5p(t)] . Ordenando y simplificando

p00(t) + 40p(t) = −10. Ahora resolvemos.

(40)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

La ecuaci ´on caracter´ıstica es

w2+ 40 = 0.

Resolviendo la ecuaci ´on, sus ra´ıces son

w1 = 2

√

10iy w2= −2

√ 10i. Por lo tanto, la soluci ´on general es

ph = C1sin 2 √ 10t + C2cos 2 √ 10t e0t. Simplificando ph= C1sin 2 √ 10t + C2cos 2√10t.

(41)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

p = A. En este caso

p0 = 0y p00= 0.

Sustituyendo en la ecuaci ´on completa, obtenemos 40A = −10. Resolviendo obtenemos A = −10 40 = − 1 4.

(42)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

pp = −1

4. La soluci ´on general es

p = ph+ pp = C1sin 2 √ 10t + C2cos 2 √ 10t −1 4.

(43)

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Modelo de Phillips. (Chiang, A. C. y Wainwright, K.

(2006). M étodos fundamentales de econom´ıa matem ática. Cuarta Ed. McGraw-Hill. pp. 532–537) Primero, y con base emp´ırica, se da una relaci ón entre la tasa de crecimiento del salario en dinero y la tasa de desempleo. Esto, en un mercado de trabajo.

W0

W = f (U ) = α − βU donde f

0_{(U ) ≤ 0,} ₍₁₎

donde W son los salarios y U la tasa de desempleo que, en este caso, la hemos tomado lineal con α, β ≥ 0.

(44)

Ejemplo 3

SiW

0

W > 0nos indica que el costo creciente del salario

monetario nos lleva a una situaci ´on inflacionaria, en

consecuencia, tambi én nos indica que la tasa de inflaci ón ser á una funci ón de U .

Sin embargo, la presi ´on inflacionaria puede ser compensada por un incremento de la productividad laboral, que se supone ex ´ogena y se denota por T .

Por tanto, denotando porP

0

P como la tasa de inflaci ´o (tasa de

crecimiento de los precios), se puede escribir P0

P =

W0

(45)

Ejemplo 3

Combinando las f ´ormulas (1) y (2) obtenemos P0

P = α − βU − T. (3)

Sostiene Friedman que, si una tendencia inflacionaria ha estado en vigor por suficiente tiempo, las personas tienden a formar ciertas expectativas de inflaci ón que luego intentan incorporar a sus demandas de salario monetario. Expresado en t érminos matem áticos

W0

W = f (U ) + hπ con 0 ≤ h ≤ 1,

donde π es la tasa esperada de inflaci ´on.

(46)

Ejemplo 3

A ñadi éndolo a la ecuaci ón (3) obtenemos P0

P = α − βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1. (4)

F ´ormula que nos da lasexpectativas aumentadas de

Phillips.

Como hemos introducido una nueva variable para denotar la tasa de inflaci ón, se hace necesario formular una hip ótesis de c ómo se forman dichas expectativas. Para ello, buscaremos una funci ón que nos describa el patr ón de π a trav és del tiempo en el caso de que la tasa de crecimiento de los precios (tasa de inflaci ón real) est é relacionada con la tasa esperada π.

(47)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 dπ dt = j P0 P − π con 0 ≤ j ≤ 1. (5)

F ´ormula que nos da lasexpectativas adaptativas de Phillips.

Lo que nos indica esta f ´ormula es la discrepancia entre la inflaci ´on real y la esperada.

(48)

Ejemplo 3

Las ecuacions (4) y (5) tienen tres variables, luego

necesitamos encontrar otra ecuaci ´on. La idea es introducir una ecuaci ´on que nos explique la variable U .

Consideremos unapol´ıtica monetaria, en ecuaci ´on

dU dt = −k M0 M − P0 P con k ≥ 0. (6)

El par ´entesis nos da el crecimiento del dinero real y M

0

M es la

(49)

Ejemplo 3

Busquemos la trayectoria temporal de π. Partimos de las siguientes ecuaciones: (a)expectativas aumentadas de Phillips,

P0

P = α − βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1.

(b)expectativas adaptativas de Phillips,

dπ dt = j P0 P − π con 0 ≤ j ≤ 1. (c)pol´ıtica monetaria, dU dt = −k M0 M − P0 P con k ≥ 0.

(50)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sustituyendo (3) en (5) obtenemos dπ dt = j P0 P − π = j (α − βU − T ) − j (1 − h) π, diferenciando, resulta d2π dt2 = −jβ dU dt − j (1 − h) dπ dt, sustituyendo (7), obtenemos d2π dt2 = jβk M0 M − P0 P − j (1 − h)dπ dt,

(51)

Ejemplo 3

Por otra parte, sabemos que partiendo de (5) P0 P = 1 j dπ dt + π,

sustituyendo y reordenando, resulta d2π dt2 + (βk + j (1 − h)) dπ dt + jβkπ = jβk M0 M . (7)

Esta es la ecuaci ´on diferencial que tenemos que resolver.

(52)

Ejemplo 3

Ejemplo 1:

En un pa´ıs se han encontrado las siguientes relaciones:

Expectativas aumentadas de Phillips,

p = 1

6 − 3U + π.

Expectativas adaptativas de Phillips,

dπ dt = 3 4(p − π) . Pol´ıtica monetaria, dU dt = − 1 2(m − p) .

Se pide, encontrar las trayectorias temporales de la tasa esperada de inflaci ´on π(t), tasa de crecimiento de los precios

(53)

Ejemplo 3

Tenemos que

Datos problema Ecuaciones referencia

p = 1 6 − 3U + π, P0 P = α − βU − T + hπ. dπ dt = 3 4(p − π), dπ dt = j P0 P − π . dU dt = − 1 2(m − p), dU dt = −k M0 M − P0 P . Los par ´ametros correspondientes son:

α = 1 6, β = 3, k = 1 2, j = 3 4, T = 0, h = 1.

(54)

Ejemplo 3

La ecuaci ´on a usar es d2π dt2 + (βk + j (1 − h)) dπ dt + jβkπ = jβk M0 M .

Sustituyendo los par ´ametros resulta d2π dt2 + 31 2 + 3 4(1 − 1) dπ dt + 3 43 1 2π = 3 43 1 2 M0 M . Simplificando d2π dt2 + 3 2 dπ dt + 9 8π = 9 8 M0 M .

(55)

Ejemplo 3

Es una EDO lineal de orden 2. Escribimos la ecuaci ón caracter´ıstica de la ecuaci ón homog énea asociada

w2+3

2w +

9

8 = 0.

Sus ra´ıces son

w1 = −3 4+ 3 4i, w1= − 3 4 − 3 4i la soluci ón general a la ecuaci ón homog énea es

πh(t) = e −3t 4 C1cos 3t 4 + C2sin 3t 4 .

(56)

Ejemplo 3

La soluci ´on particular es del tipo g(t) = A, con A por determinar.

Sabemos que g0(t) = g00(t) = 0. Por tanto, al sustituir en la ecuaci ´on resulta

0 + 0 +9 8A = 9 8 M0 M ⇒ A = M0 M.

La soluci ´on general de la ecuaci ´on es

π(t) = e− 3t 4 C1cos 3t 4 + C2sin 3t 4 +M 0 M.

(57)

Ejemplo 3

Por otra parte sabemos que dπ

dt =

3

4(p − π) .

Si derivamos la soluci ón hallada y junto con esa soluci ón la sustituimos en esta expresi ón obtenemos

−3e −3t 4 4 C1cos3t 4 + C2sin 3t 4 + e− 3t 4 −3C1 4 sin 3t 4 + 3C2 4 cos 3t 4 = 3p 4 − 3e− 3t 4 4 C1cos3t 4 + C2sin 3t 4 −3 4 M0 M.

(58)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Resultando p(t) = e− 3t 4 C2cos3t 4 − C1sin 3t 4 + M 0 M.

(59)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 An ´alogamente, de p(t) = 1 6 − 3U (t) + π(t), obtenemos U (t) = 1 18 − p(t) 3 + π(t) 3 .

Sustituyendo las ecuaciones anteriores y simplificando obtenemos U (t) = 1 18 + e− 3t 4 3 (C1− C2) cos3t 4 + (C2− C1) sin 3t 4 .

(60)

Ejemplo 3

Ejemplo 2:

Datos problema Ecuaciones referencia

p = 1 4 − 2U + π, P0 P = α − βU − T + hπ. dπ dt = 1 2(p − π), dπ dt = j P0 P − π . dU dt = − (m − p), dU dt = −k M0 M − P0 P . Los par ´ametros correspondientes son:

α = 1

4, β = 2, k = 1, j = 1

(61)

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Al sustituir en (7) obtenemos d2π dt2 + 2 dπ dt + π = M0 M.

Resolviendo la EDO lineal de segundo grado obtenemos

π(t) = C1e−t+ C2te−t+M

0

M.

An ´alogamente al resultado anterior

p(t) = e−t(−C1+ 2C2− tC2) + M0 M . U (t) = 1 8 + e −t (C1+ C2(t − 1)) .