Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N
Diploma Universitario Teledidattico in
Ingegneria Informatica ed Automatica
Polo Tecnologico di Alessandria
A cura di Luca FERRARIS
Scheda N° 14
Sistemi trifase:
•
Sistemi simmetrici ed equilibrati
•
Connessioni a stella e triangolo
•
Potenze
E
SERCIZIO14.1
E’ data la rete trifase di figura alimentata con una tensione alternata di 260 V concatenati a 50 Hz. Ad essa sono collegati due carichi in parallelo:
• il primo carico è rappresentabile con un collegamento a stella di una resistenza (R1 = 16 Ω) e di
una induttanza (XL1 = 12 Ω) in serie;
• il secondo è approssimabile con un collegamento a triangolo di una resistenza (R2 = 50 Ω) e di
una induttanza (XL2 = 50 Ω) in serie.
In parallelo a questi due carichi viene collegata una batteria di condensatori di rifasamento. Si vuole conoscere:
• la corrente che circola nella rete prima del rifasamento
• lo sfasamento del carico totale senza condensatori
• la capacita necessaria per rifasare a cosϕ = 0,9.
Per calcolare i dati richiesti si faccia riferimento al monofase equivalente nel quale bisogna inserire le
impedenze stellate; bisogna trasformare il collegamento a
triangolo in un collegamento a stella: essendo i tre rami ad uguale impedenza: r
r ZY = Z∆
3 .
Il circuito risulta pertanto quello della figura accanto; imponendo che la fase della tensione sia nulla si ottiene:
r r E= V = +j = 3 260 0 3 260 3
(
)
r r r ′ = = + ⋅ = ⋅ − ⋅ I E Z j j A 1 1 260 3 16 12 2 6 3 4 3 , V I’1 I”1 X2 R2 X1 R1 E1 2 3 1 C I’1 X1 R1 C X2/3 R2/3 I”1 A B Ecomplessiva dopo il rifasamento:
( )
( )
P E I Q E I T T = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 1 1 1577 3 1352 cos , sen ϕ ϕ W VAr( )
[
( )
]
P P Q P tg tg ar rif T rif rif = = ⋅ = ⋅ = ϕ~ 1577 3, cos ,0 9 763 94 VAr, QCOND =Qrif −QT =763 94 1352, − = −588 06, VArC Q E F Y COND = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 588 260 3 2 50 83 22 ω π µ ,
Se i condensatori vengono connessi a triangolo sarà necessaria una capacità pari a: C∆ =1CY = F
E
SERCIZIO14.2
Con riferimento al circuito in figura si richiede di calcolare la tensione V letta dal Voltmetro e la capacita dei condensatori necessari per rifasare a cosϕ = 0,9 sapendo che:
• I = 4 A;
• W1 = 1430 W;
• W2 = 195 W.
Calcolare le letture dei Wattmetri qualora la linea 2 venga interrotta per un guasto.
W1 W2 V A I3 1 2 3 + + + + + + Carico equilibrato
La disposizione dei Wattmetri è di tipo Aron per cui valgono le seguenti relazioni:
(
)
P W W Sia per ca Q W W Solo per c = + ⇒ = ⋅ − ⇒ 1 2 1 2 3richi equilibrati che squilibrati. arichi equilibrati.
La prima parte del problema, ovvero il valore della tensione concatenata, è semplicemente risolubile in quanto si conoscono la potenza e la corrente:
(
)
( )
( )
( )
P W W Q W W P V I P I CARICO CARICO = + = + = = ⋅ − = ⋅ = = = ° ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 1430 195 1625 3 3 1235 2139 2139 1625 52 77 0 605 3 3 1625 3 4 0 605 387 72 W VAr cos cos V cos V ϕ ϕ ϕ ϕ arctg , , , ,Rifasamento: chiamando Qrif la potenza reattiva dopo il rifasamento e ricordando che i condensatori
non variano la potenza attiva assorbita risulta che:
( )
[
]
Come prima cosa dimostriamo che in entrambi i casi l’impedenza equivalente è indipendente dal tipo di collegamento.
Collegamento a stella.
Con riferimento alla figura di sinistra si può notare che le impedenze attraversate dalla corrente sono due e tra loro in serie pertanto: ZEQY = ⋅2 ZY
Collegamento a triangolo.
Osservando la figura di destra si nota che tutte e tre le impedenze sono attraversate da corrente e formano un parallelo e una serie pertanto:
(
)
ZEQ∆ = Z∆ +Z∆ / /Z∆ =2Z∆ 3
Ora sappiamo che poiché i due circuiti trifasi originali (non guasti) erano uguali deve sussistere la relazione ZY = Z∆
3 che confrontata con le precedenti implica che ZEQY =ZEQ∆ ovvero partendo da due circuiti trifasi con le stesse caratteristiche (tensioni e correnti) le condizioni che si ottengono per interruzione di una linea sono identiche sia che il carico fosse a stella sia che il carico fosse a triangolo.
Per semplicità si farà riferimento al collegamento a stella. Dal sistema trifase si sa che:
Z V I Y = ⋅ 13 3
Dal monofase ottenuto dal guasto si ricava che:
I V Z V I V I guasto Y = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = = 13 13 13 2 3 2 3 2 3 2 4 3 464, A W2 =0 W
( )
W1=V13⋅Iguasto⋅cos ϕ =387 72 3 464 0 605, ⋅ , ⋅ , =812 5, W (il ϕ è determinato dalla ZY)
ZY ZY ZY V31 IG V31 Z∆ Z∆ Z∆
E
SERCIZIO14.3
Ad una linea trifase alimentata con una tensione concatenata alternata di 3 kV viene collegato un carico che assorbe una potenza attiva (P1) pari a 200 kW e una potenza reattiva di tipo (Q1) induttivo
pari a 200 kVAr, sapendo che le perdite dovute alla linea (PL) sono pari al 5% della P1, determinare
la resistenza di linea e il cos(ϕ) del carico. Successivamente viene chiuso un tasto che collega alla stessa linea un secondo carico parallelo al primo; insieme viene collegata una batteria di condensatori di rifasamento. In questa nuova configurazione si conosce la potenza attiva assorbita dal secondo carico (P2) che è pari a 80 kW e la potenza apparente assorbita dallo stesso (A2) che è di 100 kVA.
Sapendo che collegando il secondo carico la corrente di linea non varia ma rimane costante, si vuole quindi sapere a quanto ammontano le perdite di linea nel secondo caso, il cos(ϕT) dell’intero carico e
la capacità dei condensatori.
Il circuito in fase di studio può essere rappresentato come in figura.
T aperto
Quando l’interruttore T è aperto viene collegato solo il primo carico di cui conosciamo sia la potenza attiva sia quella reattiva e risulta pertanto immediato il calcolo dello sfasamento.
( )
cos ϕ =cos cos
= ⋅ ⋅ = − − tg Q P tg 1 1 1 1 3 3 200 10 200 10 0,707
Sapendo che la potenza assorbita dalla linea è una frazione di quella assorbita dal carico è facile trovare la prima, anche se per determinare le resistenza della linea è necessario conoscere la corrente di linea che si può trovare note la tensione concatenata e la potenza del carico.
P 200 10⋅ 3
1
2
3
I
1V
I
2I
CT
Per ipotesi chiudendo l’interruttore T la corrente di linea non deve cambiare in modulo. A prima vista questo può sembrare illogico pensando che aggiungiamo un carico supplementare che assorbe altra potenza e quindi altra corrente rispetto al primo caso con l’interruttore aperto ma può essere più facilmente compreso facendo
riferimento ad un grafico polare come quello riportato in figura. Si vede come i condensatori, diminuendo lo sfasamento, abbassino la corrente di linea e quindi migliorino anche il rendimento della linea. Poiché la corrente non varia le perdite della linea rimangono uguali al caso precedente però migliora il rendimento in quanto aumenta il denominatore rappresentato dalla potenza totale del carico:
PT = +P1 P2 =200 80+ =280 kW
η = 280=
290 96,55 %
Il fatto che la corrente di linea non cambi implica anche che la potenza apparente non cambi (in quanto funzione solo di tensione e corrente ma non dello sfasamento). Questo fatto ci permette di calcolare la potenza reattiva generata dai condensatori di rifasamento in quanto i dati che abbiamo ci permettono di trovare la potenza apparente totale (AT),la potenza reattiva del secondo carico (Q2) e
la potenza reattiva totale (QT).
A I V A P kVAr Q A P kVAr Q Q Q Q kVAr T T T T COND T = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = − = − = = − = − = = − − = − − = 3 3 54 43 3000 100 80 60 282 84 280 40 40 60 200 220 1 22 22 2 2 2 2 2 2 1 2 , , 282,84 kVA Q2
A questo punto risulta semplice calcolare sia lo sfasamento totale sia la capacità dei condensatori ipotizzando una frequenza di 50 Hz:
ϕT T T Q P = ° arctg = 8,13 C Q V COND ∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ω 2 2 µ 220 1000 314 3000 0,0000778 = 77,9 F
I
CE
I
1I
TOTI
2La caduta di tensione industriale
Nell’esercizio appena svolto si è fatta l’ipotesi che la corrente rimanesse costante a causa del rifasamento. Questa ipotesi ci ha semplificato notevolmente i calcoli. Ogni linea elettrica si comporta come una resistenza ed una induttanza in cui l’unica grandezza costante risulta essere la tensione del generatore che si trova a monte della linea pertanto la tensione a cui i carichi sono sottoposti dipende dalla caduta di potenziale che avviene sulla linea e perciò dalla corrente che circola nella linea stessa e che a sua volta dipende dall’entità del carico applicato. Si capisce pertanto come un problema siffatto non sia risolvibile se non in maniera iterativa, cosa poco agevole e per di più inutile in un calcolo di prima approssimazione dove altri dati sono noti con uno scarso grado di precisione.
Il metodo della caduta di tensione industriale ci permette di stimare la caduta di tensione che avviene sulla linea ammettendo che lo sfasamento dovuto alla linea stessa sia ininfluente ovvero facendo riferimento al grafico in figura risulta che:
∆VLINEA =Er0 − ≅Er E0 − E questo è vero se OD≅OC ovvero se ∆VLINEA <10%E0
Con queste ipotesi la caduta di tensione cercata è circa AC e quindi risulta che:
( )
( )
AC=AE+EC=RL ⋅ ⋅I cosϕ +XL ⋅ ⋅I sen ϕ . Nel monofase equivalente risulta che:
( )
( )
(
)
E0 = + ⋅E I RL ⋅cosϕ +XL⋅senϕ Mentre nel trifase la tensione al carico vale:
( )
( )
[
]
V=V − 3⋅ ⋅I R ⋅cosϕ +X ⋅senϕI
ϕ
E
I*R
LjX
L*I
E
0ϕ
A B C D E FO
Partic. AF
D
C
B
E’ dato un carico trifase che assorbe una corrente di 56 A con un angolo di sfasamento di 35° se viene alimentato con una tensione concatenata pari a 4800 V.
Il collegamento è effettuato attraverso una linea lunga 12 km costituita da un cavo di sezione S = 20 mm2 avente resistività ρ = 6,5 Ω⋅mm2/km. Per calcolare la reattanza XL della linea si cortocircuita il
carico e, alimentando la rete a bassa tensione (220 V), si misura una corrente di linea di 29,8 A.
W I1
V0 V
L
Si chiede di calcolare:
1. l’impedenza della linea
2. la tensione che il generatore deve fornire a monte della rete 3. la caduta di tensione percentuale della linea
4. la potenza dissipata dalla linea stessa 5. la lettura del wattmetro inserito in figura
Come prima cosa calcoliamo i dati della linea utilizzando i risultati del corto circuito ovvero VCC e
ICC come riportato in figura; si nota come il “carico” sia a stella perciò le correnti di linea coincidono
con quelle di fase. ECC =VCC = = 3 220 3 127V E Z I Z E I CC L L L CC L = ⋅ ⇒ = = 4,26Ω R L S L = ⋅ =ρ 6 5⋅ = 12 20 3 9 , , Ω XL = ZL2−RL2 = 4,262−3 9, 2 = 1,72Ω
Per calcolare la tensione che deve essere fornita dal generatore si utilizzi la formula della caduta di tensione industriale:
[
]
[
]
V0 = +V 3⋅ RL⋅cosϕ+XL⋅senϕ ⋅ =I 4800+ 3 3 9 0 82 1 72 0 57 56⋅ , ⋅ , + , ⋅ . ⋅ =5205 56, V ∆V% = V V 5205,56 - 4800 4800 8,45 % < 10% OK 0− =V ⋅100= Vcc Icc RL XLNon resta ora che calcolare le potenze attive P del carico e PL della linea:
( )
P V I RL I = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≅ 3 3 4800 56 0 82 3 2 3 3 9 562 cos , , ϕ 381,4 kW PL 36,7 kWPer calcolare la lettura del wattmetro è conveniente costruire il seguente diagramma dal quale si deducono le relazioni tra gli angoli:
