17 Limite infinito all'infinito - limiti destro e si..>

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4. Limite infinito per x che tende all’infinito

Esprimiamo ora con rigore la crescita indefinita di una funzione verso valori positivi, quando la variabile indipendente tende verso valori positivi infinitamente grandi:

Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato superiormente; si dice che: lim ( ) x→+∞f x = +∞ se: 0 _M 0 _M M k tale che se x k ∀ > ∃ > > allora: ( ) f x >M

e quello di crescita indefinita verso valori positivi, quando la variabile indipendente tende verso valori negativi infinitamente grandi in valore assoluto:

Definizione: Sia f x( ) una funzione con dominio illimitato inferiormente; si dice che: lim ( ) x→−∞f x = +∞ se: 0 _M 0 _M M k tale che se x k ∀ > ∃ > < − allora: ( ) f x >M

Analogamente si può esprimere con rigore la decrescita indefinita verso valori sempre più negativi, quando la variabile indipendente tende verso valori positivi infinitamente grandi:

Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato superiormente; si dice che: lim ( ) x→+∞f x = −∞ se: 0 _M 0 _M M k tale che se x k ∀ > ∃ > > allora: ( ) f x < −M M M k x ( ) f x M M k − x ( ) f x M − M k x ( ) f x

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Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato inferiormente; si dice che: lim ( ) x→−∞f x = −∞ se: 0 _M 0 _M M k tale che se x k ∀ > ∃ > < − allora: ( ) f x < −M Esempio Verificare che: 2 lim (2 ) x→+∞ x −x = +∞

La disuguaglianza 2x2− >x M deve essere soddisfatta in un intorno di +∞: 2 1 1 8 2 0 4 M x − −x M > ⇒ x= ± +

Come si vede un intorno di +∞ è sicuramente contenuto all’interno della soluzione, e si ha

1 1 8

4

M

M

k = + + ,quindi il limite è verificato. In questo caso particolare, la disuguaglianza risulta vera

anche in un intorno di −∞ , con 1 1 8 4

M

M

k − +

− = , e quindi abbiamo anche dimostrato che 2 lim (2 ) x→−∞ x −x = +∞ . Ref Tomo C1 pp47-49; es p327 da 77 aa 90 M − M k − x ( ) f x 1 1 8 4 M − +

−

+

+

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5. Limite destro e sinistro in un punto

In molti casi la definizione di limite, finito od infinito, in un punto x0, non risulta verificata in un intero intorno dix0, ma soltanto in un intorno destro, cioè un insieme della forma

(

)

(

)

2 ₀ ( ) 2 1 x se x f x se x   <   = _ =   

tende a 0 quando x si avvicina a 0 da sinistra, mentre non esiste il limite da destra non essendo possibile l’avvicinamento da quella direzione. Analogamente la funzione: 3 1 ( ) 2 3 x f x x − = +

tende a +∞ quando ci si avvicina a −3₂ da sinistra, mentre tende a −∞ quando ci si avvicina a −3₂ da destra.

In tutti questi casi diremo che esiste il limite destro oppure che esiste il limite sinistro nel punto x0.

Definizione: Si dice che:

1) Il limite per x che tende ad x₀ da sinistra è ℓ_,

e si scrive 0 lim ( ) x→x−f x = ℓ_{, se:} 0 0 0 | ( ) se x x x allora f x ε ε ε δ δ ε ∀ > ∃ − < < −ℓ <

2) Il limite per x che tende ad x0 da destra è ℓ , e si scrive 0 lim ( ) x→x+f x = ℓ , se: 0 0 0 | ( ) se x x x allora f x ε ε ε δ δ ε ∀ > ∃ < < + −ℓ < 2 1 3 2 − 0 x 0 x −δε ε − ℓ ℓ 0 x ℓ ε + ℓ 0 x +δε

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(oppure ) +∞ − ∞ , e si scrive 0 lim ( ) ( ) x_→x−f x =+∞ −∞ , se: 0 0 0 | ( ( ) ) ( ) M M M se x x x allora f x M f x M δ δ ∀ > ∃ − < < > < −

4) Il limite per x che tende ad x0 da destra è (oppure ) +∞ − ∞ , e si scrive 0 lim ( ) ( ) x→x+f x =+∞ −∞ , se: 0 0 0 | ( ) ( ) ( ) M M M se x x x allora f x M f x M δ δ ∀ > ∃ < < + > < − Esempio Verificare che: 0 lim ln x→+ x = −∞

Come si evince anche dal grafico, il limite della funzione logaritmo naturale non esiste avvicinandosi a zero da sinistra, essendo il suo dominio solo l’insieme dei reali positivi. La verifica consiste nel dimostrare che la disequazione ln x< −M è soddisfatta in un intorno destro di 0. Procediamo sfruttando l’identità a=lnea:

lnx< −M ⇒ lnx<lne−M

passiamo dai logaritmi ai numeri mantenendo il verso della disequazione, dato che la base del logaritmo è maggiore di 1:

M x<e−

d’altronde il domino della funzione è 0 +

ℝ _{: facendo l’intersezione con la soluzione trovata abbiamo:}

0<x<e−M

che come si vede è proprio un intorno destro di 0, con δ_{M =}e−M

Tomo C1 pp 42-44; es p325 da 47 a 60 0 x M 0 M x ₋δ 0 x M − 0 M x ₊δ 1 0

ln

y

=

x

0

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