x è il limite, se esiste edè finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento hdella variabile

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Classe quinta

ESERCIZI SULLE DERIVATE

1) Calcolare, nel punto di ascissa ^xo ³, la derivata della funzione ^y5x , servendosi della sola definizione di derivata.

Si ricorda la definizione di derivata in un punto:

La derivata della funzione ^yf(x) nel suo punto di ascissa x0 è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile,

ossia :

h

) x ( f ) h x ( lim f ) x (

f _o  _h0 ⁰   ⁰ . Pertanto, si ha:

x 5 ) x (

f 

15 ) 3 ( f ) x (

f _o  

h 5 15 ) h 3 ( 5 ) h 3 ( f ) h x (

f _o      

Quindi, sostituendo nel limite, si ottiene:

h 5 h lim 5 h

15 h 5 lim 15

) 3 (

f  _h0    _h0  .

2) Calcolare, nel punto di ascissa ^xo ⁴, la derivata della funzione y x² , servendosi della sola definizione di derivata.

Pertanto, si ha:

x2

) x (

f 

16 ) 4 ( f ) x (

f _o  

h 8 h 16 ) h 4 ( ) h 4 ( f ) h x (

f _o     ²   ²

Quindi, per la definizione di derivata in un punto, si ottiene:

8 ) 8 h ( h lim

) 8 h ( lim h h

h 8 lim h

h

16 h 8 h lim 16

) 4 (

f _{h o h o}

2 0 h 2

0

h    

 

 



 

 _{   }

3) Calcolare, nel punto di ascissa ^xo ¹, la derivata della funzione yx² 4 , servendosi della sola definizione di derivata. Interpretare geometricamente l’esercizio.

3 4 1 ) 1 ( f ) x (

f _o     

3 h 2 h 4 h 2 h 1 4 ) h 1 ( ) h 1 ( f ) h x (

f _o     ²   ²   ²  Quindi, per la definizione di derivata in un punto, si ottiene:

2 ) 2 h ( h lim

) 2 h ( lim h h

h 2 lim h

h

) 3 ( 3 h 2 lim h

) 1 (

f _{h o h o}

2 0 h 2

0

h           

  _{   }

Il valore 2 è il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola di equazione

4 x

y ²  nel punto di tangenza ^T(1;3).

1° metodo:

Per trovare l’equazione della retta tangente nel punto di tangenza si può applicare la regola dello sdoppiamento all’equazione della curva, cioè:

xx 4

2 y y

0

0  



dove x0 e y0sono le coordinate del punto di tangenza, pertanto, sostituendo si ottiene:

4 2 x

3 y  

, ossia:

5 x 2 y  ,

che è l’equazione della retta tangente, avente come coefficiente angolare il valore 2.

2° metodo:

Oppure, si perviene alla stessa conclusione, utilizzando la formula per trovare l’equazione della retta, conoscendo le coordinate del punto di tangenza e il coefficiente angolare, cioè:

) x x ( m y

y ₀   ₀ , ossia:

) x x )(

x ( f ) x ( f

y ₀   ₀  ₀ .

Sostituendo ^x0 ¹, ^y0 ^f(x0⁾^f(1) ³ e ^m^f^(x0⁾^f⁽¹⁾², si ottiene:

) 1 x ( 2 3

y  

cioè:

5 x 2 y  .

Graficamente si ha:

Prof. Mauro La Barbera “Esercizi sulle derivate” 2

(Vedi anche relativo programma in Excel)

Pertanto, si ha:

5 x 4 x 2 x ) x (

f  ³  ² 

4 5 4 2 1 ) 1 ( f ) x (

f _o      

5 ) h 1 ( 4 ) h 1 ( 2 ) h 1 ( ) h 1 ( f ) h x (

f _o     ³  ²   ,

ossia:

4 h 3 h 5 h 5 h 4 4 h 4 h 2 2 h h 3 h 3 1 ) h 1 (

f     ² ³  ²     ³ ² 

Quindi, per la definizione di derivata in un punto, si ottiene:

3 ) 3 h 5 h ( h lim

) 3 h 5 h ( lim h h

4 4 h 3 h 5 lim h

) 1 (

f _{h o} ²

2 0 h 2

3 0

h           

  _{  }

Il valore 3 è il coefficiente angolare della retta tangente alla cubica di equazione

5 x 4 x 2 x

y ³ ²  nel punto di tangenza ^T(1;4).

La formula per trovare l’equazione della retta, conoscendo le coordinate del punto di tangenza e il coefficiente angolare, è:

) x x ( m y

y ₀   ₀ , ossia:

) x x )(

x ( f ) x ( f

y ₀   ₀  ₀ .

Sapendo che ^x0 ¹, ^y0 ^f(x0⁾^f(1)⁴ e ^m^f^(x0⁾^f⁽¹⁾³, si ottiene:

) 1 x ( 3 4

y  

cioè:

1 x 3 y  .

Graficamente si ha:

Prof. Mauro La Barbera “Esercizi sulle derivate” 4

(vedi anche relativo programma in Excel)

Argomento correlato: derivabilità di una funzione

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