SEGNALI PERIODICI, SEQUENZE,
Un segnale periodico con periodo To puo’ essere rappresentato come somma di esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero della
frequenza fondamentale fo=1/T0 e con opportuna ampiezza e fase iniziale:
(
)
{
j
k
f
t
}
A
{ } {
j
j
k
f
t
}
A
t
x
o k k k k o kk
exp
2
π
ϑ
exp
ϑ
exp
2
π
)
(
∞ −∞ = ∞ −∞ ==
+
=
Per maggior compattezza delle formule conviene introdurre il coefficiente complesso
{ }
k k kA
j
X
=
exp
ϑ
ottenendo:{
j
k
f
t
}
X
t
x
o k kexp
2
π
)
(
∞ −∞ ==
Rappresentazione dei segnali periodici (1)
To( )
∞(
)
−∞ =−
=
nnT
t
g
t
x
0x(t) ripetizione periodica di g(t) con periodo T0 :
dt
)
t
f
k
j
exp(
)
t
(
x
T
X
/ T / T o o k o o −−
=
2 22
1
π
Lo sviluppo del segnale periodico nelle sue componenti armoniche viene
detto
serie di Fourier
(gli
X
ksono chiamati
coefficienti della serie di Fourier
).
L’ampiezza e lo sfasamento iniziale degli esponenziali
complessi (detti componenti armoniche), cioé i coefficienti complessi ,
si trovano con un semplice integrale:
k
A
ϑ
kk
X
Rappresentazione dei segnali periodici (2)
Poiché g(t), segnale base di x(t), é nullo fuori dall’intervallo
gli X
ksi possono anche calcolare:
( )
01
2
1
kf
G
T
dt
)
t
f
k
j
exp(
)
t
(
g
T
X
o o o k=
−
=
+∞ ∞ −π
(
−
T
02
,
T
02
)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1
To/2 To/2( ) (
) (
)
(
)
(
)
π
π
k
/
k
sin
/
k
sinc
X
/
f
T
sinc
/
T
f
G
k2
2
2
1
2
2
0 0=
=
=
kX
k
Il segnale base é
g(t)=rect(2t/T
0)
1/2
t
Esempi di espansione in serie di Fourier: l’onda quadra
-2 -1 0 1 2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 k=0 k=1 k=3 k=5 k=7 k=9
Le prime 10 armoniche dell’onda quadra
( )
(
)
∞( ) (
)
= ∞ =⋅
−
⋅
+
=
1 0 1 0 02
Re
cos
2
2
Im
sin
2
)
(
k k k kk
f
t
X
k
f
t
X
X
t
x
π
π
-2
0
2
-1
0
1
2
-2
0
2
-1
0
1
2
-2
0
2
-1
0
1
2
-2
0
2
-1
0
1
2
A
rm
o
n
ic
h
e
0
,1
A
rm
o
n
ic
h
e
0
,1
,3
,5
A
rm
o
n
ic
h
e
0
,1
,3
A
rm
o
n
ic
h
e
0
,1
,3
,5
,7
Segnali periodici nel tempo TDF Sequenze (di impulsi) in frequenza
Trasformata di Fourier di segnali periodici
( )
f
[ ]
x
( )
t
X
exp(
j
2
kf
0t
)
X
[
exp(
j
2
kf
0t
)
]
X
(
f
kf
0)
X
k k k k k k=
ℑ
=
−
ℑ
=
ℑ
=
∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ −∞ =δ
π
π
E’ possibile calcolare la TDF di un segnale periodico? Sfruttando la sua scrittura in serie di Fourier, é possibile, e molto semplice:
La TDF di un segnale periodico é una sequenza di impulsi di Dirac, spaziati di multipli della frequenza fondamentale (f0=1/T0), con pesi pari ai coefficienti della serie di Fourier:
(
)
∞( ) (
)
−∞ = ∞ −∞ =−
⇔
−
k nkf
f
kf
G
T
nT
t
g
0 0 0 01
δ
g(t) ( ) ∞ −∞ = − n nT t g 0 ∞ ( ) ( ) −∞ = − k kf f kf G T0 0 0 1 δ G(f)/T0La densità spettrale di potenza di un segnale
x(t)
periodico di periodo T0 è definitacome:
Densità spettrale di potenza per segnali periodici
( )
∞ + ∞ − ∞ −∞ = −=
=
=
x
(
t
)
dt
X
S
f
df
T
P
x k k / T / T 2 2 2 2 0 0 01
1
- per i segnali periodici vale:2
- la TDF di x(t) é( )
∞(
)
−∞ =−
=
k k xf
X
f
kf
S
2δ
0( )
f
X
(
f
kf
0)
X
k k−
=
∞ −∞ =δ
e quindi filtrando passa-banda
x(t)
intorno akf
0 si estrae solo la cuipotenza vale (potenza di un esponenziale complesso = potenza di una costante)
(
f
kf
0)
X
kδ
−
2
k
X
Dove gli Xk sono i coefficienti dell’espansione in serie di Fourier.
Infatti...
Parseval per segnali periodici
Esempi e conseguenze
Sinusoide:( )
(
)
(
)
2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 A A A P f f A f f A f S ) t f sin( A ) t ( x x o o x o = + = − + + = =π
δ
δ
OK!La somma di due segnali periodici senza righe nella stessa frequenza ha un potenza data dalla somma delle potenze
Im[X(f)] f0 f -f0 -A/2 A/2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 B A P f f ) t f cos( B ) t f sin( A ) t ( x y = + ≠ + = se
π
π
|X(f)| f -f1 A/2 f1 A/2 f2 B/2 -f2 B/2Segnali periodici: treno di impulsi
( )
(
)
( ) ( ) ( )
∞(
)
−∞ = ∞ −∞ =−
=
=
−
=
n nnT
t
g
t
x
,
t
t
g
nT
t
t
x
δ
0δ
0Un treno di impulsi di ampiezza unitaria, spaziati di T0 costituiscono un particolare segnale periodico
La TDF del segnale base é la costante unitaria:
(
)
∞(
)
−∞ = ∞ −∞ =−
⇔
−
k nkf
f
T
nT
t
0 0 01
δ
δ
( )
f
=
1
G
t 1 T0 -T0 -f0 f0 f 1/T0Sequenze (di impulsi) nel tempo TDF Segnali periodici in frequenza
Trasformata di Fourier di sequenze
Per dualità, se consideriamo una sequenza di impulsi pesati con un segnale discreto ottenuto p.e. campionando un segnale continuo con passo Tc, ci aspettiamo che la sua TDF sia periodica in frequenza, di “periodo” fc=1/Tc. Infatti:
(
)
∞(
)
−∞ = ∞ −∞ =−
⇔
−
k c c n c nX
f
kf
T
nT
t
x
δ
1
( ) (
) ( )
(
)
( )
(
)
+∞(
)
−∞ = +∞ −∞ = +∞ −∞ = +∞ −∞ = − = − ∗ ⇔ − = − k c c k c c n c n c c X f kf T kf f T f X nT t t x nT t nT x δ δ 1 δ 1 dim: se , si ha: x( )
t ⇔ X( )
f nx
( )
t
x
x(t) ( ) ( ) ∞ −∞ = − n c c t nT nT x δ ( ) ∞ −∞ = − k c c kf f X T 1 X(f)/TcDualità tra serie di Fourier e segnali campionati
E’ interessante osservare che
dal punto di vista matematico serie di
Fourier e campionamento sono del tutto equivalenti
(è un esempio
notevole di dualità). Nel primo caso la forma d’onda nel tempo é periodica
(ripetizione di un periodo della forma d’onda) e la trasformata di Fourier è
discreta (campionata). Nel secondo caso é campionato il segnale ed è
periodica la trasformata di Fourier (ripetizione della trasformata del
segnale).
Dal punto di vista delle applicazioni serie di Fourier e campionamento
sono invece profondamente diversi, perché da un punto di vista fisico
tempo e frequenza sono ben distinti. Mentre una sequenza discreta di
campioni è quasi sempre un “segnale” (che porta informazione ad un
destinatario) spesso una forma d’onda periodica non è un vero segnale
(visto un periodo non c’e’ altro di interessante da aspettarsi!).
Dominio del tempo
Dominio delle frequenze
Si deduce che la TDF di una sequenza periodica é anch’essa una sequenza periodica:
Segnali periodici di periodo
T
0 TDF Sequenze di impulsi spaziati dif
0=1/T
0Sequenze di impulsi spaziati di
T
c TDF Segnali periodici di “periodo”f
c=1/T
cT0 f0=1/T0 t f fc=1/Tc f Tc t
Sequenze di impulsi spaziati di
T
cperiodiche di periodo
T
0 TDFSequenze di impulsi spaziati di
f
0=1/T
0periodiche di “periodo”
f
c=1/T
c 1/T0 1/Tc f T0 t TcTrasformata di Fourier di una sequenza periodica
Una sequenza di impulsi spaziati nel tempo di
T
c, periodica di periodoT
0=NT
c con sequenza dei pesix
n (periodica di periodoN
), ha trasformata di Fourier “periodica” di periodof
c, del tipoSi noti che a parte i coefficienti moltiplicativi, tali relazioni non dipendono direttamente da
T
0e
T
c ma solo dal loro rapportoN = T
0/T
c.(
)
∞(
)
−∞ = ∞ −∞ =−
⇔
−
k k n c nt
nT
X
f
kf
x
δ
δ
0 − = − = −=
=
1 0 2 1 0 2 01
N k N kn j k c n N n N kn j n kx
e
x
T
X
e
T
X
π πquindi anche la sequenza
X
k é periodica di periodoN,
perchèf
c/f
0=N
. 1/T01/Tc
f
T0 t
Tc
Si può dimostrare che tra le sequenze
x
n eX
k (per le quali si può limitare l’osservazione ad un solo periodo) vale la doppia relazione di tipo “discreto”:Trasformata Discreta di Fourier (DFT)
La sequenza prende il nome di Trasformata Discreta di Fourier (DFT)
della sequenza
x
nk k
T
X
X
~
=
0La formula di antitrasformazione (Trasformata Discreta di Fourier Inversa, IDFT), essendo
T
c/T
0=1/N
, risulta[ ]
− = −=
1 0 2~
:
N n N kn j n k nX
x
e
x
DFT
π[ ]
− ==
1 0 2~
1
:
~
N k N kn j k n kX
e
N
x
X
IDFT
πTutti i tool di elaborazione numerica includono tali operazioni. Noi le useremo per il calcolo numerico delle TDF, in quanto
