Rapporto tecnico n.1: studio ed implementazione di un modello elettromagnetico per analisi di copertura UMTS (Modello Gandini Riuscitti): DIT-PRJ-08-034

UNIVERSITY

OF TRENTO

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA E SCIENZA DELL’INFORMAZIONE

38050 Povo – Trento (Italy), Via Sommarive 14

http://www.disi.unitn.it

R

APPORTO TECNICO N

.1

–

S

TUDIO ED IMPLEMENTAZIONE DI UN MODELLO

ELETTROMAGNETICO PER ANALISI COPERTURA UMTS

(

MODELLO GANDINI

RIUSCITTI

)

–

DIT

-

PRJ

-08-034

A. Massa, and ELEDIALab

Ottobre 2008

Information and Communi ation Te hnology

Dept.

Universityof Trento

Via Sommarive14, 38050Trento, ITALY

Phone+39 0461 882057 Fax +39 0461 882093

E-mail: andrea.massaing.unitn.it

Contra t No. DIT-PRJ-08-034

Rapporto No. 1

Studio ed Implementazione di un Modello

Elettromagneti o per Analisi di Copertura UMTS

(Modello GANDINI-RUSCITTI)

Version: 2.0

Do ument status: Draft

Author: L. Mani a

A ess: Condential

Date: 24.10.2008

1. Introduzione 3

2. Stato dell'Arte 5

3. Formulazione Matemati a del Modello 8

4. Planning Elettromagneti o 12

Appendi e A 17

L'introduzione del nuovo standard Universal Mobile Tele omuni ation System,

UMT S

ha portato ad una rivoluzione nelle tele omuni azioni mobili. La possibilità di trasmettere e

ri evere dati digitaliprovenienti dasorgenti dierenti ome vo e, video, immaginie internet

ha favorito la onvergenza tra il mondo delle tele omuni azioni e quello dell'informazione

gia hè lediverse informazionisono rappresentate univo amentemedianteun uni o ussodi

dati digitali.

Le innovazioni te nologi he he hanno portato allo sviluppo di questo nuovo sistema di

o-muni azionesonomoltepli i. Alivellodiproto olloditrasmissionel'introduzionedelsistema

Wide-CodeDivison Multiple A ess

(W − CDMA)

hadenitolaseparazionetraisegnalidei variutenti a livellodi odi e anzi hè di frequenza della portante. A livellodi infrastrutture,

ha portatoall'utilizzodi elle diminor dimensione.

La ostruzionedi unarete

UMT S

apa edi supportare un elevato tra odiinformazionie garantireunaadeguataqualitàdiservizioèundunqueunpro essolaboriosoedestremamente

ostoso. Le variabili in gio o sono moltepli i ed eterogenee e riguardano la morfologia e il

grado di urbanizzazione del sito in esame, le aratteristi he delle stazioni-radio base quali

la posizione, il tipo di antenna, l'altezza rispetto al suolo, la frequanza di lavoro, et . A

tutti questi parametri siaggiungeinoltrela omplessità del analewireless aratterizzato da

elevata tempo-varianza e fenomeni di tipo multi-per orso he impli anouna omuni azione

tra stazione radio-base e terminale mobile attraverso per orsi dierenti da quello diretto e

produ ono sulsegnale attenuazioni eritardi variabili ase onda dell'istanteditrasmissione.

Diventa dunque fondamentale avere adisposizione strumenti ingrado di prevedere inmodo

a urato, nella fase di progetto della rete, la opertura del segnale

UMT S

. Così fa endo sarà possibileottimizzarelerisorseadisposizione,posizionandoinmodoadeguatolestazioni

radio-base e trasmettendo i segnali se ondo livelli di potenza he garantis ano una

deter-minata qualità di servizio. Data la variabilità del anale di trasmissione, gli strumenti di

previsione non possono essere di tipodeterministi oin quanto omputazionalmenteonerosi,

marisultanoessereditipostatisti oefornis onounastatisti adellivellodisegnalenelsitoin

esame. Unavoltassatalageometriadelproblema(morfologiaegradodiurbanizzazionedel

territorio, posizione e potenza di trasmissione delle stazioni radio-base), l'obiettivo è quello

dideterminare unamappa di opertura delsitoinesame. L'areaindividuataviene suddivisa

in una griglia di pixel, e ssato un determinato livello di segnale

y

thr

e di probabilità

P

thr

, l'area identi ata da un pixel risulta servita qualora il livello disegnale previsto

y

supera

y

thr

on una probabilità

P

maggioredi

P

thr

.

op-ertura

UMT S

. Partendo dai valori di potenza di segnale generato da stazioni radio base

UMT S

e al olati utilizzando software di planning elettro-magneti o, i dati sono elaborati

osì da determinare una mappa di opertura, una volta ssato un valore di soglia per il

rapporto segnale-interferente. La struttura del lavoro è la seguente. La Sezione 2 illustra

lo stato dell'arte del problema della predizione elettromagneti a onsiderando le strategie

utilizzate per lo sviluppo e la progettazione di reti

UMT S

e le te ni he per la determi-nazione della distribuzione spaziale del segnale trasmesso dalle stazioni radio-base (area di

opertura). Verrano inoltre messe in lu e le motivazioni alla base dell'appro io proposto

la ui formulazione matemati a è des ritta nella Sezione 3. Nella Sezione 4, verrano

det-tagliati ivaripassi pro eduraline essari all'implementazionenumeri adelmodello proposto

ponendo l'attenzione sulle riti ità dal punto di vista numeri o- omputazionale (tempi di

L'utilizzo ommer ialedelsistema

UMT S

(Universal Mobile Tele omuni ation System),per l'erogazione di servizi di telefonia mobile di terza generazione

3G

ad un elevato numero di utentièpiuttostore ente,ed hainizionel

2003

nelRegnoUnito. I on etti,leidee ele arat-teristi hedelsistema

UMT S

risalgonoinve eaiprimianni80quandosifastradal'ambizioso progetto di ostruire un sistemadi tele omuni azioni he permetta all'utente di omuni are

ovunque ed inogni momento medianteappli azioniallo atein terminalimobili ditipo

uni-versale [1℄. In [2℄ l'implementazione del sistema

UMT S

nel Regno Unito viene dis ussa evidenziando i vantaggi del nuovo standard rispetto al

GSM

. In parti olare, la qualità del servizio in rementata riferita alla possibilità di trasmettere a velo ità elevate e supportare

appli azioni multimediali,un aumento della apa itàdi anale a seguito dell'utilizzo diuna

ampia banda spettrale e modulazioni più e ienti, e la reazione di un nuovo mer ato di

telefonia mobile, libero enon soggettoamonopolio.

Un approfondimentodelle diverse problemati he ed attività di ri er a relative allosviluppo

diuna rete

UMT S

, èriportatoin[3℄laddove sifa riferimentoallane essità diun sistemadi

trasmissionedati armonizzatoneidiversiPaesi he permettaun'integrazione onlostandard

GSM

eladisponibilitàdinuoviproto olliperiltrasferimentodielevatiussi didatidigitali on qualità di servizio adeguate. Lo sviluppo della rete

UMT S

si lega infatti al overage planning (pianodi opertura)ovveroalla operturadiunterritorio onundeterminatolivello

di segnale he permetta latrasmissione diun'adeguata quantitàdi dati.

Ilprogettodiun'infrastruttura

UMT S

ri hiedequindiil al olodelladensità,dellagrandezza e del tipo di elle he ompongono la rete, ovvero di quei parametri strettamente orrelati

allaposizioneeallapotenzairradiatadalle

BSs

. E' dunquene essario disporre distrumenti di al olo e ienti per la predizione della opertura sul territorio al ne di ottimizzare le

risorse disponibili. Una tale esigenza era già presente per il progetto di reti radio-mobili

di pre edente generazione. In [4℄ vengono riportate una serie di formule empiri he per il

al olo delle perdita di potenza del ampo elettri o dovute alla propagazione, a partire da

una serie di misure sperimentali eettuate in diversi ambienti e ondizioni. In [5℄ viene

sviluppato un sistema per il al olo della propagazione del segnale

GSM

e di onseguenza della opertura di segnale sull'isola di Singapore. Nota la topologia del territorio, il valore

di ampo viene al olato in modo puntuale utilizzando espressioni analiti he funzioni della

distanza tratrasmettitore

(T X)

eri evitore

(RX)

ed eventuali osta olitragli stessi.

L'importanzadella predizione della distribuzione del ampoe.m. irradiato daun sistema di

tele omuni azionièsottolineatadallagranmoledilavoriprodotti. Adesempio,si onsiderino

teori o per la propagazione di segnali nella banda UHF

(300 MHz − 3 GHz)

in ambiente urbano. Per il ontesto urbano e rurale, le ri er he dis usse in [8℄ onsiderano due modelli

dierenti. Il primo di tipo deterministi o è basato sulla teoria della dirazione mentre il

se ondo onsidera des rizioni di ampo statisti he se ondo la distribuzione di Reyleigh o di

Ri e perl'ambienterurale ese ondo ladistribuzione diNakasamiperl'ambienteurbano.

Perquantoriguardal'ar hitettura

UMT S

ilpro essodiplanningdellareteè on ettualmente simile a quello di una rete

GSM

ma de isamente più ompli ato. I segnali dei vari utenti utilizzanolastessafrequenzadiportante(single frequen ysystem

SF S

)elaloroseparazione avviene mediante il sistema Wide-Code Divison Multiple A ess

(W − CDMA)

. Inoltre, il segnale ri evuto dal terminale mobile può essere la ombinazione di segnali provenienti da

diverse elle he sono sommati ostruttivamente se ondo il prin ipio del Maximum Ratio

Combining

(MCR)

[1℄. Queste strategie di trasmissione impli ano, non solo un adeguato livello di segnale ma an he he il rapporto segnale-rumore-interferente sia superiore aduna

determinata soglia,al ne di ottenere un'adeguataqualità del servizio.

In[9,10℄sonodes ritteleprestazionididiverse ongurazioniar hitetturaligeneratese ondo

ilsistemaMonte-Carlo(las eltadeisitidelle

BSs

ègeneratainmodo asuale). Strumentidi planning più sosti atisonoinve equellipropostidaAllenin[11℄doveèdes rittoilsoftware

CDSSmartP lan

apa e di onsiderare parametri quali diversi tipidiantenna e ottimizzare

diverse aratteristi hedella rete,odaAmaldiet al. [12, 13,14℄ he fanno ri orsoallate ni a

del Tabù Sear h

(T S)

. In [15℄, l'area di interesse viene suddivisa in Tra Demanding Areas

(T DAs)

e perognuna di esse è al olatala posizionedei sitipiù opportuna mediante opportuni algoritmi di ottimizzazione he massimizzano la opertura dell'area onsiderata.

Sempre fa endo ri orso ate ni he di ottimizzazionesono stati re entemente proposte nuove

metodologieda Yang et al. [16℄ edaQuintero et al. [17℄.

E'tuttaviadegnodimenzioneilfatto he,afrontedeglistrumentidiplanning, onl'in lusione

divin olisuivaloridipotenzaeme anismi aratteristi idell'

UMT S

qualiilsoft-handover, non sembra essere a ompagnato dall'utilizzo di modelli di predizione più sosti ati. In

generale, ledes rizionielettromagneti he risultanomolto sempli i,spesso dinaturaempiri a

e non onsiderano lamorfologiadel territoriose non attraverso fattoridi orrezione.

Untalefattorisultadeltuttosorprendenteinquantol'importanzadiunmodellodipredizione

a urato èbennota. L'eetto diunmodellodipredizioneina urato sulsu essivoprogetto

dellarete èmessoinevidenzain[18℄. Ilrisultatopuòesseresiaunospre o dirisorse(utilizzo

di più

BSs

di quelle ne essarie) sia un malfunzionamento globale della rete a seguito del raggiungimentodibassi valoridirapporto segnale-interferente.

A parzialegiusti azionevasottolineato he ilproblema del al olodell'areadi operturadi

da tutti terminalimobili presenti in uplink (tra o nella ella) sia dalla potenza trasmessa

delle

BSs

indownlink. Intal ontesto,leprimeanalisidel al olodell'interferenza insistemi

CDMA

sono da ri er are nei lavori di Viterbi et al.,[19℄ e nel su essivo [20℄. Un modello più sosti ato è proposto da Staheleet al. in[21℄ eranato in[23℄. Notala posizione delle

BSs

eladistribuzionespazialedeltra o,un modelloanaliti orisolveunaserie diequazioni perdeterminareladistribuzionedell'interferenza relativaa elle diverse daquellaanalizzata.

Questo tipo di appro io iterativo permette di in ludere nel rapporto segnale-interferente

an he l'interferenza tra elle diverse mai onsiderata in pre edenza. Una nuova strategia è

des rittadaPlitsisin[22℄ heestendeilmodellodiHata[4℄introdu endoilrapporto

segnale-interferente e onsiderando statisti he di segnale di tipo Ri e o di tipo Rayleigh dovute ai

per orsi multipli del segnale. In [24℄, la pro edura proposta onsidera due passi su essivi:

nel primo è al olata la distribuzione del ampo elettri o una volta nota la morfologia del

territorio, nel se ondo la distribuzione del ampo è elaborata utilizzando le aratteristi he

te nologi he del sistema

UMT S

.

Il lavoro proposto da Gandini et al. [25℄ introdu e al uni elementi innovativi nel al olo

dell'area di opertura dei siti e fa riferimento al ollegamento in downlink (stazione

radio-base terminale mobile). Il rapporto segnale-interferente è al olato mediante un modello

analiti o e su essivamente migliorato introdu endo una des rizione statisti a del livello di

segnale ome in [19, 21, 22℄. Nel seguito il modello è analizzato in dettaglio proponendo

Nellostandard

UMT S

, letrasmissionididiversiutenti onnessi nella medesima ella avven-gonoallastessafrequenza. La omuni azioneèresapossibiledall'utilizzodelsistemaCDMA

(Code DivisionMultiple A ess) he permetteatuttigliutentidio upare simultaneamente

la stessa banda e trasmettere negli stessi istanti temporali. Ad ogni utente è assegnato un

odi e he permette, in fase di ri ezione, di dis riminare tra loro le omuni azioni di vari

utenti. Per garantire una qualità di servizio soddisfa ente non è dunque su iente

garan-tire un adeguato livello di potenza di segnale o orre altresì he il rapporto hip-energy to

interferen e, superiore ad una determinatasoglia.

Lasoluzionediquestoproblemadevetenerein onsiderazionesial'ar hitetturaediproto olli

delsistema

UMT S

he l'areadi opertura. Ildispositivomobilepuòri everesegnali proveni-entidadiverse elle nellostesso istantetemporale(soft-handover)(Figura1). Questisegnali

sono ombinatitraloroutilizzandounri evitoreditiporake el'algoritmodiMaximum Ratio

Combining

(MRC)

. In prima approssimazione,si onsidera ome valore disegnale inarrivo sul terminale mobile quellomassimo proveniente dalle diverse elle. Tale ipotesi sottostima

il valore di segnale utile ma permette di fornire una des rizione per il modello matemati o

proposto [25℄.

Pixel

Base Station

Cella 1

Cella 4

Cella 3

Cella 2

Figura 1: s hema di un sito

UMT S

Inoltre, poi hè latrasmissionedeisegnali

UMT S

avvieneinun analeditipomulti-per orso tempo-variante, risulta ne essario denire un modello sto asti o per la denizione di una

mappa di opertura del sito. La zona in esame viene quindi divisa in aree di dimensione

ostante detti pixel he saranno lassi ati ome  operti o meno a se onda del fatto he

il orrispondente rapporto segnale-interferente sia maggiore di una determinata soglia on

density fun tion

(pdf )

e he la omulative densityfun tion

(cdf )

delleseguenti quantità:

(a)

la potenza di segnale nel pixel,

(b)

del rapporto segnale-interferente e

(c)

della potenza del segnale eettivamenteri evuto dalterminale mobile.

3.1 Modello Matemati o

Si onsideriun sito

UMT S

. L'areadiindagine

D

èdivisain

J

sotto-areedidimensionessa hiamatepixel. Undispositivomobilepresentenel

j

-esimopixelri evesegnaliprovenientida

N

elle diverse (Figura2).

Sito UMTS:

Pixel

Legenda:

Terminale

Mobile

Stazione

Radio−Base

cella 1

cella n

cella n+1

cella N

j−esimo pixel

Collegamento

Terminale−Cella

Figura 2: dispositivomobile nel

j

-esimopixel he ri eveil segnaleda

N

elle Si indi hi on

X

j

_{= {(x}

j

n

) ; n = 1, . . . , N; | x

j

n

∈ ℜ} ; j = 1, . . . , J

l'insieme del livello di

segnale in

dB

proveniente dall'

n

-esima ella misurato nel

j

-esimo pixel mentre on

Y

j

₌

{(y

j

n

) ; n = 1, . . . , N; | y

n

j

∈ ℜ

+

} ; j = 1, . . . , J

si denis a l'insieme dei valori del rapporto

segnale-interferente he orrispondonoal ollegamentotra teminalemobilee l'

n

-esima ella. I valori

y

j

n

sono al olatia mediantela seguente espressione [25℄:

y

_n

j

=



_E

c

I

0



j

n

=

10

x

j

n

/10

a

n1

10

x

j

1

/10

+ . . . + a

_nN

10

x

j

N

/10

+ c

_n

; n = 1, . . . , N.

(1)

Nell'equazione (1) i valori

a

nn

; n, n = 1, . . . , N

sono rappresentativi del rapporto tra la potenza del segnale pilota e quella totale trasmessa dall'

n

-esima ella, mentre il valore

c

n

des riveil rumoretermi opresente nell'

n

-esima ella. Nell'equazione (1)si puònotare ome il numeratore

10

x

j

n

/10

; n = 1, . . . , N

rappresenti la parte di segnale utile ( hip energy,

E

c

), mentrealdenominatore,l'interferente

I

0

è al olato omelasommadituttiisegnalipresenti nelpixel he non ostituis onoinformazioneperilterminalemobileedalrumoretermi o

c

n

. Taleformulazioneipotizza he ilterminalemobilesia onnesso ontuttele elle he

trasmet-tono nelpixel,e he dunqueesso siainsoft-handover on tuttele

N

elle. Tratutti isegnali presenti nel

j

-esimo pixel, si indi hi on

y

j

quello asso iato al ollegamentoterminale- ella

y

j

= max



y

j

_n



; n = 1, . . . , N.

(2) Il valore di

y

j

al olato se ondo l'espressione (2) è quello utilizzato per la trasmissione e

ri ezione dell'informazione da parte del terminale mobile. Si denis a dunque la funzione

F

j

_{: X}

j

_{→ Y}

j

N

he mappa l'insieme dei valori di ampo e.m. provenienti dalle

N

elle presenti nel

j

-esimo pixel on i orrispondenti rapportisegnale-interferente:

F

j



X

j



= Y

j

=





10

x

j

₁

/10

a

11

10

x

j

1

/10

+ . . . + a

₁

_N

10

x

N

/10

+ c

₁

, . . . ,

10

x

j

_N

/10

a

N 1

10

x

j

1

/10

+ . . . + a

_{N N}

10

x

N

/10

+ c

N





,

(3) dove, nell'equazione (3)

X

j

_{∈ X}

j

,

Y

j

_{∈ Y}

j

e gli

a

nn

; n = 1, . . . , N

ei

c

n

; n = 1, . . . , N

sono

stati pre edentemente des ritti. Si determini la opertura del pixel

j

-esimo denendo una soglia di funzionamento

y

j

thr

evalutandolaseguente disuguaglianza:

y

j

> y

j

_thr

(4)

Se la disuguaglianza (4) è veri ata allora il rapporto segnale-interferente del ollegamento

traterminalemobile e ella èsuperiore allasogliadi funzionamento ilpixelsi dirà operto

vi eversa il pixelsarà non operto.

Nella formulazione n qui proposta, i valori di ampo e.m.

X

j

e di rapporto

segnale-interferente

Y

j

sono stati onsiderati ome valori deterministi i. Tale appro io non

on-sidera fenomeni legati alla tempo-varianza del anale wireless, he provo ano uttuazioni

nell'ampiezza del segnale (fading lento e velo e del anale). Si rende dunque ne essario

trattare il problema della opertura onsiderando des rizioni del segnale trasmesso dalla

stazione radio-base al terminale mobile di tipo statisti o. Si indi hi dunque on

p

x

j

la

fun-zione densità di probabilità di

X

j

e on

p

y

j

la funzione densità di probabilità di

Y

j

e si

onsideri la opertura del pixel se ondo la denizione: il

j

-esimo pixel è  operto se, s-sato un valore di probabilità

P

thr

e un valore di soglia per il rapporto segnale-interferente

y

thr

, quest'ultimo è superato dal massimo rapporto segnale-interferente

y

j

on probabilità

P

j

maggiore di

P

thr

. Al ne di ottenere una mappa di opertura del sito

UMT S

in esame si al oli, per ias uno dei

J

pixel, la probabilità he il orrispondente

y

j

siamaggiore della

soglia

y

thr

e lasi onfronti on la probabilità

P

thr

. A tals opo, si onsideriil pixel

j

-esimo, e si determini laseguente quantità:

P

h

max



y

j

1

, . . . , y

j

N



> y

thr

i

,

(5)

P

h

max



y

1

j

, . . . , y

j

N



> y

thr

i

= 1 − P

h

max



y

1

j

, . . . , y

j

N



< y

thr

i

.

(6)

Si al olilapartedestradell'equazione(6) mediantel'integrazionedella

p

y

j

suunopportuno dominio:

1 − P

h

max



y

j

1

, . . . , y

j

N



< y

thr

i

= 1 −

Z

A

j

_ythr

p

y

j



y

j

1

, . . . , y

j

N



dy

j

1

. . . dy

j

N

(7)

dove nell'equazione(7) ildominio diintegrazione

A

j

y

thr

è denitoda:

A

j

_y

_thr

= Y

j

_∩

n

_y

j

n

| 0 < y

n

j

< y

thr

; ∀ n = 1, . . . , N

o

; j = 1, . . . , J,

(8) e ontiene gli

Y

j

_{∈ Y}

j

in ui tutti gli elementi

y

j

n

; n = 1, . . . , N

hanno valore inferiore a

y

thr

. Lafunzione

p

y

j

non ènota aprioriedilvaloredella(7)si al olaesprimendol'integrale

in funzione di

p

x

j

he è onos iuta e di tipo normale [21℄. Si appli hi all'integrale in (7) il TeoremadelCambiodi Variabile esi ottenga:

Z

A

j

_ythr

p

y

j



y

1

j

, . . . , y

j

N



dy

1

j

. . . dy

j

N

=

Z

A

j

_ythr

p

x

j

◦ G

j



y

j

1

, . . . , y

j

N



det J

G

j

dy

₁

j

. . . dy

j

_N

(9) dovenell'equazione (9)

G

j

è lafunzioneinversa di

F

j

(3)mentre

det J

G

j

èilja obianodi

G

j

(dettagli sul al olo di

G

j

e di

det J

G

j

sono presenti in Appendi e A). Si sostituis a (9) in

(6) esi ottenga:

P

h

max



y

1

j

, . . . , y

j

N



> y

thr

i

= 1 −

Z

A

j

_ythr

p

x

j

◦ G

j



y

1

j

, . . . , y

j

N



det J

G

j

dy

₁

j

. . . dy

_N

j

(10)

Inne, si onfrontiil risultatoottenuto dalla (10) on laprobabilitàdi soglia

P

thr

. La oper-tura del pixelsi avrà nel aso di valoridiprobabilità superiori allasoglia.

Si onsiderila ostruzionediunamappadi operturaperunsito

UMT S

una voltassati

(i)

un valore disoglia per ilrapporto segnale interferente,

y

thr

e

(ii)

una probabilità he questo evento a ada,

P

thr

. Una volta diviso il sito in esame se ondo una griglia di

J

pixel per ognuno di essi si al oli ilvaloreespresso da(10) esi valuti se esso siamaggioreo minoredi

P

thr

.

Si des riva lastrategia he permettetale valuatazione mediantele seguenti operazioni:

•

Si setti un valore di soglia

y

thr

edi probabilità

P

thr

•

Per ias un dei

J

pixel in uiè divisoil sito:

 Sidis retizzi lo spazio

Y

j

.

 Si ostruis a ildominiodi integrazione

A

j

y

thr

.  Si al oli

G

j



_y

j

1

, . . . , y

j

N



on



y

j

1

, . . . , y

j

N



∈ A

j

y

thr

.  Sidetermini

det J

G

j

.  Si al oli

P [y

j

_{> y}

thr

]

.

 Sivalutila operturadel pixel.

4.1 Dis retizzazione dello Spazio

Y

j

Ladis retizzazionedellospazio

Y

j

èun'operazionenon omplessamaestremamentedeli ata;

due sono i parametrifondamentalida onsiderare: l'intervallodi variazionedeivaloriin

Y

j

e

il passo di dis retizzazione. E' possibile determinare il valore minimo e massimo he può

essere assuntodagli elementi di

Y

j

_{∈ Y}

j

utilizzando ilseguente limite [25℄:

lim

w

n

j

→∞

w

j

n

a

n1

w

j

1

+ . . . + a

j

nN

w

N

+ c

n

=

1

a

nn

; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J

(11) da uisegue:

inf (y

j

n

) = 0

sup (y

j

n

) =

1

a

nn

; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J,

(12)

allora ogni elemento di

Y

j

può assumere qualunque valore ompreso tra

0

e

1/a

nn

, ioè

y

j

n

∈



0,

1

a

nn



. Si dividal'intervallo



0,

1

a

nn



in

M

intervallidi dimensione

∆y

j

n

:

∆y

_n

j

=

1/a

nn

M

n

e si generila sequenza di

M + 1

ampioni

c

y

n

j

ome:

c

y

n

j

=

n

y

_n

j



m

= m∆y

_n

j

; m = 0, . . . , M

n

o

; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J.

(14)

Si osservi omedalla (14) segue

(y

j

n

)

0

= inf (y

j

n

) = 0

e

(y

j

n

)

M

= sup (y

j

n

) =

1

a

nn

. Lospazio

Y

j

viene dunque dis retizzato da

Q

N

n=1

(M

n

+ 1)

vettori

Y

c

j

₌



ˆ

y

j

1

, . . . , ˆ

y

j

N



ostruiti mediante le sequenze

c

y

n

j

; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J

.

4.2 Cal olo del Dominio di Integrazione

A

j

y

thr

Si onsiderino i vettori

Y

c

j

₌



ˆ

y

1

j

, . . . , ˆ

y

1

N



al olati al punto pre edente. Il dominio di

integrazione

A

j

y

thr

ontiene tutti i vettori

ˆ

Y

j

per i ui elementivalelarelazione:

ˆ

y

j

n

< y

thr

∀n = 1, . . . , N.

(15)

Larelazione(15)impone he tuttiglielementideivettoripresentineldominiodiintegrazione

A

j

y

thr

siano inferiori allasoglia

y

thr

.

4.3 Cal olo di

G

j



_y

j

1

, . . . , y

j

N



Il al olo deivaloridella funzione

G

j



_y

j

1

, . . . , y

j

N



prevede he perogni ampione

Y

c

j

_{∈ A}

j

y

thr

si al oli il valore di

X

j

_{∈ X}

j

he lo ha generato tramite

F

. Tale pro edimento avviene in due passi utilizzando le funzioni inverse

S

(35) ed

L

(36) ed è visualizzato globalmente in Figura 3.

R

N

R

N

R

N

S

L

X

j

j

j

(x ,..., x )

1

N

j

1

(w ,...,w )

j

N

j

j

(y ,..., y )

₁

N

Y

j

W

j

Figura3: s hema del pro esso diinversione, dall'insieme

Y

j

all'insieme

X

j

Il primo passo riguarda il passaggio dallo spazio

Y

j

allo spazio

W

j

ed avviene mediante

la soluzione del sistema des ritto dall'equazione (31) in uiil termine noto è ostruito

on-siderando gli

Y

c

j

_{∈ A}

j

y

thr

:

A

j

_W

j

_{= B}

j

_.

(16)

Una volta al olato il vettore

W

j

₌



_w

j

1

, . . . , w

j

N



soluzione del sistema il valore di

X

j

asso iato si al olautilizzando l'espressione (36):

X

j

=



10 log w

j

1

, . . . , 10 log w

j

N



(17) 4.4 Cal olo di

det J

G

j

Si onsideri l'espressione (39) he esprime il

det J

G

j

ome funzione di

det J

E

j

e

det J

T

j

. La matri e

J

E

è una matri e

N × N

diagonaledella forma:

J

E

j

=

ln 10

10

















10

x

j

₁

/10

₀

_{. . .}

₀

0

. . .

. . .

0

0

. . .

0

10

x

j

_N

/10

















.

(18) Si al oli il determinante di

J

E

j

moltipli ando gli elementi presenti sulla diagonale della

matri e:

det J

E

j

=

ln 10

10

N

Y

n=1

10

x

j

n

/10

(19)

Si sempli hiulteriormentel'equazione (19) utilizzando leproprietà degli esponenziali:

det J

E

=

ln 10

10

10

P

N

n=1

x

j

_n

10

(20)

Si onsideriora la matri e

J

T

j

. Essa èuna matri e

N × N

nella forma:

J

T

j

=













δy

j

₁

δw

₁

j

. . .

δy

j

₁

δw

_N

j

. . .

. . .

δy

j

_N

δw

₁

j

. . .

δy

j

_N

δw

_N

j













(21)

δy

j

n

δw

j

n

=

a

n1

w

1

j

+

...+a

(n−1)(n−1)

w

j

n

(n−1)

+

a

(n+1)(n+1)

w

n(n+1)

j

...+a

nN

w

j

N

+

c

n

(

d

j

n

)

2

, n = 1, . . . , N

δy

j

n

δw

j

m

= −

a

nm

w

j

n

(

d

j

n

)

2

, n, m = 1, . . . , N n 6= m

(22)

dove nell'equazione(22) i denominatori

d

j

n

sono al olati ome:

d

j

_n

= a

n1

w

1

j

+ . . . + a

nN

w

j

N

+ c

n

; n = 1, . . . , N

(23)

Una volta ostruita la matri e

J

T

j

il al olo del suo determinante può avvenire mediante l'utilizzo della formula he prevede l'espansione del determinante mediante i minori della

matri e. 4.5 Cal olo di

P

h

y

j

_{> y}

thr

i

Il al olo di

P [y

j

_{> y}

thr

]

si ottiene risolvendo laseguente equazione:

P

h

y

j

> y

thr

i

= 1 −

Z

A

j

_ythr

p

x

j

◦ G



y

1

j

, . . . , y

j

N



det J

G

dy

1

j

. . . dy

j

N

(24)

Il al olo dell'integrale può essere risolto mediante te ni he di integrazione numeri a he

prevedono la dis retizzazione del dominio

A

y

j

_thr

e l'approssimazione dello stesso ome

som-matorie diiper-parallelepidi (parallelepipedidi uno spazio

N

- dimensionale).

Si noti ome la funzione densità di probabilità

p

x

j

è una gaussiana

N

-dimensionale [21℄ la ui espressione vale:

p

x

j

=

1

(2π)

N/2

|Σ|

1

/2

exp

h

−

1

2

(

X

j

−

µ

j

)

t

Σ

−1

(

X

j

−

µ

j

)

i

(25)

dove nell'equazione (25) sia

µ

j

₌

hD

_x

j

1

E

, . . . ,

D

x

j

_N

Ei

il vettore dei valori medi dei termini

x

j

n

; n = 1, . . . , N

mentre sia

Σ

la matri e di ovarianza, e siano

|Σ|

e

Σ

−1

rispettivamente

il determinante e lamatri e inversa di

Σ

. Ben hè l'espressione di

p

x

j

sia nota non lo sono i parametri he la aratterizzano,

Σ

e

µ

j

;ilprimoè al olatoapartiredamodellistatisti inoti

inletteratura[8,6℄mentreilse ondoèdeterminatoutilizzandoilsoftware diplanning

elettro-magneti o

AT OLL

. Tale software al ola in mododeterministi ola distribuzione di ampo e.m. diun sito onsiderandodiversifattoriqualilatopologiaeilgradodiurbanizzazionedel

territorio in esame, la posizione e la potenza di trasmissione delle stazioni radio-base, et ..

Il valore dell'

n

-esimo elemento del vettore

µ

j

orrisponde al valore di ampo e.m. generato

Unavoltaottenutoilvaloredell'equazione(24)lavalutazionedella operturadelpixelavviene

veri ando la disuguaglianza(5):

P

h

y

j

> y

thr

i

> P

thr

(26)

dove

y

thr

e

P

thr

sono rispettivamente il valore di rapporto segnale interferente desiderato e

La ostruzionediuna mappadi operturapersiti

UMT S

presupponeil al olodell'integrale presente nell'equazione (10). Tale al olo impli a la onos enza della funzione inversa di

F

j

,

G

j

edelvalore deldeterminantedella sua matri eja obiana

det J

G

j

. Los opodiquesta

appendi eèdunquequellodideterminareunespressioneanaliti aper:

(a)

lafunzioneinversa di

F

j

,

G

j

_{: Y}

j

_{→ X}

j

e

(b)

per il determinante della matri e gia obiana ad essa asso iato

det J

G

j

.

(a) Espressione Analiti a di

G

j

₌



_F

j

−1

Si onsiderila funzione

F : X

j

_{→ Y}

j

:

F

j



X

j



= Y

j

=





10

x

j

n

/10

a

11

10

x

j

1

/10

+ . . . + a

₁

_N

10

x

N

/10

+ c

₁

, . . . ,

10

x

j

_N

/10

a

N 1

10

x

j

1

/10

+ . . . + a

_{N N}

10

x

N

/10

+ c

N





,

(27)

sinoti omei valoridi

Y

j

non dipendonolinearmentedaivaloridi

X

j

. Allos opodi

sempli- areil al olodellafunzioneinversasidenis a

W

j

_{= {(w}

j

n

) ; n = 1, . . . , N; | w

j

n

∈ ℜ} ; j =

1, . . . , J

omel'insiemedeivaloridellivellodisegnaleins alalineareprovenientedall'

n

-esima

ella misuratonel

j

-esimopixel. Siesegualaseguente trasformazionedeivaloridi

X

j

da

dB

in s ala linearese ondo lafunzione

E

j

_{: X}

j

_{→ W}

j

:

E



X

j



_{= W}

j

₌



₁₀

x

j

₁

/10

_{, . . . , 10}

x

j

_N

/10



_{; j = 1, . . . , J.}

(28) Dove, in (28)

W

j

_{∈ W}

j

. Si sostituis a l'espressione (28) in (27) e si ottenga la funzione

T

j

_{: W}

j

_{→ Y}

j

ome:

T



W

j



= Y

j

=

w

j

1

a

11

w

1

j

+ . . . + a

1

_N

w

j

_N

+ c

1

, . . . ,

w

j

N

a

N 1

w

1

j

+ . . . + a

N N

w

N

j

+ c

N

!

.

(29) Nell'equazione (29) vale

w

j

n

> 0; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J

ed inoltre

a

nn

> 0; n, n =

1, . . . , N

e

c

n

> 0; n = 1, . . . , N

. Da questo segue he

T

j

non presenta dis ontinuità in

quanto:

a

n1

w

j

1

+ . . . + a

nN

w

N

j

+ c

n

6= 0; n = 1, . . . , N; j = 1, . . . , J.

(30)

A

j

W

j

= B

j

,

(31) dove in (31) la matri e del sistema

A

j

è una matri e

N × N

i ui elementi sono al olati se ondo laseguente espressione:

A

j

=













y

j

1

a

11

− 1



. . .

y

1

j

a

1

N

. . .

. . .

. . .

y

_N

j

a

N 1

. . .



y

_N

j

a

N N

− 1













; j = 1, . . . , J,

(32)

mentre il terminenoto

B

j

è una matri e olonna

N × 1

i uielementi valgono:

B

j

₌











−y

1

j

c

1

. . .

−y

_N

j

c

N











; j = 1, . . . , J.

(33)

Le in ognite del sistema diequazioni sono glielementidella matri e olonna

N × 1

,

W

j

:

W

j

=











w

1

j

. . .

w

j

_N











; j = 1, . . . , J.

(34)

Sidimostra omeildeterminantedella matri e

A

ènon nulloedunqueilsistemaèrisolvibile elasoluzioneèuni a[25℄. Sidenis a dunquelafunzioneinversadi

T

j

_{, S}

j

_{: Y}

j

_{→ W}

j

ome:

S

j



Y

j



= W

j

=

1

det A

j



det A

j

1

, . . . , det A

j

N



,

(35)

dovenell'equazione(35)

det A

j

indi aildeterminantedellamatri e

A

j

mentreivalori

det A

j

n

; n =

1, . . . , N

sonoi determinantidelle matri i he siottengono s ambiandolariga

n

-esimadi

A

j

on il termine noto

B

j

. La funzione

S

j

rappresenta la soluzione del sistema (31) una volta

ssati i valoridel terminenoto

B

j

edella matri e

A

j

.

Sinoti ome,una volta al olato

W

j

,siapossibiledeterminareil orrispondentevaloredi

X

j

invertendo l'espressione (28). Si denis a dunque la funzione inversa di

E

j

_{, L}

j

_{: W}

j

_{→ X}

j

ome:

L

j



W

j



= X

j

=



10 log w

1

j

, . . . , 10 log w

j

N



; j = 1, . . . , J.

(36)

da uisegue he la funzioneinversa di

F

è al olatamediantela omposizionedelle funzioni

L

ed

S

. Siavràdunque:

R

N

R

N

R

N

S

G

T

E

L

F

X

j

j

j

(x ,..., x )

₁

_N

j

1

(w ,...,w )

j

N

j

j

(y ,..., y )

1

N

Y

j

W

j

Figure4: Insiemi

X

j

,

W

j

e

Y

j

on le funzioni

F

j

_,G

j

,

E

j

,

L

j

,

S

j

e

T

j

(b) Espressione Analiti a di

det J

G

j

I pre edenti risultati permettono di al olare il valore del determinante della matri e

gia o-bianarelativaallafunzione

G

j

,

det J

G

j

. Perilteoremadellafunzioneinversavalelaseguente

relazionetra lematri i gia obiane dellefunzioni

G

j

,

E

j

e

T

j

:

J

G

j



y

1

j

, . . . , y

j

N



=

h

J

E

j



x

j

1

, . . . , x

j

N

i

−1

h

J

T

j



w

j

1

, . . . , w

j

N

i

−1

(38) dovenell'equazione(38)siha



x

j

1

, . . . , x

j

N



= G



y

1

j

, . . . , y

j

N



e



w

1

j

, . . . , w

j

N



= S



y

1

j

, . . . , y

j

N



.

Siappli hilaproprietàrelativaaldeterminantediprodotto dimatri iall'equazione(38) esi

ottenga:

det J

G

j



y

1

j

, . . . , y

j

N



=

h

det J

E

j



x

j

1

, . . . , x

j

N



det J

T

j



w

1

j

, . . . , w

j

N

i

−1

(39)

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