GARA DI MATEMATICA ON-LINE (22/2/2021) a b c c d e e f g g i l l m m 194

GARA DI MATEMATICA ON-LINE (22/2/2021) 1. CHE NOIA [6144]

Si tratta di trovare

a

₁₄ della successione definita per ricorsione

1 2

1 1

1 2

n

n n

i

a a

a

_

a



  

 

 

 

 

.

Visto che dobbiamo calcolare un termine non troppo grande della successione, posiamo procedere calcolando tutti i termini:

a

₃

 3

;

a

₄

 12

;

a

₅

 24

. Si osserva che da

a

₄ in poi, il termine successivo è sempre il doppio del termine precedente, infatti

1 1

1 1

n n

n n n n n

i i

a a a a a



  

 







 , da cui si ricava che

1

2

n n

a

_

 a

. Procedendo nel calcolo otteniamo a₁₄2a₁₃2²a₁₂ 2¹¹a₃2¹¹ 3 6144.

2. DISTRAZIONI ALGEBRICHE [401]

Elevando al quadrato ambo i membri dell’equazione si ottiene x²y²  x²y² 2 | | |x  y|, cioè 0

xy . Le soluzioni sono del tipo

( ;0) x

e (0; )y , dove la coppia

(0;0)

deve essere contata una sola volta.

Le soluzioni sono

201 201 1 401   

.

3. INCREDIBILE [360]

Jerry ha appena scoperto una cosa incredibile. Presi i numeri naturali da

1

a

13

,

10

di questi è possibile inserirli nell’uguaglianza

a

²

  b

²

c

²

 c

²

 d

²

 e

²

  e

²

f

²

 g

²

 g

²

    i

²

l

²

l

²

m

²

 m

²

 194

. Quanto vale il prodotto di

c

moltiplicato per i tre numeri non utilizzati da Jerry?

Scriviamo i quadrati dei primi

13

numeri naturali e cerchiamo tutte le somme di tre elementi che diano come risultato

194

.

1

2

 1

2² 4 3² 9 4² 16 5² 25

62 36 7² 49 8² 64 9² 81 10² 100

11

2

 121 12

²

 144

13² 169 Le possibili combinazioni con valori tutti diversi sono:

2 2 2

13 4 3

2 2 2

12 7 1

2 2 2

11  8 3

2 2 2

9  8 7

E l’unica che verifica l²2m² 194 è 12² 2 5²

Incastrando i valori comuni possiamo ricostruire l’uguaglianza:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

194 a   b c  c  d  e   e f  g  g     i l l m  m 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13 4 3  3 11 8   8 9 7 7  1 12 12  5 5 194 (N.B.

a

e

b

possono essere scambiati)

Abbiamo scoperto che

c  3

e non abbiamo usato il 2, il

6

e il

10

Il prodotto richiesto è

3 2 6 10     360

.

4. GIOCHI CON I DADI [53]

Siccome è specificato che un puntino è scelto a caso, ciascun puntino ha probabilità 1

21 di essere scelto.

Ecco che la probabilità che un numero pari (2, 4 o

6

) diventi dispari è 2 4 6 12 4

212121217 e con probabilità complementare 3

7 che uno dispari diventi pari.

Ecco allora che 4 4 1 3 2 1 11

( )

7 6 2 7 6 2 42 P Dispari Dispari        .

5. QUIZ TELEVISIVO [27]

Moltiplicando per

3

la prima equazione e sottraendo la seconda si ottiene 8xy1440, cioè xy180. Moltiplicando per

3

la seconda equazione e facendo la differenza con la prima si ottiene

2 2

8 x  8 y  2952

, cioè

x

²

 y

²

 369

. Sfruttando l’uguaglianza

2 2 2

( x  y )  x  2 xy  y

otteniamo che

( x  y )

²

 369 2 180    729

da cui x y 27.

6.POVERO TOM [202]

3 3 2 2

1000027 1000000 27 100      3 (100 3)(100   100 3 3 )  

 

2 2 2 2 2

103 (100  2 100 3 3   3 100 3) 103 (100 3)    100 9 103 103 30

   

103 103 30    103 30   103 73 133 103 73 7 19      

La somma richiesta è

103 73 19 7     202

7. IL MASSIMO [8642]

Cominciamo dalle cifre più significative, in modo da massimizzare il risultato.

Non potendo usare la cifra

8

a fianco del

9

, mettiamoci il

7

, ma così facendo l’

8

dovrà finire al quarto posto.

9 7 8

A questo punto il

6

deve finire accanto all’

8

e il

5

andrà ad occupare la casella rimasta vuota tra il

7

e l’

8

. Il 4 può tranquillamente essere posizionato dopo il

6

.

9 7 5 8 6 4

Ora se posizionassimo il

3

nella posizione delle centinaia, saremmo costretti ad utilizzare il 2 nella cifra delle unità costringendoci a mettere

0

o

1

nella cifra delle migliaia.

9 7 5 8 6 4 3

Se, invece, posizioniamo prima il 2 nella cifra delle migliaia, otteniamo il numero

9 7 5 8 6 4 2 0 3 1

La risposta richiesta è

8642

.

8. IL CODICE NELLA CUCCIA [184]

Detto

x  abc

, possiamo scrivere

(1 , 1) (1000 , 1) (1000 1, 1) (999, 1)

MCD abc abc MCD x x MCD   x x x MCD x  p Dove nella seconda uguaglianza abbiamo sfruttato la proprietà che MCD a b( , )MCD a b b(  , ). Dovendo p essere un divisore di

999

, il valore di p10 può essere solo

37

.

1 37

x    k

. A questo punto, tra i possibili valori di

x

cerchiamo il più piccolo che verifica la prima richiesta:

x  37 5 1 184   

è la soluzione cercata.

9. LA PISCINA DI JERRY [500]

Siccome non è specificata la forma del triangolo, possiamo risolvere in prima battuta usando il triangolo equilatero. Unendo il centro del triangolo con i punti medi dei lati e i vertici dell’esagono con i vertici del triangolo si ottiene la figura a fianco riportata, fatta tutta da triangoli congruenti tra loro il rapporto richiesto è

1

2

^.

Dimostriamo, per completezza, che il risultato è il medesimo per qualunque triangolo acutangolo.

Tracciando le altezze del triangolo la figura risulta divisa in tre gruppi di triangoli a 4 a 4 congruenti. La dimostrazione della loro congruenza è garantita dalla presenza di parallelogrammi formati dalle rette perpendicolari ai lati del triangolo dal fatto che i punti di partenza delle perpendicolari sono i punti medi dei lati.

La risposta richiesta è 1

1000 500 2 

10. SCHERZI ALGEBRICI [2]

Calcoliamo per quale valore di

x

q x( )2: x²2x 3 2 è verificato per il solo valore

x   1

.

 

^{6 5 4 3 2}

(2) ( 1) ( 1) 6( 1) 18( 1) 32( 1) 35( 1) 22( 1) 8 2 p  p q               

.

11. LAVORI IN CORSO [36]

Siano

x

e y i raggi delle due circonferenze. Uniamo i centri

O

e Q delle due circonferenza tra loro, tracciamo le perpendicolari ai lati dai centri e uniamo con i centri i punti E, P ed F, come in figura.

Detti H e K i piedi delle perpendicolari condotte dai centri delle circonferenze al segmento EF si osserva che si formano due triangoli isosceli

OEP

e PQF per cui EF2HK. Osservando che AD  x y HK otteniamo che x y 20.

Esprimendo AB   x y a 12a ed applicando il teorema di pitagora sul triangolo di ipotenusa OQ si ottiene a² 20²12² 256 e cioè

a  16

.

Il alto AB misura

16 20   36 m

. 12. ALGEBRA DIFFICILE [2]

Per le formule di Viete sappiamo che:

S     x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

 1

. Determiniamo quanto richiesto dal problema:

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4

1 1

( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) (1)

3 3

x  x x x  x x x  x x x  x x  Sx Sx Sx Sx  P S  P da cui:

 

1 3 3 4 4 6 2 3      . 13 NELLA SCATATOLA [23]

Detto r il raggio delle palline, possiamo esprimere la diagonale del cubo che misura

10 3

come somma di quattro raggi delle palline più due volte la diagonale di un cubo che ha per lato il raggio della pallina stessa:

4 r   2 r 3  10 3

.

Risolvendo: r(2 3)5 3 cioè

5 3 2 3

10 3 15 2,321 cm 23, 21 mm

2 3 2 3

r      

  ^.

A O

Q

B C D

E H

K

F P

x x x

x

y

y

y y

14. UN RAPPORTO COMPLICATO [2000]

Prima soluzione

Costruiamo il simmetrico del triangolo rispetto al lato AB, come nella figura a fianco.

EC  DC  DE

Osserviamo che il triangolo

CDB

è isoscele per cui

DC  DB

, così come il triangolo DBE' per cui DBDE'

Abbiamo quindi che

EC  DE '  DE

.

Per costruzione DED E' ', quindi

EC  DE '  D E ' '  DD '  2 AD

EC 2

AD .

La soluzione richiesta è

1000 2   2000

.

Seconda soluzione

Riferendoci alla figura a sinistra possiamo osservare che:

   

 

tg 50 tg 40 tg 50 tg 40

tg10 tg 50 40

EC AC AE

AD AD

  

   

   

   

   

tg 50   tg 40 

 ^{tg 50}   ^{  tg 40}   ^

   

   

 

1 tg 90 40 tg 40 1 1

tg 40 1 tg 50 tg 40

      



  

 

tg 40

   2

La soluzione richiesta è

1000 2   2000

.

15. PASSATEMPI MATEMATICI [144]

Dividendo i dati del problema per

10

si ottiene il problema equivalente: In quanti modi si può scrivere 11 come somma ordinata di 1 e di 2.

Scelto il numero di 2, il numero di 1 è obbligato e i modi di disporli sono tanti quanti gli anagrammi della stringhe formate dai 2 e dagli 1:

6! 7! 8! 9! 10!

1 6 35 56 36 10 1 144 5! 1!4! 3!3! 5!2! 7! 1! 9!        

    

16. IL CONCORSO [250]

Sia

1

z k

  y

.

Calcoliamo il seguente prodotto:

1 1 1

5 29

x y z k

z x y

 

        

  

   

1 1 1 1

145

xyz x y z k

x y z xyy

       

Ora inserendo le informazioni note, l’equazione diventa

1 5 29      k 1 145 k

,da cui otteniamo 1 k 4.

1000 k  250

che è la soluzione richiesta dal problema.

10°

30°

10°

A B

C

D E

10°

90°

80°

80°

100°

100°

50°

40°

40°

50°

130°

130°

10°

30°

30°

10°

10°

A B

C

C’

D

D’

E

E’

17. NUMERI IN SCATOLA [1430]

Il numero di soluzioni del problema assegnato è pari al numero di percorsi che si possono formare in una griglia quadrata

8 8 

senza superare mai la diagonale, dove uno spostamento a destra indica di posizionare il numero nella prima riga ed uno spostamento verso l’altro, di posizionare il numero nella seconda riga, procedendo in maniera ordinata da 1 a

16

.

Siccome il numero di percorsi è calcolato dai numeri di Catalan, la soluzione è

C

₈

 1430

. 18. IL LUCCHETTO [36]

Riscriviamo l’equazione in un altro modo:

1 36 1 xyzxyyz     xz x y z  (x1)(y1)(z 1) 35.

Risolviamo, per il momento sui numeri positivi. Siccome

35   7 5

abbiamo le seguenti possibilità:

(1,5, 7) e permutazioni (

3! 6 

), oppure (1,1,35) e permutazioni (3!

2 3) per un totale di

9

casi.

Scelta una terna, i segni possono essere ( , , )   , oppure ( , , )   (e suoi anagrammi), per un totale di 4 casi possibili.

In totale abbiamo

9 4   36

terne ordinate.

19. IMPOSSIBILE [6]

Consideriamo l’equazione come soluzione del seguente sistema:

4 4 4 ( 20) y x y k x

    



 



dove la prima equazione rappresenta una curva nel piano cartesiano e la seconda un fascio di rette di centro (0; 20)

4 4

8 12

-4 -8

-20 -12

L’unico modo per avere

5

soluzioni è quando la retta del fascio passa per il punto

(0; 4)

. Sostituendo questo valore nel fascio si ottiene

4  20k

, cioè 1

k5 20. UN BEL COLPO [23]

Detti D, E ed F gli altri tre vertici dell’esagono, H il piede dell’altezza mandata da

C

e K il piede dell’altezza mandata da A' entrambe su AB (come in figura), l’area dell’esagono può essere espressa come differenza tra l’area del triangolo

ABC

e l’area della cornice bianca.

Per prima cosa osserviamo che il triangolo

AA K '

è mezzo triangolo equilatero e quindi

8

AK  l e 3 ' 24 A K  l.

A K H B

C

A’ B’

C’

D E F

Determiniamo la misura di DH sfruttando la similitudine dei triangoli A KB' e DHB:

' : :

A K KB  DH HB

Quindi

3

' 24 2 3

7 42

8 l l A K HB

DH l

KB l

 

  

2 2 2

'

' 3 3 3 3 3 5 3

6 3 6 3 3

2 2 24 2 42 8 28 56

CORNICE AA B ADB

AB A K AB DH

A  A  A        l l l l l  l  l .

Il rapporto cercato vale:

' ' '

3

A DB EC F ABC CORNICE

ABC ABC

A A A

A A

  

2

4 l 5 3

 ²

56 l 3 2

4 l

9 56 9

1 14 4

  .