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CONDOTTA AUTOMATICA DI IMPIANTI NAVALI

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Academic year: 2022

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(1)

CONDOTTA AUTOMATICA DI IMPIANTI NAVALI

Anno Accademico 2020 – 2021

Genio Navale, 1

a

Classe Applicativo Accademia Navale, Livorno

Docente: Prof. Mario Innocenti Università di Pisa

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Sezione Automatica

Largo Lucio Lazzarino, 56122 Pisa Tel.: 050 2217319

Email: mario.innocenti@unipi.it Sito per materiale didattico:

CONTROLLI AUTOMATICI

https://people.unipi.it/mario_innocenti/

(2)

Introduzione

 Presentazione del Corso: Obiettivi formativi, Prerequisiti

 Modalità di Esame

 Programma del Corso

 Richiami

(3)

Presentazione del Corso

 Obiettivi Formativi

• Fornire gli strumenti analitici di base per l’analisi di sistema ed il controllo automatico.

• Familiarizzare lo studente con gli strumenti di simulazione relativi al corso.

• Acquisire la cognizione di interdisciplinarietà degli strumenti analitici.

• Applicazione delle tecniche studiate ad un problema

specifico inerente al corso di studi.

(4)

Presentazione del Corso

 Modalità di Esame

• compitino durante il corso

• Esame finale

 Testi di e materiale di riferimento

• ‘’Fondamenti di Controlli Automatici’’, Bolzern, Mc Graw Hill Italia, terza edizione, 2008.

• «The Art of Control Engineering», Dutton, Addison Wesley.

• Accesso a Matlab o software simile (SCILAB)

• Appunti di Fondamenti di Automatica dal sito del docente:

http://www.dsea.unipi.it/Members/innocentiw

http://gen.lib.rus.ec/

(5)

Programma

 Concetti Generali

• Problema del Controllo

• Cenni Storici, Esempi

• Strumenti Matematici, Richiami

• Definizioni principali

 Modellistica

• Trasformata di Laplace e Funzione di Trasferimento

• Diagrammi a Blocchi

• Strutture dei Sistemi di Controllo

• Esempi fisici

 Analisi 1, 2

• Stabilità

• Risposta temporale e Requisiti in transitorio e a Regime

• Risposta in Frequenza

• Luogo delle Radici

• Criterio di Nyquist

(6)

Programma

 Sintesi 1

• Struttura Generale del Controllore e Requisiti

• Controllori Standard

• Sintesi con il Luogo delle Radici

• Sintesi in Frequenza

• Casi Particolari

 Sintesi 2

• Esempi di Progettazione

• Case Study relativo al Corso

(7)

Concetti Generali

• Problema del Controllo

• Cenni Storici, Esempi

• Strumenti Matematici, Richiami

• Definizioni principali

Brian Douglas Control Systems Introduction You Tube

(8)

Problema del Controllo

Definizione generale: Il problema del controllo riguarda un intervento, su un processo naturale od artificiale, in modo che il suo comportamento sia conforme alle aspettative, oppure sia migliorato rispetto ai requisiti originali.

Azione di Controllo: Il controllo provvede ad alterare il comportamento del processo mediante un’azione di informazione sul suo stato, un’azione di decisione sulla evoluzione desiderata ed un’azione di intervento sullo stato attuale del processo stesso, tutto svolto parzialmente e/o completamente in modo automatico.

Feedback/Retroazione: è il meccanismo primario di intervento ed una procedura essenziale nei sistemi biologici, fisici, naturali ed artificiali. Il processo di retroazione gestisce come si cresce, come si risponde allo stress ed alle difficoltà e regola fattori quali la temperatura corporea, la pressione sanguigna, il livello di colesterolo. I meccanismi di feedback operano a tutti i livelli, dall’interazione delle proteine nelle cellule, ai macrosistemi ambientali complessi.

Feedback è una procedura fondamentale tutte le volte che macchinari, processi industriali, sistemi informatici complessi e distribuiti devono operare mantenendo dei requisiti di

precisione, caratteristiche operative e stato nominale i quali possono variare a causa di fattori esterni, guasti, variazioni ambientali, ecc.

INFORMAZIONE DECISIONE AZIONE

(9)

Problema del Controllo

(10)

Problema del Controllo

 Esempio di feedback nella struttura di controllo

(11)

Problema del Controllo

 Esempi di feedback nella struttura di controllo

Misura

Verifica Agisci

Paragona e Decidi

(12)

Problema del Controllo

B Douglas Open Loop vs Closed Loop

(13)

Cenni Storici

 Uso di sistemi di controllo presso antichi greci e romani

 Maggiore sviluppo a partire dalla rivoluzione industriale ( presenza di nuovi attuatori meccanici, regolatore di Watt circa 1769)

 Amplificatore operazionale, Black 1927

Quando la velocità dell’albero aumenta, le sfere si spostano verso l’alto, chiudendo la valvola che porta il vapore dalla caldaia

Amplificazione per compensare l’attenuazione nelle linee telefoniche. Riduzione di rumore e disturbi associati con la necessaria

amplificazione del segnale

(14)

Cenni Storici

 1950, Controllo testina di un disco rigido

 1969, Lunar Excursion Module

La legge di controllo provvede a far inseguire la traccia e a

muovere la testina da una traccia all’altra

Controllo continuo dei razzetti di assetto per il mantenimento di una discesa verticale di

allunaggio

(15)

Esempi

 Aerospazio, Sistemi di Trasporto, Comunicazioni ed Energia

.. Aerospace and transportation encompasses a collection of critically important application areas where control is a key enabling technology. These application areas represent a

significant part of the modern world's overall technological capability.

.

(16)

Esempi

..Robotics and intelligent machines refer to a collection of applications involving the development of machines with humanlike behavior. Future applications will involve both increased autonomy and increased interaction with humans and with society. Control is a central element in all of these applications and will be even more important as the next generation of intelligent machines is developed

 Robotica

(17)

Esempi

 Medicina, Biologia

..A major theme is the science of reverse (and eventually forward) engineering of biological control networks. A wide variety of biological phenomena provide a rich source of examples for control, including gene regulation and signal transduction; hormonal, immunological, and cardiovascular feedback mechanisms; muscular control and locomotion; active sensing, vision, and

proprioception; attention and consciousness; and population dynamics and epidemics

(18)

Esempi

 Controllo non limitato a processi di basso livello

(19)

Esempi

 Architettura Sistema di Posizionamento

(20)

Esempi

 Integrated Automation, Power, Propulsion System

(21)

Esempi

(22)

Strumenti Matematici

 Strumenti generali

 Analisi matematica, calcolo integro-differenziale

 Analisi di funzioni di variabile complessa

 Teoria delle Matrici

 Ottimizzazione

 Geometria, Algebra lineare, Spazi vettoriali

 Geometria differenziale

 Strumenti specifici del corso

 Equazioni differenziali lineari

 Elementi di numeri complessi

 Matrici

 Elementi di algebra lineare

(23)

Richiami

Definizione: Si definisce sottospazio vettoriale W, un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V, per cui valgono le stesse operazioni dello spazio vettoriale:

3, 0 1

0

a a

v b w

c

é ù é ù

ê ú ê ú

ê ú ê ú

= ê ú Î Â = ê ú Î Â

ê ú ê ú

ê ú ê ú

ë û ë û

Esempio:

Definizione: Si definisce spazio vettoriale V, un set chiuso di elementi (vettori), per cui valgono le operazioni (assiomi):

1 2 1 2

1 2 1 2 2 1

1 1

1 2 3 1 2 3

1 1

, , ,

( ) ( )

0 0

v V v V v v V

v V v V v v v v

v V v V

v v v v v v

v v V

a a

Î Î  + Î

Î Î  + = +

Î Î Â  Î

+ + = + +

$ \ + = Î

(24)

Richiami

Combinazione Lineare: Dato un set di

n

vettori

v

ied un set di scalari αi, i vettori si dicono linearmente indipendenti se e solo se:

1 1v ... n nv 0 1 2 .. n 0

a + a =  a = a = = a

(25)

Richiami

Dimensione di un (sotto)spazio vettoriale: La dimensione di un sottospazio vettoriale è data dal numero massimo di vettori linearmente indipendenti.

Il numero massimo di vettori linearmente indipendenti si dice BASEdel sottospazio.

Se n vettori costituiscono la base di un sottospazio, tutti gli altri vettori sono ottenibili come combinazione lineare degli elementi della base stessa.

1

,...,

n

(

m

)

v v = BASE Â " v

*

Î Â 

m

v

*

= a

1 1

v + ... a

n n

v

(

2

)

Base in  Base in  (

3

)

NOTA: i vettori appartenenti ad una BASE sono perpendicolari

(26)

Richiami

Matrici (2D): Un insieme di elementi dati dal prodotto esterno di due vettori

1 2

( ) ( 1) (1 )

A p q´ = v p´ ⋅v ´q

Definizioni

Matrice Trasposta: Data una matrice A (nxm), si dice trasposta la matrice AT ottenuta scambiando le righe con le colonne

Matrice Simmetrica/Antisimmetrica: Data una matrice A (nxm), si dice simmetrica (antisimmetrica) se vale: T

T

A A

A A

=

= -

(27)

Richiami

Inversa di una Matrice: Data una matrice A (nxn), si dice inversa di A una matrice A-1tale che:

Determinante: Data una matrice A (nxn), si dice determinante di A, uno scalare calcolato mediante una formula ricorsiva:

Definizione: Data una matrice A (nxn), si dice aggiunta di A, oppure matrice degli aggiunti:

{ }

'

( ) ij ( 1)i j det( ji) Adj A = a = - + A

(28)

Richiami

6 1 1 4

A é ù AT

ê ú

= ê ú =

ê ú

ë û

Matrice Simmetrica 0 1

1 0

A é ù AT

ê ú

= êêë- úúû = -

Matrice Antisimmetrica

T T

T A A

S A A

= -

= +

T = Antisimmetrica S = Simmetrica

1 ( )

A 2 S T

 = +

5 6 2 5 0 3

0 4 1 6 4 3

3 3 1 2 2 1

A AT

é ù é ù

ê ú ê ú

ê ú ê ú

= ê ú = ê ú

ê - ú ê - ú

ê ú ê ú

ë û ë û

0 6 1 10 6 5

6 0 2 ; 6 8 4 1( )

1 2 0 5 4 2 2

T T

T A A S A A S T

é - ù é ù

ê ú ê ú

ê ú ê ú

= - = -ê - ú = + = ê ú +

ê ú ê - ú

ê ú ê ú

ë û ë û

1 0 2

4 1 4 ; det( ) 7

2 2 1

A A

é ù

ê ú

ê ú

= ê - ú =

ê ú

ê ú

ë û

1

5 2 2 1 0 2 1 0 0

( ) 1

4 3 4 4 1 4 0 1 0

det( ) 7

6 1 1 2 2 1 0 0 1

adj A

A A

A

-

é- ù é ù é ù

ê ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú

= = ê - ú ê - ú = ê ú

ê - - ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û

5 2 2

( ) 4 3 4

6 1 1

adj A

é- ù

ê ú

ê ú

= ê - ú

ê - - ú

ê ú

ë û

(29)

Richiami

Definizione: Data una matrice A (nxm), si dice Rango di A, il numero di righe (colonne) linearmente indipendenti

Nota: Data una matrice quadrata A (nxn), la sua inversa esiste SE E SOLO SE il Rango è massimo (=n), ovvero se il determinante è diverso da 0.

 Una matrice A può essere pensata come un elemento di trasmissione di segnale x in y, la trasmissione di segnale è lineare ed algebrica

( , )

A m n

y = Ax

x

(30)

Richiami

Problema: Siamo interessati alla relazione tra i sottospazi vettoriali indotti dalla matrice A e la soluzione del sistema algebrico:

1 1

m m n n

y

´

= A

´

x

´

11 1

1

1

..

.. .. ..

, .., .. .. ..

..

n

n

m mn

a a

A a a

a a

é ù

ê ú

ê ú

ê ú é ù

= ê ê ú ú = ê ë ú û

ê ú

ê ú

ë û

1 1 2 2

...

n n

y = a x + a x + + a x

Quindi il vettore y è una combinazione lineare delle colonne di A

Definizione: Il sottospazio formato dalle colonne di A si dice Spazio Immagine (Range space) =

R

(A). Essendo n la dimensione delle colonne di A, lo Spazio Immagine è n-dimensionale Teorema:Il sistema non omogeneo ha soluzione (non banale) se e soltanto se y è una combinazione lineare di una base dello spazio immagine di A:

( ) ( | )

Rank A = Rank A y

(31)

Richiami

A n m

Se il Rango è massimo ( = m), il sistema ha sempre soluzione, in quanto

y

è sempre combinazione lineare di m colonne di A

Se il Rango è minore di m, il sistema ha soluzione se e solo se

y

è combinazione lineare di una base del sottospazio immagine di A

Max Rank = m < n

A n

m

Max Rank = n < m

il Rango è r ≤ n . Il sistema ha soluzione

y

combinazione lineare di r colonne di A linearmente indipendenti (oppure di una sua base) Il vettore

y

è costituito da una base che definisce un sottospazio di dimensioni pari al Rango della matrice A

A n n

Il Rango è = n . Il sistema ha una sola soluzione

y

combinazione lineare delle n colonne di A. A è non singolare, A-1 esiste.

Il Rango è r < n. La soluzione

y

è una combinazione lineare di una base delle colonne di A linearmente indipendenti e appartenenti ad un sottospazio di dimensioni r

(32)

Richiami

Problema: Siamo interessati alla relazione tra i sottospazi vettoriali indotti dalla matrice A e la soluzione del sistema algebrico omogeneo:

1

0

m n n

A

´

x

´

=

Definizione: La soluzione del sistema

x

h omogeneo appartiene ad un sottospazio chiamato Nullo di A (Kernel) =

N

(A). Il Nullo di A (mxn) ha dimensioni n.

11 12 13

21 22 23

a a a 0

Ax x

a a a

é ù

ê ú

= ê ú⋅ =

ê ú

ë û

Rango(A): γ = 2

0 0 1 xh a

é ùê ú

= ê úê ú ê úê ú ë û

Rango(A): γ = 1

0 0

1 0

0 1

xh a b

é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú

= ê ú + ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û

11 12

21 22

31 32

0

a a

Ax a a x

a a

é ù

ê ú

ê ú

= ê ú⋅ =

ê ú

ê ú

ë û

Rango(A): γ = 2

x =h 0

Rango(A): γ = 1

xh = ê ú ê úaé ùê ú01 ;aé ùê ú10

ê ú ê ú ë û ë û

(33)

Richiami

1

0

n n n

A x

´ ´

=

Nota: Relazione tra Rango γ, dimensione dello spazio immagine dim

R

(A) e dimensione dello spazio nullo dim

N

(A). Consideriamo una matrice quadrata A (nxn), ma la relazione è valida anche per matrici rettangolari.

• Rango(A) =

γ

= dim

R

(A)

• γ

+ dim

N

(A) = n

 Se

γ

= n,

N

(A) è un insieme vuoto quindi La matrice A è non singolare, ovvero det (A) ≠ 0.

h 0 x =

Teorema: La soluzione del sistema

Ax = y

esiste se e solo se

y

є

R

(A) ed ha la forma:

x = x

p

+ x

h

= x

p

+ N

(A)

La soluzione è unica se e solo se

N

(A) è vuoto (a parte il vettore nullo), ovvero

γ

= n.

2 0 1

0 3 x y xh xp xp A y-

é ù

ê ú = = + = =

ê ú

ê ú

ë û 1 2

0 0 1 0

0 0 x y xh xp xh x 0 x 1

é ù é ù é ù

ê ú = = + = = ê ú + ê ú

ê ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û

(34)

Richiami

A x

6 n´

= y

6

x

n

y

Î Â Î Â

Esempio: Moto di un corpo rigido nelle 3 dimensioni

x

jforze/coppie esterne applicate a n punti del corpo

y

icomponenti forze/coppie totali sul corpo

 La matrice A definisce la geometria del corpo, posizione del centro di massa, punti di applicazione delle forze/coppie esterne

1 2 3 1 2 3

y

T

= ê é ë F F F M M M ù ú û

 La seconda riga di A

, a

2j, rappresenta la risultante F2dovuta a tutte le forze/coppie applicate

 La terza colonna di A,

a

i3, rappresenta il contributo totale in forza e coppia dovuto alla terza forza/coppia applicata

(35)

Richiami

Matrici Simili – Trasformazione di Similitudine

Esempio: Dato uno stesso vettore V, esso può essere espresso in diversi sistemi di riferimento (per comodità di calcolo, per migliore comprensione fisica, ecc.)

α V y2

x2 y1

x1

 Domanda: Come possiamo collegare le

componenti dello stesso vettore nei due sistemi di riferimento?

1 1

cos sin

x y

V V

V V

a a

é ù é ù

ê ú = ê ú

ê ú ê ú

ê ú ê ú

ë û ë û

2

2 0

x y

V V

V

é ù é ù ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û

 Nota: Il vettore è lo stesso in assoluto, ma le componenti ovviamente no.

2 1 2 1

2 1 2 1

? ?

? ?

x x x x

y y y y

V V V V

V V V V

é ù é ù é é ù

ê ú

ê ú

ê

ù é ù

ê ú ¹ ê ú ê ú = ê ú

ê ú ê ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û ë ûúë û

c

c os

0

os

sin sin

sin cos 0

V V V

V

a a

a a

a a

é ù

ê ú

ê- ú

ê ú

ë û

é ù é ù é ù

ê ú = ê ú = ê ú

ê ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û

cos sin

, sin cos

y Ax A a a

a a

é ù

ê ú

= = êêë- úúû

1

det 1

cos sin

sin cos A

A a a

a a

-

=

é - ù

ê ú

= ê ú

ê ú

ë û

cos sin

sin cos

sin cos 0

V V

V

a a

a a

a a

é - ù

ê ú

ê ú

ê

é ù é ù

ê ú = ê ú

ê ú ê ú

ê ú ê ú

ë û ë úûë û

Concetto usato in problemi di guida e navigazione

(36)

Richiami

 Il concetto può essere esteso a matrici.

Definizione:Date due matrici quadrate A (n, n) e B (n, n), esiste una matrice quadrata T (n, n), non singolare tale che:

1 1

B =T AT-A =TBT- Tale trasformazione si dice Trasformazione di Similitudine

 Autovalori e Autovettori (

Altro caso di applicazione di

y = Ax)

Problema:Data una matrice quadrata

A

(nxn), determinare il valore dello scalare

λ

e

del vettore

v

, tale che valga la relazione:

( ) 0

Av = l vl I - A v =

 λ si dice autovalore di A

 v

si dice autovettore (destro) associato a λ

v λv

A

(37)

Richiami

Soluzione:Calcolo della soluzione

v

non banale del sistema omogeneo:

( l - I A v ) = 0

 La matrice (λ

I-A

) deve avere rango < n, ovvero il suo determinate deve essere uguale a 0.

1

1 1 0

det( l I - A ) = l I - A = D ( ) l = l

n

+ a

n-

l

n-

+ ..., a l + a = 0

• La soluzione fornisce n autovalori . l1,...,ln =

{ }

li

• Gli autovalori costituiscono un set di numeri autoconiugati (ovvero reali e complessi e coniugati)

• Gli autovalori possono essere quindi:

Reali e distinti (molteplicità algebrica = 1)

Reali e ripetuti m volte (molteplicità algebrica = m)

Coppie di numeri complessi e coniugati (magari con molteplicità ≠ 1)

(38)

Richiami

Esempi:

1 2

1 2

1 4

2, 3

A

l l

é ù

ê ú

= êêë- úúû

= =

1 2 3

2 0 0 0 4 0 0 0 6

2, 4, 6

A

l l l

é ù

ê ú

ê ú

= ê ú

ê ú

ê ú

ë û

= = =

1 2

1 2

1 1

1 2, 1 2

A

j j

l l

é- - ù

ê ú

= êêë - úúû

= - + = - -

1 2 3

0 1 0

0 0 1

8 12 6

2, 2, 2

A

l l l

é ù

ê ú

ê ú

= ê ú

ê - ú

ê ú

ë û

= = =

1 2 3

2 1 0

0 2 1

0 0 2

2, 2, 2

A

l l l

é- ù

ê ú

ê ú

= ê - ú

ê - ú

ê ú

ë û

= - = - = -

 Per ogni autovaloreλ, esiste un autovettore

v

(almeno uno)

 Gli autovettori costituiscono un set di vettori linearmente indipendenti

 Gli autovettori associati ad autovalori reali sono reali

 Gli autovettori associati ad autovalori complessi e coniugati sono anch’essi complessi e coniugati

(39)

Richiami

1

2

1 1 1

1 1 0 1

1 1 1

1 1 0 1

v v

v v

l l

é- - ù é ù

ê ú ê ú

 êêë- - úúû =  = êêë- úúû

é - ù é ù

ê ú ê ú

 êêë- úúû =  = ê úê úë û

2

1 2

2 1 2 1

( ) 4 3 0

1 2 1 2

1; 3

A I A l

l l l l

l

l l

é ù é - - ù

ê ú ê ú

= êêë úúû - = êêë - - úúû  D = - + =

= =

Esempi:

2

1,2

1 4 1 4

( ) 2 5 0

1 1 1 1

1 2

A I A

j

l l l l l

l l

é - ù é - ù

ê ú ê ú

= êêë úúû - = êêë - - úúû  D = - + =

= 

1

2

2 4 2

1 2 0

2 4 2

1 2 0

j v v

j j

j v v

j j

l l

é ù é ù

ê ú ê ú

 êêë- úúû =  = êêë- úúû

é- ù é ù

ê ú ê ú

 êêë - - úúû =  = ê úê úë û

 Per ogni autovalore di molteplicità algebrica uguale a 1 esiste un solo autovettore linearmente indipendente

 Gli autovettori complessi e coniugati sono linearmente indipendenti per definizione (essendo perpendicolari)

(40)

Richiami

Domanda: Cosa succede nel calcolo degli autovettori quando gli autovalori hanno molteplicità algebrica m > 1?

Definizione: (Molteplicità geometrica) Il numero di autovettori linearmente indipendenti

corrispondenti ad uno stesso autovalore si dice molteplicità geometrica ed è uguale a dim

N

(λ

I-A

)

2

1,2

1 0 1 0

( ) ( 1) 0; 1

2 1 2 1

A I A l

l l l l

l

é ù é - ù

ê ú ê ú

= êêë- úúû - = êêë - úúû  D = - = = Molteplicità algebrica = 2

0 0 0

2 0 v 0 v a 1

é ù é ù

ê ú =  = ê ú

ê ú ê ú

ê ú ê ú

ë û ë û

Molteplicità geometrica = 1. Un solo autovettore linearmente indipendente

2

1,2

1 0 1 0

( ) ( 1) 0; 1

0 1 0 1

A I A l

l l l l

l

é ù é - ù

ê ú ê ú

= êêë úúû - = êêë - úúû  D = - = =

Molteplicità algebrica = 2

1 1

0 0 0 1

0 ;

0 0 v v a 1 b 0

é ù é ù é ù

ê ú =  = ê ú = ê ú

ê ú ê ú ê ú

ê ú ê ú ê ú

ë û ë û ë û

Molteplicità geometrica = 2. Due autovettori linearmente indipendenti

(41)

Richiami

 Nota: Quando Molteplicità algebrica ≠ Molteplicità geometrica, gli autovettori mancanti sono detti autovettori generalizzati e sono calcolati mediante la formula ricorsiva

Molteplicità algebrica = 3

Molteplicità geometrica = 1

(42)

Richiami

 Trasformazione Modale: Una particolare trasformazione di

similitudine (

A <-> B

) dove la matrice di similitudine è formata dagli autovettori della matrice di partenza. Le due matrici sono dette

«simili»

1 1

B =T AT-A =TBT-

 Proprietà:

Proprietà commutativa e transitiva

det(A) = det(B)

Rango(A) = Rango(B)

Traccia(A) = Traccia(B)

AT= BT

A-1= B-1

eig(A) = eig(B)

..

 Caso 1: Gli autovalori di A sono distinti

1 1

,..., ,...,

n n n

n

A v v

l l

´

 í ìïï

ïïî M é ê ë v

1

... v

n

ù ú û

1

1

0 .. 0

0 .. ..

.. .. 0

0 .. 0 n

M AM l

l

-

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

L = ê ú =

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

A= M ML -1

 In generale, una matrice è diagonalizzabile, mediante trasformazione di similitudine, se la molteplicità algebrica e geometrica sono le stesse.

(43)

Richiami

1 1

J = P AP-A = PJP-

 Caso 2: Gli autovalori di A sono ripetuti

 Teorema: una matrice quadrata

A

avente un autovalore λicon molteplicità algebrica r, può essere trasformata in similitudine in una forma quasi diagonale detta forma di Jordan

J

.

J

ha l’autovalore sulla diagonale principale ed unità (1) sulla diagonale superiore, in numero pari alla differenza tra molteplicità algebrica e geometrica. La matrice modale di trasformazione

P

contiene gli autovettori ed eventuali autovettori generalizzati.

Esempi:

(44)

Richiami

1 4 2 2

( , ) 1 2 , ;1 2 ,

1 1

A v j j

j j

é - ù l é ù é ù

ê ú ê ú ê ú

= êêë úúû  = + êêë- úúû - ê úê úë û

2 2 1 .5 / 2

, .5 / 2

M M j

j j j

é ù - é ù

ê ú ê ú

= êêë- úúû = êêë - úúû

.5 / 2 1 4 2 2 1 2 0

.5 / 2 1 1 0 1 2

j j

J j j j j

é ù é - ù é ù é + ù

ê ú ê ú ê ú ê ú

= êêë - ú êú êû ë⋅ ú êú êû ë⋅ - úúû = êêë - úúû

• Un’alternativa per avere una matrice reale e non complessa è quella di costruire la matrice di similitudine con la parte real e la parte immaginaria di uno degli autovettori complessi:

1 1

1

1 1 1 1 1

1 1

Re( ) Im( ) ;

M v v M AM s w j

l s w

w s

- é ù

é ù ê ú

= êë úû  = êêë- úúû = +

2 0 1 .5 0 .5 0 1 4 2 0 1 2

0 1 , 0 1 0 1 1 1 0 1 2 1

M = éêêêë - ùúúúû M- = éêêêë - ùúúúû  éêêêë - ù éú êú êú êû ë⋅ - ù éú êú êú êû ë⋅ - ùúúúû = éêêêë- ùúúúû

(45)

Richiami

• Data una matrice A (3x3) con autovalori: -2, -2, -2, si hanno le seguenti possibilità:

• La differenza nelle dimensioni della base di

N(λI-A)

.

 Numeri Complessi

2

tan 1

v j

v q

a b a b q b

a

-

= +

ìï = +

ïïïíï = ïïïî

cos sin

(cos sin v

v

v v j

a q

b q

q q

=

=

= +

v = P - O

(46)

Richiami

• Esponenziale Complesso Prodotto

Divisione

(47)

Richiami

• Somma di Esponenziali Complessi

(48)

Richiami

 Equazioni Differenziali Lineari a Coefficenti Costanti

Nota: Strumento di base nello studio di processi e sistemi di controllo a livello di base e nella loro formulazione matematica.

 Equazioni del primo ordine

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( )

dx t x t ax t bu t x tdt x

ìïï = = +

ïïíïï = ïïî

x t( )

x0

( ) u t

(49)

Richiami

( ) 2 ( ) 6 ( ) (0) 1; ( ) 1 x t x t u t

x u t

= - +

= =

2( )

0 2( )

2 2 2

0

( ) (0) 6 ( )

6 3 3

2

t

at t

t t

t t t

x t e x e u d

e e e e

t

t

- - t t

- -

- - -

= +

é ù

ê ú

= + ê ú = + -

ë û

ò

( ) 2 2t 3 x t = - e- + Commento: La soluzione consiste SEMPRE di due parti.

( 0) ( )

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

a t t a t b

h p

t

x t = e

-

x t + ò e

-t

u t t d = x t + x t

( ) 2t; ( )

h p

x t =ce- x t =k

2 2

0 2 6 3

2 2 6 6 0 0

2 0 3 1 2

t t

k k

ce ce

ce c

- -

= - +  =

- = - - +  =

- ⋅ + =  = - ( ) 2 2t 3

x t = - e- +

(50)

Richiami

 Equazioni del secondo ordine

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ,

x t ax t bx t u t x x

+ + =

 

( ) ( )

h p

x t + x t

 Calcolo Soluzione Equazione Omogenea

La soluzione generale dell’equazione omogenea è di tipo esponenziale:

( )

t

x t

h

= ce

l

+ + =

 

0

0

( ) ( ) ( ) 0

,

x t ax t bx t x x

l l

l

+ + = + + =

  (

2

)

t

0

x ax bx a b e

l l l

l + + =  í ìïï

ïïî

2 1

2

( a b ) 0

Vi sono 2 soluzioni

(51)

Richiami

1 2

1 1

1 2

1 2

( ) ( )

1 2 1 2

( )

sin( )

t t

t t

h

j t j t t

c e c e x t c e c te

c e c e c e t c

l l

l l

a+ b a- b a

b

ìï + ïï ïï

= íï +

ïï + = +

ïïî

• 2

soluzioni reali e distinte

• 2 soluzioni reali e coincidenti

• 2 soluzioni complesse e coniugate

1 1 2 2

( )

h

( )

h

( )

p

( ) x t = c x t + c x t + x t

 Calcolo Soluzione Equazione Non Omogenea

( ) 2 ( ) ( ) 2 x t  + x t  + x t =

2

1 2

2 1 0 1

l + l + =  l = l = -

1 2

( )

t t

x t = c e

-

+ c te

-

+ k ( ) 3 ( ) 10 ( ) 1

x t  + x t  - x t =

2

1 2

3 10 0

5, 2

l l

l l

+ - =

= - =

5 2

1 2

( )

t t

x t = c e

-

+ c e + k

(52)

Richiami

2

1 0 1,2 j

l + =  l = 

( ) ( )

3t

x t  + x t = e

-

( ) ( ) 3

( ) ( )

j t

( )

j t t

x t = d + j e g

a+ b

+ d - j e g

a- b

+ ke

-

( )

t

[

j t j t

] [

j t j t

]

3t

x t = d e e

a b

+ e

- b

+ j e g

b

- e

- b

+ ke

-

3

0; 1

( ) 2 cos 2 sin

t

x t t t ke

a b

d g

-

= =

= + +

 Equazioni di ordine superiore

Nota: Ogni radice ripetuta m volte fornisce m termini esponenziali

(53)

Richiami

 Rappresentazione mediante Variabili di Stato

 Proprietà: Un’equazione differenziale di ordine n (lineare o nonlineare) può essere sempre trasformata in un sistema equivalente di equazioni differenziali del primo ordine

1

1 , 2 , 3 ,... 1

n

n n

d y

x y x y x y x

dt

-

= =  =  = - 1 2, 2 3,...

n

n n

x y x x y x x d y

= = = = = dt

    

Î Â

=[ , , ,... ]1 2 3

n

T n

x

x x x x x x t( )= A x tnxn ( )+B u tnx1 ( )

-

- -

+ + + =

1

1 1 ... 0

n n

n n n

d y d y

a a y u

dt dt

(54)

Richiami

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t y t Cx t

= +

=

 La forma generale comprende anche l’equazione dell’uscita (algebrica) che vale, dall’esempio precedente,

 Calcolo della soluzione: per trovare

y(t)

dobbiamo prima calcolare

x(t).

Estensione del caso scalare:

( )

u t y t( )

0

0 0

0

( ) ( )

0

( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

t

A t t A t

h p

t t

A t t A t

h p

t

x t e x e Bu d x t x t

y t Ce x C e Bu d y t y t

t

t

t t t t

- -

- -

ìïï ï = + = +

ïï ïí

ïï ï = + = +

ïï ïî

ò ò

 Matrice di Transizione

( 0) A t t

e

-

(55)

Richiami

+ + - =

 6  2  4

y y y y u

 Esempio

l

l l l l

l

ìï = - ïï ï

+ + - =  íï ï ïïî = - =

1

3 2

2 3

5.55

6 2 4 0 1.135

0.64

- -

=

1 5.55

+

2 1.135

+

3 0.64

+

( )

t t t p

( )

y t c e c e c e y t

1

2

3

x = y x = yx = y 

=

=

= = - - + = - - +

   

1 2

2 3

3

4 2 6 4

1

2

2

6

3

x x

x x

x y y y y u x x x u

é ù é ù

ê ú ê ú

ê ú ê ú

= ê ú = ê ú

ê - - ú ê ú

ê ú ê ú

ë û ë û

0 1 0 0

0 0 1 ; 0

4 2 6 1

A B x t ( ) = Ax t ( ) + Bu t ( )

(56)

Richiami

 Calcolo della matrice di transizione

0 1 0

0 0 1 ; ?

4 2 6

A e

At

é ù

ê ú

ê ú

= ê ú =

ê - - ú

ê ú

ë û

 Metodo 1: Trasformata di Laplace

( )

0

( )

x  = Axsx s - x = Ax s x t ( ) = L

-1

{ é ê ë sI - A ù ú û

-1

} x

0

= e x

At 0

{

1

}

1

eAt =

L

- éêësI -Aùúû-

 Metodo 2: Serie di Potenze

2 3

2 3

2! 3! !

k

At

t t

k

t

e I At A A A

= + + + +  + k + 

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