CONDOTTA AUTOMATICA DI IMPIANTI NAVALI
Anno Accademico 2020 – 2021
Genio Navale, 1
aClasse Applicativo Accademia Navale, Livorno
Docente: Prof. Mario Innocenti Università di Pisa
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Sezione Automatica
Largo Lucio Lazzarino, 56122 Pisa Tel.: 050 2217319
Email: mario.innocenti@unipi.it Sito per materiale didattico:
CONTROLLI AUTOMATICI
https://people.unipi.it/mario_innocenti/
Introduzione
Presentazione del Corso: Obiettivi formativi, Prerequisiti
Modalità di Esame
Programma del Corso
Richiami
Presentazione del Corso
Obiettivi Formativi
• Fornire gli strumenti analitici di base per l’analisi di sistema ed il controllo automatico.
• Familiarizzare lo studente con gli strumenti di simulazione relativi al corso.
• Acquisire la cognizione di interdisciplinarietà degli strumenti analitici.
• Applicazione delle tecniche studiate ad un problema
specifico inerente al corso di studi.
Presentazione del Corso
Modalità di Esame
• compitino durante il corso
• Esame finale
Testi di e materiale di riferimento
• ‘’Fondamenti di Controlli Automatici’’, Bolzern, Mc Graw Hill Italia, terza edizione, 2008.
• «The Art of Control Engineering», Dutton, Addison Wesley.
• Accesso a Matlab o software simile (SCILAB)
• Appunti di Fondamenti di Automatica dal sito del docente:
http://www.dsea.unipi.it/Members/innocentiwhttp://gen.lib.rus.ec/
Programma
Concetti Generali
• Problema del Controllo
• Cenni Storici, Esempi
• Strumenti Matematici, Richiami
• Definizioni principali
Modellistica
• Trasformata di Laplace e Funzione di Trasferimento
• Diagrammi a Blocchi
• Strutture dei Sistemi di Controllo
• Esempi fisici
Analisi 1, 2
• Stabilità
• Risposta temporale e Requisiti in transitorio e a Regime
• Risposta in Frequenza
• Luogo delle Radici
• Criterio di Nyquist
Programma
Sintesi 1
• Struttura Generale del Controllore e Requisiti
• Controllori Standard
• Sintesi con il Luogo delle Radici
• Sintesi in Frequenza
• Casi Particolari
Sintesi 2
• Esempi di Progettazione
• Case Study relativo al Corso
Concetti Generali
• Problema del Controllo
• Cenni Storici, Esempi
• Strumenti Matematici, Richiami
• Definizioni principali
Brian Douglas Control Systems Introduction You Tube
Problema del Controllo
Definizione generale: Il problema del controllo riguarda un intervento, su un processo naturale od artificiale, in modo che il suo comportamento sia conforme alle aspettative, oppure sia migliorato rispetto ai requisiti originali.
Azione di Controllo: Il controllo provvede ad alterare il comportamento del processo mediante un’azione di informazione sul suo stato, un’azione di decisione sulla evoluzione desiderata ed un’azione di intervento sullo stato attuale del processo stesso, tutto svolto parzialmente e/o completamente in modo automatico.
Feedback/Retroazione: è il meccanismo primario di intervento ed una procedura essenziale nei sistemi biologici, fisici, naturali ed artificiali. Il processo di retroazione gestisce come si cresce, come si risponde allo stress ed alle difficoltà e regola fattori quali la temperatura corporea, la pressione sanguigna, il livello di colesterolo. I meccanismi di feedback operano a tutti i livelli, dall’interazione delle proteine nelle cellule, ai macrosistemi ambientali complessi.
Feedback è una procedura fondamentale tutte le volte che macchinari, processi industriali, sistemi informatici complessi e distribuiti devono operare mantenendo dei requisiti di
precisione, caratteristiche operative e stato nominale i quali possono variare a causa di fattori esterni, guasti, variazioni ambientali, ecc.
INFORMAZIONE DECISIONE AZIONE
Problema del Controllo
Problema del Controllo
Esempio di feedback nella struttura di controllo
Problema del Controllo
Esempi di feedback nella struttura di controllo
Misura
Verifica Agisci
Paragona e Decidi
Problema del Controllo
B Douglas Open Loop vs Closed Loop
Cenni Storici
Uso di sistemi di controllo presso antichi greci e romani
Maggiore sviluppo a partire dalla rivoluzione industriale ( presenza di nuovi attuatori meccanici, regolatore di Watt circa 1769)
Amplificatore operazionale, Black 1927
Quando la velocità dell’albero aumenta, le sfere si spostano verso l’alto, chiudendo la valvola che porta il vapore dalla caldaia
Amplificazione per compensare l’attenuazione nelle linee telefoniche. Riduzione di rumore e disturbi associati con la necessaria
amplificazione del segnale
Cenni Storici
1950, Controllo testina di un disco rigido
1969, Lunar Excursion Module
La legge di controllo provvede a far inseguire la traccia e a
muovere la testina da una traccia all’altra
Controllo continuo dei razzetti di assetto per il mantenimento di una discesa verticale di
allunaggio
Esempi
Aerospazio, Sistemi di Trasporto, Comunicazioni ed Energia
.. Aerospace and transportation encompasses a collection of critically important application areas where control is a key enabling technology. These application areas represent a
significant part of the modern world's overall technological capability.
.
Esempi
..Robotics and intelligent machines refer to a collection of applications involving the development of machines with humanlike behavior. Future applications will involve both increased autonomy and increased interaction with humans and with society. Control is a central element in all of these applications and will be even more important as the next generation of intelligent machines is developed
Robotica
Esempi
Medicina, Biologia
..A major theme is the science of reverse (and eventually forward) engineering of biological control networks. A wide variety of biological phenomena provide a rich source of examples for control, including gene regulation and signal transduction; hormonal, immunological, and cardiovascular feedback mechanisms; muscular control and locomotion; active sensing, vision, and
proprioception; attention and consciousness; and population dynamics and epidemics
Esempi
Controllo non limitato a processi di basso livello
Esempi
Architettura Sistema di Posizionamento
Esempi
Integrated Automation, Power, Propulsion System
Esempi
Strumenti Matematici
Strumenti generali
Analisi matematica, calcolo integro-differenziale
Analisi di funzioni di variabile complessa
Teoria delle Matrici
Ottimizzazione
Geometria, Algebra lineare, Spazi vettoriali
Geometria differenziale
Strumenti specifici del corso
Equazioni differenziali lineari
Elementi di numeri complessi
Matrici
Elementi di algebra lineare
Richiami
Definizione: Si definisce sottospazio vettoriale W, un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V, per cui valgono le stesse operazioni dello spazio vettoriale:
3, 0 1
0
a a
v b w
c
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
= ê ú Î Â = ê ú Î Â
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
Esempio:
Definizione: Si definisce spazio vettoriale V, un set chiuso di elementi (vettori), per cui valgono le operazioni (assiomi):
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
1 2 3 1 2 3
1 1
, , ,
( ) ( )
0 0
v V v V v v V
v V v V v v v v
v V v V
v v v v v v
v v V
a a
Î Î + Î
Î Î + = +
Î Î Â Î
+ + = + +
$ \ + = Î
Richiami
Combinazione Lineare: Dato un set di
n
vettoriv
ied un set di scalari αi, i vettori si dicono linearmente indipendenti se e solo se:1 1v ... n nv 0 1 2 .. n 0
a + a = a = a = = a
Richiami
Dimensione di un (sotto)spazio vettoriale: La dimensione di un sottospazio vettoriale è data dal numero massimo di vettori linearmente indipendenti.
Il numero massimo di vettori linearmente indipendenti si dice BASEdel sottospazio.
Se n vettori costituiscono la base di un sottospazio, tutti gli altri vettori sono ottenibili come combinazione lineare degli elementi della base stessa.
1
,...,
n(
m)
v v = BASE Â " v
*Î Â
mv
*= a
1 1v + ... a
n nv
(
2)
Base in  Base in  (
3)
NOTA: i vettori appartenenti ad una BASE sono perpendicolari
Richiami
Matrici (2D): Un insieme di elementi dati dal prodotto esterno di due vettori
1 2
( ) ( 1) (1 )
A p q´ = v p´ ⋅v ´q
Definizioni
Matrice Trasposta: Data una matrice A (nxm), si dice trasposta la matrice AT ottenuta scambiando le righe con le colonne
Matrice Simmetrica/Antisimmetrica: Data una matrice A (nxm), si dice simmetrica (antisimmetrica) se vale: T
T
A A
A A
=
= -
Richiami
Inversa di una Matrice: Data una matrice A (nxn), si dice inversa di A una matrice A-1tale che:
Determinante: Data una matrice A (nxn), si dice determinante di A, uno scalare calcolato mediante una formula ricorsiva:
Definizione: Data una matrice A (nxn), si dice aggiunta di A, oppure matrice degli aggiunti:
{ }
'( ) ij ( 1)i j det( ji) Adj A = a = - + A
Richiami
6 1 1 4
A é ù AT
ê ú
= ê ú =
ê ú
ë û
Matrice Simmetrica 0 1
1 0
A é ù AT
ê ú
= êêë- úúû = -
Matrice Antisimmetrica
T T
T A A
S A A
= -
= +
T = Antisimmetrica S = Simmetrica
1 ( )
A 2 S T
= +
5 6 2 5 0 3
0 4 1 6 4 3
3 3 1 2 2 1
A AT
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
= ê ú = ê ú
ê - ú ê - ú
ê ú ê ú
ë û ë û
0 6 1 10 6 5
6 0 2 ; 6 8 4 1( )
1 2 0 5 4 2 2
T T
T A A S A A S T
é - ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
= - = -ê - ú = + = ê ú +
ê ú ê - ú
ê ú ê ú
ë û ë û
1 0 2
4 1 4 ; det( ) 7
2 2 1
A A
é ù
ê ú
ê ú
= ê - ú =
ê ú
ê ú
ë û
1
5 2 2 1 0 2 1 0 0
( ) 1
4 3 4 4 1 4 0 1 0
det( ) 7
6 1 1 2 2 1 0 0 1
adj A
A A
A
-
é- ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
= = ê - ú ê - ú = ê ú
ê - - ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
5 2 2
( ) 4 3 4
6 1 1
adj A
é- ù
ê ú
ê ú
= ê - ú
ê - - ú
ê ú
ë û
Richiami
Definizione: Data una matrice A (nxm), si dice Rango di A, il numero di righe (colonne) linearmente indipendenti
Nota: Data una matrice quadrata A (nxn), la sua inversa esiste SE E SOLO SE il Rango è massimo (=n), ovvero se il determinante è diverso da 0.
Una matrice A può essere pensata come un elemento di trasmissione di segnale x in y, la trasmissione di segnale è lineare ed algebrica
( , )
A m n
y = Axx
Richiami
Problema: Siamo interessati alla relazione tra i sottospazi vettoriali indotti dalla matrice A e la soluzione del sistema algebrico:
1 1
m m n n
y
´= A
´x
´11 1
1
1
..
.. .. ..
, .., .. .. ..
..
n
n
m mn
a a
A a a
a a
é ù
ê ú
ê ú
ê ú é ù
= ê ê ú ú = ê ë ú û
ê ú
ê ú
ë û
1 1 2 2
...
n ny = a x + a x + + a x
Quindi il vettore y è una combinazione lineare delle colonne di A
Definizione: Il sottospazio formato dalle colonne di A si dice Spazio Immagine (Range space) =
R
(A). Essendo n la dimensione delle colonne di A, lo Spazio Immagine è n-dimensionale Teorema:Il sistema non omogeneo ha soluzione (non banale) se e soltanto se y è una combinazione lineare di una base dello spazio immagine di A:( ) ( | )
Rank A = Rank A y
Richiami
A n m
Se il Rango è massimo ( = m), il sistema ha sempre soluzione, in quanto
y
è sempre combinazione lineare di m colonne di ASe il Rango è minore di m, il sistema ha soluzione se e solo se
y
è combinazione lineare di una base del sottospazio immagine di AMax Rank = m < n
A n
m
Max Rank = n < m
il Rango è r ≤ n . Il sistema ha soluzione
y
combinazione lineare di r colonne di A linearmente indipendenti (oppure di una sua base) Il vettorey
è costituito da una base che definisce un sottospazio di dimensioni pari al Rango della matrice AA n n
Il Rango è = n . Il sistema ha una sola soluzione
y
combinazione lineare delle n colonne di A. A è non singolare, A-1 esiste.Il Rango è r < n. La soluzione
y
è una combinazione lineare di una base delle colonne di A linearmente indipendenti e appartenenti ad un sottospazio di dimensioni rRichiami
Problema: Siamo interessati alla relazione tra i sottospazi vettoriali indotti dalla matrice A e la soluzione del sistema algebrico omogeneo:
1
0
m n n
A
´x
´=
Definizione: La soluzione del sistema
x
h omogeneo appartiene ad un sottospazio chiamato Nullo di A (Kernel) =N
(A). Il Nullo di A (mxn) ha dimensioni n.11 12 13
21 22 23
a a a 0
Ax x
a a a
é ù
ê ú
= ê ú⋅ =
ê ú
ë û
Rango(A): γ = 2
0 0 1 xh a
é ùê ú
= ê úê ú ê úê ú ë û
Rango(A): γ = 1
0 0
1 0
0 1
xh a b
é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú
= ê ú + ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û
11 12
21 22
31 32
0
a a
Ax a a x
a a
é ù
ê ú
ê ú
= ê ú⋅ =
ê ú
ê ú
ë û
Rango(A): γ = 2
x =h 0Rango(A): γ = 1
xh = ê ú ê úaé ùê ú01 ;aé ùê ú10ê ú ê ú ë û ë û
Richiami
1
0
n n n
A x
´ ´=
Nota: Relazione tra Rango γ, dimensione dello spazio immagine dim
R
(A) e dimensione dello spazio nullo dimN
(A). Consideriamo una matrice quadrata A (nxn), ma la relazione è valida anche per matrici rettangolari.• Rango(A) =
γ
= dimR
(A)• γ
+ dimN
(A) = n Se
γ
= n,N
(A) è un insieme vuoto quindi La matrice A è non singolare, ovvero det (A) ≠ 0.h 0 x =
Teorema: La soluzione del sistema
Ax = y
esiste se e solo sey
єR
(A) ed ha la forma:x = x
p+ x
h= x
p+ N
(A)La soluzione è unica se e solo se
N
(A) è vuoto (a parte il vettore nullo), ovveroγ
= n.2 0 1
0 3 x y xh xp xp A y-
é ù
ê ú = = + = =
ê ú
ê ú
ë û 1 2
0 0 1 0
0 0 x y xh xp xh x 0 x 1
é ù é ù é ù
ê ú = = + = = ê ú + ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
Richiami
A x
6 n´= y
6
x
ny
Î Â Î Â
Esempio: Moto di un corpo rigido nelle 3 dimensioni
x
jforze/coppie esterne applicate a n punti del corpoy
icomponenti forze/coppie totali sul corpo La matrice A definisce la geometria del corpo, posizione del centro di massa, punti di applicazione delle forze/coppie esterne
1 2 3 1 2 3
y
T= ê é ë F F F M M M ù ú û
La seconda riga di A
, a
2j, rappresenta la risultante F2dovuta a tutte le forze/coppie applicate La terza colonna di A,
a
i3, rappresenta il contributo totale in forza e coppia dovuto alla terza forza/coppia applicataRichiami
Matrici Simili – Trasformazione di Similitudine
Esempio: Dato uno stesso vettore V, esso può essere espresso in diversi sistemi di riferimento (per comodità di calcolo, per migliore comprensione fisica, ecc.)
α V y2
x2 y1
x1
Domanda: Come possiamo collegare le
componenti dello stesso vettore nei due sistemi di riferimento?
1 1
cos sin
x y
V V
V V
a a
é ù é ù
ê ú = ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
2
2 0
x y
V V
V
é ù é ù ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û
Nota: Il vettore è lo stesso in assoluto, ma le componenti ovviamente no.
2 1 2 1
2 1 2 1
? ?
? ?
x x x x
y y y y
V V V V
V V V V
é ù é ù é é ù
ê ú
ê ú
ê
ù é ù
ê ú ¹ ê ú ê ú = ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û ë ûúë û
c
c os
0
os
sin sin
sin cos 0
V V V
V
a a
a a
a a
é ù
ê ú
ê- ú
ê ú
ë û
é ù é ù é ù
ê ú = ê ú = ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
cos sin
, sin cos
y Ax A a a
a a
é ù
ê ú
= = êêë- úúû
1
det 1
cos sin
sin cos A
A a a
a a
-
=
é - ù
ê ú
= ê ú
ê ú
ë û
cos sin
sin cos
sin cos 0
V V
V
a a
a a
a a
é - ù
ê ú
ê ú
ê
é ù é ù
ê ú = ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë úûë û
Concetto usato in problemi di guida e navigazione
Richiami
Il concetto può essere esteso a matrici.
Definizione:Date due matrici quadrate A (n, n) e B (n, n), esiste una matrice quadrata T (n, n), non singolare tale che:
1 1
B =T AT- A =TBT- Tale trasformazione si dice Trasformazione di Similitudine
Autovalori e Autovettori (
Altro caso di applicazione diy = Ax)
Problema:Data una matrice quadrata
A
(nxn), determinare il valore dello scalareλ
edel vettore
v
, tale che valga la relazione:( ) 0
Av = l v l I - A v =
λ si dice autovalore di A
v
si dice autovettore (destro) associato a λv λv
A
Richiami
Soluzione:Calcolo della soluzione
v
non banale del sistema omogeneo:( l - I A v ) = 0
La matrice (λ
I-A
) deve avere rango < n, ovvero il suo determinate deve essere uguale a 0.1
1 1 0
det( l I - A ) = l I - A = D ( ) l = l
n+ a
n-l
n-+ ..., a l + a = 0
• La soluzione fornisce n autovalori . l1,...,ln =
{ }
li• Gli autovalori costituiscono un set di numeri autoconiugati (ovvero reali e complessi e coniugati)
• Gli autovalori possono essere quindi:
• Reali e distinti (molteplicità algebrica = 1)
• Reali e ripetuti m volte (molteplicità algebrica = m)
• Coppie di numeri complessi e coniugati (magari con molteplicità ≠ 1)
Richiami
Esempi:
1 2
1 2
1 4
2, 3
A
l l
é ù
ê ú
= êêë- úúû
= =
1 2 3
2 0 0 0 4 0 0 0 6
2, 4, 6
A
l l l
é ù
ê ú
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
= = =
1 2
1 2
1 1
1 2, 1 2
A
j j
l l
é- - ù
ê ú
= êêë - úúû
= - + = - -
1 2 3
0 1 0
0 0 1
8 12 6
2, 2, 2
A
l l l
é ù
ê ú
ê ú
= ê ú
ê - ú
ê ú
ë û
= = =
1 2 3
2 1 0
0 2 1
0 0 2
2, 2, 2
A
l l l
é- ù
ê ú
ê ú
= ê - ú
ê - ú
ê ú
ë û
= - = - = -
Per ogni autovaloreλ, esiste un autovettore
v
(almeno uno) Gli autovettori costituiscono un set di vettori linearmente indipendenti
Gli autovettori associati ad autovalori reali sono reali
Gli autovettori associati ad autovalori complessi e coniugati sono anch’essi complessi e coniugati
Richiami
1
2
1 1 1
1 1 0 1
1 1 1
1 1 0 1
v v
v v
l l
é- - ù é ù
ê ú ê ú
êêë- - úúû = = êêë- úúû
é - ù é ù
ê ú ê ú
êêë- úúû = = ê úê úë û
2
1 2
2 1 2 1
( ) 4 3 0
1 2 1 2
1; 3
A I A l
l l l l
l
l l
é ù é - - ù
ê ú ê ú
= êêë úúû - = êêë - - úúû D = - + =
= =
Esempi:
2
1,2
1 4 1 4
( ) 2 5 0
1 1 1 1
1 2
A I A
j
l l l l l
l l
é - ù é - ù
ê ú ê ú
= êêë úúû - = êêë - - úúû D = - + =
=
1
2
2 4 2
1 2 0
2 4 2
1 2 0
j v v
j j
j v v
j j
l l
é ù é ù
ê ú ê ú
êêë- úúû = = êêë- úúû
é- ù é ù
ê ú ê ú
êêë - - úúû = = ê úê úë û
Per ogni autovalore di molteplicità algebrica uguale a 1 esiste un solo autovettore linearmente indipendente
Gli autovettori complessi e coniugati sono linearmente indipendenti per definizione (essendo perpendicolari)
Richiami
Domanda: Cosa succede nel calcolo degli autovettori quando gli autovalori hanno molteplicità algebrica m > 1?
Definizione: (Molteplicità geometrica) Il numero di autovettori linearmente indipendenti
corrispondenti ad uno stesso autovalore si dice molteplicità geometrica ed è uguale a dim
N
(λI-A
)2
1,2
1 0 1 0
( ) ( 1) 0; 1
2 1 2 1
A I A l
l l l l
l
é ù é - ù
ê ú ê ú
= êêë- úúû - = êêë - úúû D = - = = Molteplicità algebrica = 2
0 0 0
2 0 v 0 v a 1
é ù é ù
ê ú = = ê ú
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
Molteplicità geometrica = 1. Un solo autovettore linearmente indipendente
2
1,2
1 0 1 0
( ) ( 1) 0; 1
0 1 0 1
A I A l
l l l l
l
é ù é - ù
ê ú ê ú
= êêë úúû - = êêë - úúû D = - = =
Molteplicità algebrica = 2
1 1
0 0 0 1
0 ;
0 0 v v a 1 b 0
é ù é ù é ù
ê ú = = ê ú = ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
Molteplicità geometrica = 2. Due autovettori linearmente indipendenti
Richiami
Nota: Quando Molteplicità algebrica ≠ Molteplicità geometrica, gli autovettori mancanti sono detti autovettori generalizzati e sono calcolati mediante la formula ricorsiva
Molteplicità algebrica = 3
Molteplicità geometrica = 1
Richiami
Trasformazione Modale: Una particolare trasformazione di
similitudine (
A <-> B
) dove la matrice di similitudine è formata dagli autovettori della matrice di partenza. Le due matrici sono dette«simili»
1 1
B =T AT- A =TBT-
Proprietà:
• Proprietà commutativa e transitiva
• det(A) = det(B)
• Rango(A) = Rango(B)
• Traccia(A) = Traccia(B)
• AT= BT
• A-1= B-1
• eig(A) = eig(B)
• ..
Caso 1: Gli autovalori di A sono distinti
1 1
,..., ,...,
n n n
n
A v v
l l
´
í ìïï
ïïî M é ê ë v
1... v
nù ú û
1
1
0 .. 0
0 .. ..
.. .. 0
0 .. 0 n
M AM l
l
-
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
L = ê ú =
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
A= M ML -1
In generale, una matrice è diagonalizzabile, mediante trasformazione di similitudine, se la molteplicità algebrica e geometrica sono le stesse.
Richiami
1 1
J = P AP- A = PJP-
Caso 2: Gli autovalori di A sono ripetuti
Teorema: una matrice quadrata
A
avente un autovalore λicon molteplicità algebrica r, può essere trasformata in similitudine in una forma quasi diagonale detta forma di JordanJ
.J
ha l’autovalore sulla diagonale principale ed unità (1) sulla diagonale superiore, in numero pari alla differenza tra molteplicità algebrica e geometrica. La matrice modale di trasformazioneP
contiene gli autovettori ed eventuali autovettori generalizzati.
Esempi:
Richiami
1 4 2 2
( , ) 1 2 , ;1 2 ,
1 1
A v j j
j j
é - ù l é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
= êêë úúû = + êêë- úúû - ê úê úë û
2 2 1 .5 / 2
, .5 / 2
M M j
j j j
é ù - é ù
ê ú ê ú
= êêë- úúû = êêë - úúû
.5 / 2 1 4 2 2 1 2 0
.5 / 2 1 1 0 1 2
j j
J j j j j
é ù é - ù é ù é + ù
ê ú ê ú ê ú ê ú
= êêë - ú êú êû ë⋅ ú êú êû ë⋅ - úúû = êêë - úúû
• Un’alternativa per avere una matrice reale e non complessa è quella di costruire la matrice di similitudine con la parte real e la parte immaginaria di uno degli autovettori complessi:
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
Re( ) Im( ) ;
M v v M AM s w j
l s w
w s
- é ù
é ù ê ú
= êë úû = êêë- úúû = +
2 0 1 .5 0 .5 0 1 4 2 0 1 2
0 1 , 0 1 0 1 1 1 0 1 2 1
M = éêêêë - ùúúúû M- = éêêêë - ùúúúû éêêêë - ù éú êú êú êû ë⋅ - ù éú êú êú êû ë⋅ - ùúúúû = éêêêë- ùúúúû
Richiami
• Data una matrice A (3x3) con autovalori: -2, -2, -2, si hanno le seguenti possibilità:
• La differenza nelle dimensioni della base di
N(λI-A)
. Numeri Complessi
2
tan 1
v j
v q
a b a b q b
a
-
= +
ìï = +
ïïïíï = ïïïî
cos sin
(cos sin v
v
v v j
a q
b q
q q
=
=
= +
v = P - O
Richiami
• Esponenziale Complesso Prodotto
Divisione
Richiami
• Somma di Esponenziali Complessi
Richiami
Equazioni Differenziali Lineari a Coefficenti Costanti
Nota: Strumento di base nello studio di processi e sistemi di controllo a livello di base e nella loro formulazione matematica.
Equazioni del primo ordine
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
dx t x t ax t bu t x tdt x
ìïï = = +
ïïíïï = ïïî
x t( )
x0
( ) u t
Richiami
( ) 2 ( ) 6 ( ) (0) 1; ( ) 1 x t x t u t
x u t
= - +
= =
2( )
0 2( )
2 2 2
0
( ) (0) 6 ( )
6 3 3
2
t
at t
t t
t t t
x t e x e u d
e e e e
t
t
- - t t
- -
- - -
= +
é ù
ê ú
= + ê ú = + -
ë û
ò
( ) 2 2t 3 x t = - e- + Commento: La soluzione consiste SEMPRE di due parti.
( 0) ( )
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
a t t a t b
h p
t
x t = e
-x t + ò e
-tu t t d = x t + x t
( ) 2t; ( )
h p
x t =ce- x t =k
2 2
0 2 6 3
2 2 6 6 0 0
2 0 3 1 2
t t
k k
ce ce
ce c
- -
= - + =
- = - - + =
- ⋅ + = = - ( ) 2 2t 3
x t = - e- +
Richiami
Equazioni del secondo ordine
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
x t ax t bx t u t x x
+ + =
( ) ( )
h p
x t + x t
Calcolo Soluzione Equazione Omogenea
La soluzione generale dell’equazione omogenea è di tipo esponenziale:
( )
tx t
h= ce
l+ + =
0
0( ) ( ) ( ) 0
,
x t ax t bx t x x
l l
l+ + = + + =
(
2)
t0
x ax bx a b e
l l l
l + + = í ìïï
ïïî
2 1
2
( a b ) 0
Vi sono 2 soluzioniRichiami
1 2
1 1
1 2
1 2
( ) ( )
1 2 1 2
( )
sin( )
t t
t t
h
j t j t t
c e c e x t c e c te
c e c e c e t c
l l
l l
a+ b a- b a
b
ìï + ïï ïï
= íï +
ïï + = +
ïïî
• 2
soluzioni reali e distinte• 2 soluzioni reali e coincidenti
• 2 soluzioni complesse e coniugate
1 1 2 2
( )
h( )
h( )
p( ) x t = c x t + c x t + x t
Calcolo Soluzione Equazione Non Omogenea
( ) 2 ( ) ( ) 2 x t + x t + x t =
2
1 2
2 1 0 1
l + l + = l = l = -
1 2
( )
t tx t = c e
-+ c te
-+ k ( ) 3 ( ) 10 ( ) 1
x t + x t - x t =
2
1 2
3 10 0
5, 2
l l
l l
+ - =
= - =
5 2
1 2
( )
t tx t = c e
-+ c e + k
Richiami
2
1 0 1,2 j
l + = l =
( ) ( )
3tx t + x t = e
-( ) ( ) 3
( ) ( )
j t( )
j t tx t = d + j e g
a+ b+ d - j e g
a- b+ ke
-( )
t[
j t j t] [
j t j t]
3tx t = d e e
a b+ e
- b+ j e g
b- e
- b+ ke
-3
0; 1
( ) 2 cos 2 sin
tx t t t ke
a b
d g
-= =
= + +
Equazioni di ordine superiore
Nota: Ogni radice ripetuta m volte fornisce m termini esponenziali
Richiami
Rappresentazione mediante Variabili di Stato
Proprietà: Un’equazione differenziale di ordine n (lineare o nonlineare) può essere sempre trasformata in un sistema equivalente di equazioni differenziali del primo ordine
1
1 , 2 , 3 ,... 1
n
n n
d y
x y x y x y x
dt
-
= = = = - 1 2, 2 3,...
n
n n
x y x x y x x d y
= = = = = dt
Î Â
=[ , , ,... ]1 2 3
n
T n
x
x x x x x x t( )= A x tnxn ( )+B u tnx1 ( )
-
- -
+ + + =
1
1 1 ... 0
n n
n n n
d y d y
a a y u
dt dt
Richiami
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x t Ax t Bu t y t Cx t
= +
=
La forma generale comprende anche l’equazione dell’uscita (algebrica) che vale, dall’esempio precedente,
Calcolo della soluzione: per trovare
y(t)
dobbiamo prima calcolarex(t).
Estensione del caso scalare:
( )
u t y t( )
0
0 0
0
( ) ( )
0
( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
A t t A t
h p
t t
A t t A t
h p
t
x t e x e Bu d x t x t
y t Ce x C e Bu d y t y t
t
t
t t t t
- -
- -
ìïï ï = + = +
ïï ïí
ïï ï = + = +
ïï ïî
ò ò
Matrice di Transizione
( 0) A t t
e
-Richiami
+ + - =
6 2 4
y y y y u
Esempio
l
l l l l
l
ìï = - ïï ï
+ + - = íï ï ïïî = - =
1
3 2
2 3
5.55
6 2 4 0 1.135
0.64
- -
=
1 5.55+
2 1.135+
3 0.64+
( )
t t t p( )
y t c e c e c e y t
1
2
3
x = y x = y x = y
=
=
= = - - + = - - +
1 2
2 3
3
4 2 6 4
12
26
3x x
x x
x y y y y u x x x u
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú
= ê ú = ê ú
ê - - ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
0 1 0 0
0 0 1 ; 0
4 2 6 1
A B x t ( ) = Ax t ( ) + Bu t ( )
Richiami
Calcolo della matrice di transizione
0 1 0
0 0 1 ; ?
4 2 6
A e
Até ù
ê ú
ê ú
= ê ú =
ê - - ú
ê ú
ë û
Metodo 1: Trasformata di Laplace
( )
0( )
x = Ax sx s - x = Ax s x t ( ) = L
-1{ é ê ë sI - A ù ú û-1} x0 = e x
At 0
= e x
At 0{
1}
1
eAt =
L
- éêësI -Aùúû- Metodo 2: Serie di Potenze
2 3
2 3
2! 3! !
k
At