Capitolo 2 FRANC: “FRacture ANalysis Code”

Capitolo 2

FRANC: “FRacture ANalysis Code”

2.1 Introduzione

Sono stati sviluppati tre diversi codici: 1. FRANC2D;

2. FRANC2D/L; 3. FRANC3D.

Franc2D e Franc2D/L sono utilizzati per l’analisi di strutture bidimensionali e Franc3D per l’analisi di strutture tridimensionali.

Franc2D/L è un codice derivato da Franc2D che consente l’analisi di strutture multilayers. L’interesse verso tali codici è dettato dalla possibilità di simulare la propagazione della cricca ed effettuare il “re-meshing” automatico della struttura.

Si riporta di seguito una breve descrizione dei diversi codici ponendo maggiore attenzione al codice Franc3D utilizzato per l’analisi del pannello irrigidito “DaToN”, descritto al capitolo 1.

Per acquisire più familiarità con il software Franc3D e per capire meglio gli effetti dei differenti parametri presenti nella valutazione dei coefficienti di concentrazione degli sforzi e successivamente nella previsione della vita a fatica, verranno effettuate delle analisi su geometrie semplificate.

2.2 FRANC2D

La geometria di una struttura bidimensionale viene realizzata con l’ausilio di un programma esterno CASCA, un generatore di mesh, mentre il materiale e le condizioni al contorno vengono assegnate all’interno del codice Franc2D [10].

Realizzata la geometria desiderata ed effettuata la mesh della struttura è possibile salvare un file .inp che costituisce l’input di Franc2D.

La schermata iniziale di Franc2D si presenta come quella riportata in figura 2.1 in cui viene visualizzata la geometria della struttura bidimensionale ed il menù dei comandi.

menù

Figura 2.1 - Schermata iniziale di Franc2D

L’accesso ai comandi è diretto: cliccando sulle finestre del menù vengono visualizzati nuovi sottomenù con tutti i comandi eseguibili.

Assegnato il materiale e definite le condizioni al contorno è possibile effettuare l’analisi. La visualizzazione dei risultati è mostrata in figura 2.2: nella finestra principale si ha la struttura bidimensionale con il campo di tensione o spostamento desiderato, nella finestra ausiliaria la scala dei valori.

finestra ausiliaria

Figura 2.2 - Visualizzazione dei risultati

Prima di effettuare una simulazione di propagazione è necessario introdurre nella struttura un difetto specificandone la posizione e la lunghezza iniziale (figura 2.3).

cricca

Figura 2.3 - Introduzione della cricca

La propagazione del difetto procede per step: per ogni lunghezza di cricca si effettua l’analisi in modo da valutare la direzione di propagazione, mentre il valore dell’estensione viene fissato dall’utente. Ad ogni step si ha il remeshing della struttura che può essere manuale o automatico. L’analisi termina quando si raggiunge il numero di step desiderato.

Al termine dell’analisi è possibile visualizzare la deformata e valutare il campo di tensione e deformazione, il fattore di intensificazione degli sforzi ed il numero di cicli a fatica corrispondente alla lunghezza di cricca raggiunta.

In figura 2.4 è mostrata la deformata della struttura al termine della propagazione (per evidenziare la presenza della cricca è stato introdotto un opportuno fattore di amplificazione).

I valori del fattore di intensificazione degli sforzi e dei cicli a fatica vengono graficati come riportato nelle figure seguenti.

Figura 2.4 - Deformata del modello con difetto

Figura 2.5b) - Cicli a fatica Figura 2.5a) - Fattore d’intensificazione

degli sforzi

Il numero di cicli viene valutato con il modello di Paris, (da/dN=c(∆K)m, in cui le costanti c e

2.3 FRANC2D/L

Il modo di procedere in Franc2D/L [11] è uguale a quello di Franc2D sopra descritto: i singoli layer vengono realizzati separatamente con il generatore di mesh CASCA, figure 2.6a) e 2.6b), e uniti con adesivo o rivetti all’interno del programma Franc2D/L a costituire la struttura bidimensionale multilayers da analizzare (figura 2.7).

Figura 2.6a) - Layer Figura 2.6b) - Patch

patch layer

2.4 FRANC3D

dice di calcolo per l’analisi di strutture tridimensionali.

3D: dopo aver

Seguendo lo schema di ase del processo.

Figura 2.8 - Processo di

Franc3D [12] è un co

Nella figura 2.8 è riportato lo schema del processo di simulazione in Franc

realizzato la geometria, fissato le condizioni al contorno ed effettuato la mesh della struttura, è possibile effettuare l’analisi anche in presenza di cricche.

Analysis file

Result file _FEM/BEM

analysis FRANC3D Mesh Introduce flaw Fracture analysis Life

prediction _{Crack propagation}

yes no

Existing flaw?

Boundary conditions Finite element model:

N OSM F tra n E slatio Manual input

Solid model _Boundary

representation file ANSYS PATRAN ASTRAN IDEAS BLADE-GT ABAQUS simulazione in Franc3D

2.4.1 Definizione della geometria

La geometria può essere realizzata con l’ausilio del programma OSM, “Object Solid iluppata all’interno di OSM, che

E traslation

trazione avviene automaticamente e può essere suddiviso in due fasi:

trovano

2) ro di facce, ottenuto dalla suddivisione in elementi, in un

D è necessario

te la struttura per poter

Figura 2.9 – Modello da esportare

Modeler” [13], o estratta da modelli agli elementi finiti 3D. È possibile importare tali modelli grazie ad una routine sv

converte automaticamente una 3D-FEM in una rappresentazione “boundary surface”: Franc3D utilizza un “boundary element system” per la descrizione della geometria del modello e quindi è necessaria una rappresentazione superficiale della struttura da analizzare. F

Il processo di es

1) vengono rimosse tutte le facce e le linee interne e mantenute solo quelle che si sulla superficie del modello;

viene ridotto il grande nume

numero minore che produca comunque una buona approssimazione della geometria. La seconda fase può essere suddivisa ulteriormente in tre step:

a) create a radial edge data base: per poter importare il modello in Franc3

che questo sia chiuso, che le normali alle facce siano tutte verso l’esterno e che non vi siano spigoli in cui convergono più di due facce (figura 2.9)

(in alcuni casi diventa necessario modificare manualmen soddisfare a tali requisiti);

b) define the Key geometry features: vengono individuati i punti e gli spigoli che sando un angolo di tolleranza: se

c) extracting the geometry oli vengono raggruppati a

definiscono il contorno della struttura (figura 2.10). Le “key geometry features” vengono individuate fis

l’angolo tra le normali di due facce adiacenti supera quello di tolleranza, lo spigolo compreso tra queste due facce è considerato come Key geometry features.

: le varie facce e i corrispettivi spig

formare facce e spigoli più grandi e il contorno della struttura viene definito dalle key geometry features (vedi figura 2.11 ).

Figura 2.11 - Geometria del modello Figura 2.10 - Key geometry features

Boundary representation file

Definita la geometria della struttura è possibile scrivere un file .dat che costituisce l’input di Franc3D e contiene tutte le informazioni necessarie per poter riprodurre la geometria del modello all’interno del codice.

Nell’appendice A è riportato un esempio di file .dat.

2.4.2 Definizione del modello

La schermata di Franc3D si presenta come quella riportata in figura 2.12 in cui è possibile distinguere:

• una main modelling window per visualizzare l’oggetto; • un main menù per l’

• un view specification panel per cambiare la visualizzazione dell’oggetto; eventuali errori e comandi.

I comandi sono organizzati sotto forma di menù: da ogni casella del menù principale si può accedere ad una serie di sottomenù che contengono tutti i comandi eseguibili [14].

Mentre la geometria viene realizzata con il modellatore esterno OSM ed importata in Franc3D, le proprietà del materiale, le condizioni al contorno e la mesh della struttura vengono assegnate direttamente all’interno del codice.

Figura 2.12 - Schermata iniziale di Franc3D

accesso ai comandi; • un text box per segnalare

main modelling window main menù text box view ecification panel sp

Condizioni al contorno

Le caratteristiche del materiale vengono assegnate dall’uten ad ogni proprietà il valore desiderato. I valori vengono inseriti all’interno di cui sono elencate le proprietà da definire (figura 2.13).

Il tipo ed il numero dei parametri dipende dal tipo di materiale scelto: elastico isotropo o, elastico ortotropo, plastico ortotropo.

endo a vertici, spigoli e facce uno e che possono avere una distribuzione uniforme o arbitraria. Per una

zata una “pseudo mesh” per la porzione di struttura a cui si spostamenti e trazioni

Figura 2.14 - Tabella “Condizioni al contorno”

te attribuendo tabelle in

, plastico isotrop

Le condizioni al contorno vengono definite attribu

Figura 2.13 - Tabella delle proprietà per un materiale elastico isotropo

spostamento o una trazion

distribuzione uniforme i valori di spostamento e/o trazione vengono inseriti all’interno di una tabella (figura 2.14), mentre per una distribuzione arbitraria deve essere definita una MRP “mesh representation”: viene realiz

vuole attribuire una particolare condizione al contorno e i valori di vengono attribuiti ai nodi della “pseudo mesh”.

Mesh

Prima di eseguire l’analisi è necessario realizzare la mesh della struttura.

In Franc3D è possibile realizzare sia mesh di superficie che di volume. Per la mesh di superficie si possono utilizzare elementi “quadrilateral” o “triangular”, mentre per quella di volume elementi “brick”, “wedge”, “pyramid” o “tetrahedral”; in entrambi i casi è possibile scegliere tra elementi lineari o quadratici.

2.4.3 Analisi

File d’analisi

In Franc3D è possibile scrivere ent”

che per “finite element”.

nalisi FEM/BEM

Scritto il file di input è possibile effettuare l’analisi o con programmi FEM (finite element modeler) o BEM (boundary elemnet modeler). In genere si esegue l’analisi con BES, “boundary element system”, un codice di calcolo implementato in Franc3D.

Risultati

Effettuata l’analisi è possibile valutare i valori di tensioni e deformazioni nell’intera struttura,

lungo una linea o in un 2.15 )).

file di input sia per programmi “boundary surface elem Per scrivere file di input per “boundary element system” è sufficiente realizzare una mesh di superficie, mentre per “finite element system” è necessario realizzare una mesh di volume. Nei file di input sono contenute tutte le informazioni relative alle proprietà del materiale, alla posizione dei nodi, al tipo di elementi e alle condizioni di vincolo imposte.

In appendice A è riportato a titolo d’esempio un file di input .bes per “boundary element system”.

A

2.4.4 Introduzione della cricca

Poiché nelle strutture reali le cricche possono avere forma e dimensioni arbitrarie è necessario ore in grado di modellare cricche di tipo e forma qualsiasi.

ficandone la forma, le dimensioni e la posizione in una tabella come quella riportata in figura 2.16, oppure realizzandone manualmente la geometria.

Figura 2.15a) – risultati nell’ intera struttura

Figura 2.15b) – risultati lungo una linea

Figura 2.15 c) – risultati in un punto Figura 2.15 - Visualizzazione dei risultati

un simulat

In Franc3D è possibile inserire cricche di forme e dimensioni arbitrarie ed è quindi possibile rendere il modello molto simile alla realtà. Le cricche vengono inserite o speci

dimensioni posizione forma

Nelle figure seguenti vengono riportate alcune delle tipologie di cricche più comuni realizzate

Dopo aver inserito la cricca è necessario realizzare di nuovo la mesh della struttura poiché la geometria viene modificata.

Mesh della struttura criccata

In presenza di un difetto nella struttura è opportuno suddividere la geometria in più parti: in

tal modo la parte di me u iciente realizzare

File d’ analisi e Analisi FEM/BEM d cata

Realizzata la mesh della struttu file di input per l’analisi e

in Franc3D: • corner crack; • internal crack; • through all crack.

sh lontano dalla cricca non viene modificata ed è s ff

una “nuova” mesh solo per la parte di struttura vicina alla cricca

(

)

Figura 2.17a) - “corner crack”

Figura 2.17b) - “internal crack”

Figura 2.17c) - “through all crack” Figura 2.17 - Tipologie di cricche

Figura 2.18a) - mesh in assenza di difetto

Figura 2.18b) - mesh in presenza di difetto

Figura 2.18 - Mesh della struttura

ella struttura cric

ra criccata è possibile scrivere il

di difetto.

In presenza di cricche è opportuno realizzare una mesh di superficie ed effettuare l’analisi con una mesh di volume richiede più tempo ed inoltre non è

ffettuata l’analisi è interessante visualizzare la struttura deformata: utilizzando un opportuno fattore di amplificazione è possibile osservare le superfici della cricca aperte sotto l’azione del carico (figura 2.19).

canica della frattura

figura 2.20a), 2.20b) e 2.20c)

)

sempre possibile in Franc3D in presenza di modelli più complessi.

Risultati E

2.4.5 Mec

Figura 2.19 – Deformata della struttura in presenza del difetto

Al termine dell’analisi è possibile valutare, oltre al campo di tensione e deformazione presenti nella struttura, i fattori di concentrazione degli sforzi KI, KII e KIII lungo il fronte della cricca

Figura 2.20a) - KI Figura 2.20b) - KII Figura 2.20c) - KIII Figura 2.20 - Valori del fattore di concentrazione degli sforzi

2.4.5.1 Valutazione dei fattori di concentrazione degli sforzi

In Fran3D i fattori di concentrazione degli sforzi sono calcolati utilizzando la tecnica degli spostamenti (“displacement correlation”). Gli spostamenti sulla superficie della cricca, apertura, scorrimento e taglio, sono direttamente legati ai tre fattori di concentrazione degli sforzi e sono ottenuti dall’interpolazione dei valori calcolati in diversi punti che si trovano ad una nota distanza dal fronte di cricca (figura 2.21).

In figura 2.22 sono evidenziati i punti, appartenenti alla superficie della cricca, in cui vengono valutati gli spostamenti per il calcolo del fattore di concentrazione di tensione.

Noti i valori dei coefficienti di concentrazione degli sforzi è possibile far propagare il difetto.

Figura 2.22 - Punti per la valutazione del coefficiente di concentrazione degli sforzi

2.4.6 Propagazione della cricca

2.4.6.1 Modello di simulazione per la propagazione

Per poter procedere nella propagazione della cricca ed ottenere la configurazione successiva è necessario ripetere tutti le fasi precedentemente descritte, partendo dalla realizzazione della mesh fino alla valutazione dei coefficienti di concentrazione degli sforzi.

La simulazione di “propagazione della cricca” è infatti un processo incrementale in cui una serie di step si ripetono in progressione: ogni incremento di simulazione è regolato dai risultati ottenuti precedentemente e rappresenta una nuova configurazione della cricca.

Ogni increm

¾ “representational database”;

¾ “new representational database.” Il “representational database

ento è suddiviso in quattro fasi a cui è associato un database: ¾ “stress analysis database”;

¾ “equilibrium database”;

”, indicato con Ri, contiene una descrizione della geometria del

modello, del difetto, delle condizioni al contorno e delle proprietà del materiale. Il representational database viene trasformato da un processo di discretizzazione, D, in uno

“stress analysis database”, Ai. Il processo di discretizzazione include una funzione di

meshatura M:

D(Ri, M(Ri)) Ai.

Lo “stress analysis database

⇒

”, Ai, contiene una completa ma approssimata descrizione della

struttura e costituisce l’input per una procedura di calcolo, S, che trasforma lo “stress analysis database” in un “equilibri

L’“equilibrium database

um database”, Ei.

”, Ei, definisce la soluzione di equilibrio. Tale soluzione d’equilibrio

mulazioni di propagazione della cricca, i valori dei fattori di concentrazione degli sfrozi e di e di cricca:

contiene il campo di variabili, le informazioni sullo stato del materiale e, nel caso di si

altri parameri di frattura, F, per il front

S(Ai)⇒ Ei, Fi.

Per mezzo di una funzione U, Ei insieme ad Ri vengono utilizzate per creare un “new representational database”, Ri+1.

determina la direzione e l’incremento della cricca:

U(Ei, Ri, C(Fi))⇒ Ri+1.

Que atizzata in figura 2.23, è ripetuta fino a raggiunge la

con i

sere realizzata o con una procedura manuale o utomatica.

ver selezionato in una tabella comandi il modello per la direzione di propagazione e per l’estensione della cricca (figura 2.24).

(

)

Ri

sta sequenza di operazioni, schem diz one desiderata.

La propagazione del fronte di cricca può es

Figura 2.23 - Schematizzazione del processo di propagazione

a

Propagazione manuale

Per individuare il nuovo fronte di cricca è necessario conoscere la direzione di propagazione e l’estensione.

In Franc3D è possibile far propagare la cricca dopo a

Scelti i modelli e fissati i valori dei parametri è possibile valutare i punti appartenenti al nuovo fronte e far propagare la cricca

Ai M C U S Ei Fi i+1

Figura 2.25a) - fronte di cricca Figura 2.25 b) - superficie di c icca r

Propagazione automatica

la mesh del modello, scrivere il file di input per l’analisi e lanciare to, comporta un notevole dispendio di tempo.

mero di crementi pari a quello imposto dall’utente.

Per effettuare una propagazione automatica è sufficiente settare alcuni parametri all’inizio della simulazione:

• il numero di incrementi;

• il numero di punti appartenenti alla superficie della cricca in cui deve essere valutato il coefficiente di concentrazione degli sforzi;

• il modello per la direzione di propagazione, il valore massimo dell’estensione, il tipo e il cricca e il fattore di “mesh refinement” per la superficie della cricca.

Il numero di incrementi viene inserito nella tabella di figura 2.26 mentre tutti gli altri parametri vengono settati rispettivamente nelle tabelle di figura 2.27a), 2.27b) e 2.27c), a cui si accede dalla tabella di figura 2.26.

Figura 2.25 - Propagazione del difetto

Realizzare “manualmente”

l’analisi, valutare i coefficienti di concentrazione degli sforzi e far propagare la cricca per ogni incremen

In Franc3D è possibile ridurre i tempi di analisi effettuando una “propagazione automatica”: tutte le fasi descritte precedentemente vengono svolte in automatico, per un nu

in

grado del polinomio con cui approssimare il fronte di cricca; • il numero degli elementi da inserire sul fronte della

La direzione di propagazione vi a

trattato com equazioni sono applicate ai piani

arametri per la propagazione automatica Figura 2.27a) - tabella “Stress intensity factor”

Figura 2.27b) - tabella “Propagations options”

Figura 2.27c) - tabella “Crack surface remeshing options” Figura 2.26 – Tabella“Automatic Crack propagation control parameters”

Figura 2.28 - Tabelle per selezionare i p

2.4.6.2 Valutazione della direzione di propagazione

ene valutata in punti discreti posti lungo il fronte della cricca us ndo l’equazioni standard della teoria bidimensionale: il problema tridimensionale viene

e una serie di problemi bidimensionali in cui le

passanti per i punti appartenenti al fronte di cricca e aventi per normale la tangente al fronte di cricca in quei punti (figura 2.29).

La direzione di propagazione può essere determinata usando una delle seguenti teorie [15]: • sigma theta max: il fronte propaga nella direzione della tensione normale massima; • energy release rate: il fronte propaga nella direzione in cui l’energia di rilascio è

massima;

• strain energy density: il fronte propaga nella direzione ia di deformazione è minima;

• planar: il fronte di cricca viene forzato a rimanere piano. 2.4.6.3 Valutazione dell’estensione

Il valore dell’estensione lungo il fronte della cricca è di solito basato su una semplice relazione tra il fattore d’intensificazione degli sforzi ed il valore dell’estensione massima fissata dall’utente.

Il valore dell’estensione per i punti lungo il fronte di cricca dipende dal modello scelto e dai valori dei parametri inseriti dall’utente, che variano a seconda del modello:

1.

in cui la densità di energ

b b

extension = max ext ×(KI ) / MAX(KI )

⇒

2. extension = a × ((K1 - c× KI ) / KI_{c max} - c× KI_c)b

⇒

3. extension = max ext × ( K_effb) / MAX(K_effb)

⇒

con

(

)

( ) ( )

2 2 2

K_eff = sqrt KI + F2 × KII + F3 × KIII

2 2

F2 = KI_c KII_c e F3 = KI_c KIII_c

.

Per la propagazione automatica è possibile adottare un unico modello la cui espressione è riportata di seguito:

b b

extension = max extension (KI /KI_max ) (2.1),

L’estensione sul fronte della cricca assume il valore massimo imposto dall’utente in corrispondenza del KImax e su tutti gli altri punti un valore che soddisfi la relazione (2.1): il

valore dell’estensione è quindi legato al rapporto tra il KI in quel punto ed il KI massimo, elevato a b, con b costante che dipende dal tipo di materiale.

2.4.7 Valutazione della vita a fatica

Al termine dell’analisi viene visualizzata la struttura nella configurazione finale, con la cricca propagata (figura

rtata la deformata della struttura (è stato utilizzando un opportuno fattore 2.30).

Figura 2.30 - Configurazione finale

In figura 2.31 è ripo

di amplificazione per evidenziare le superfici della cricca aperte sotto l’effetto del carico).

Al termine dell’analisi sono noti i valori dei fattori di concentrazione degli sforzi sul fronte della cricca per ogni incremento ed è quindi possibile trovare una relazione tra lunghezza della cricca e numeri di cicli applicati e fare una stima della vita a fatica della struttura.

I valori dei fattori di concentrazione degli sforzi vengono valutati lungo un path definito all’utente (figura 2.32) e graficati (figure 2.33).

Per fare una stima della vita a fatica della struttura è necessario impostare diversi parametri nella tabella comandi di figura 2.34.

d

Figura 2.33 - Valori del fattore di concentrazione degli sforzi Figura 2.32 - Path per la valutazione

del fattore di concentrazione degli sforzi

Figura 2.34 - Tabella “Fatigue life prediction” 3. SIF transfer function;

5. Retardation Model;

7. Loads Transfer Function;

4. Fatigue Growth Model;

6. Loads Model;

8. Inizial Flaw Size; 9. Thickness.

2. SIF History;

1. Units: si specifica l’unita di misura che il programma deve usare per valutare correttamente i coefficienti di concentrazione di tensione, i parametri nei modelli di accrescimento della cricca e il valore di cricca iniziale;

2. SIF History: si specifica il valore del coefficiente di concentrazione degli sforzi in funzione della lunghezza di cricca (la SIF History viene richiamata da un file o valutata dal modello attivo);

3. SIF Transfer Function: si possono impostare dei parametri per valutare il K effettivo: Keff=factor*Kfrom SIF History+offset

4. Fatigue Growth Model: si sceglie la relazione tra velocità di propagazione della cricca

da dN

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ e fattore di concentrazione di tensione (∆K); è possibile scegliere tra tre diversi modelli:

1. Paris;

2. Forman-Newman-de Koning; 3. funzione seniperbolica. Pe

manualmente dall’utente, mentre per il modello di Forman-Newman-de Koning è

5. Retardation Model: si può adottare il modello di ritardo di Willenborg; nel caso di carico ad ampiezza variabile è po conto di riduzioni nel valore del fattore di concentrazione di tensione dov e di zone plastiche all’apice della cricca al momento del sovraccaric

6. Loads Model: si specifica il tipo d applicare sia un carico

ad ampiezza costante che uno spettro di carico ad ampiezza variabile: nel primo caso è

sufficiente inserire il valore del entre nel secondo caso è

necessario richiamare da un file o di carico.

Per la realizzazione dello spettro cicli, gli eventi ed i

blocchi, nella tabella di figura 2.35.

r il modello di Paris e per la funzione seniperbolica le costanti vengono inserite possibile richiamarle automaticamente scegliendo il materiale dal database NASGRO introdotto in Franc3D.

ssibile tener ute alla formazion o;

i carico applicato; è possibile rapporto di carico R, m realizzare lo spettro

valore

8. Inizial Flaw Size: si precisa la lunghezza di cricca iniziale; cambiando tale valore è valutare l’effetto della dimensione iniziale del difetto;

9. Thi e valore è usato per determinare la tenacità del materiale che è funzione

dello sp della cricca.

Settati i cicli a in figur

Figura 2.36 - Cicli a fatica

Figura 2.35 -Tabella “Spettro di carico”

7. Loads Transfer Function: si possono introdurre dei parametri per valutare l’effettivo del carico; Seff=factor*Sfrom load model+offset

possibile

ckn ss: tale

essore della struttura all’apice

tutti i parametri presentati ai punti 1 – 9, è possibile avere una stima dei cicli a fatica: fatica vengono riportati in un grafico “cicli – lunghezza della cricca” come mostrato a 2.36.

2.5 Approccio a Franc3D

Per valutare l’attendibilità dei risultati ottenuti con Franc3D e stimarne le potenzialità, sono state effettuate delle simulazioni su una lastra piana criccata, su una barretta a sezione quadrata sollecitata a trazione e flessione pura e su un pannello irrigidito. Tramite tali analisi realizzate su geometrie semplificate si è cercato di stimare l’errore, valutare gli effetti del tipo di carico nella propagazione tridimensionale ed evidenziare eventuali limiti che si potrebbero incontrare analizzando strutture con geometrie più complesse.

2.5

È stata di simmetria. Per la

sim

È stato fatto propagare il difetto

(

)

Figura 2.38 - Valori del coefficiente di concentrazione degli sforzi per lastra piana Figura 2.38b) - valori di KI

.1 Analisi di una lastra piana criccata

analizzata una lastra piana con cricca passante posta sul piano

metria longitudinale del problema è stata analizzata soltanto metà struttura (figura 2.37).

Figura 2.38a) - propagazione del difetto

I valori del KI sono stati valutati sui punti del path evidenziato in figura 2.38a).

I valori del coefficiente di concentrazione deg

della mesh

na probabile influenza della densità di mesh è stata chiarita effettuando ulteriori analisi e cambiando il numero degli elementi sul fronte della cricca. Dal grafico di figura 2.40 si può osservare come realizzando una mesh più fitta si ottengono dei valori del fattore di concentrazione degli sforzi più vicini a quelli forniti dalla soluzione analitica. È chiaro però che bisogna trovare la giusta convergenza della mesh: bisogna tener presente che aumentando il numero degli elementi aumenta notevolmente il tempo di calcolo ed inoltre gli effetti della densità di mesh si riducono aumentando il numero degli elementi oltre un certo limite. Come si può osservare dal grafico di figura 2.40, passando da quattro ad otto elementi sul fronte

della attore di KI sono

minim

Figura 2.39 – Valutazione del coefficienti di concentrazione degli sforzi, KI

Analoghe analisi sono state effettuate con Franc2D, la versione di Franc per strutture bidimensionali, e con AFGROW, un codice che consente di effettuare la previsione di accrescimento della cricca per geometrie semplificate. I risultati ottenuti sono stati confrontati con la soluzione in forma chiusa esistente in letteratura e riportati in figura 2.39.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 200 300 400 600 700

li sforzi calcolati con Franc3D si discostano dalla soluzione analitica a differenza dei risultati ottenuti con gli altri codici.

2.5.1.1 Effetto U

cricca le differenze nella valutazione del f concentrazione degli sforzi e, al contrario del tempo di calcolo che aumenta notevolmente.

500 a (m m ) Franc2d Franc 3d (m esh 2*0.2) Afgrow Analytic K I (MP a/(mm)^0 .5 )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 150 200 250 300 350 400 450 700

Sebbene utilizzando un opportuna convergenza della mesh si riesca a rendere minima la differenza tra i valori del fattore di concentrazione degli sforzi ottenuti con Franc3D e quelli calcolati analiticamente, l’errore che si ottiene nella stima della vita a fatica risulta ben più grande (figura 2.41).

Figura 2.40 – Effetto del numero di elementi sulla valutazione del coefficiente di concentrazione degli sforzi

Nella valutazione della vita a fatica sarà quindi necessario considerare l’elevato margine d’errore. 500 550 600 650 KI (MP a a (m m ) n° 2 elem enti n° 4 elem enti n° 8 elem enti analityc /(mm)^0.5 ) 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 0 5 10 15 20 25 30 35 Afgrow

Franc3D (m esh n° 8 elem enti)

cicli a fatica

a (mm

Figura 2.41 – Cicli a fatica

2.5.1.2 Effetto dell’estensione

Un altro parametro di cui bisogna tener conto nella valutazione del fattore di concentrazione degli sforzi è il valore massimo dell’estensione: se il valore dell’estensione è troppo grande si ha un andamento oscillatorio del fattore di concentrazione degli sforzi (figura 2.42).

2.5.1.3 Conclusioni

In conclusione si può osservare che per ridurre l’errore ed avere dei risultati accettabili è necessario inserire sul fronte di cricca un numero di elementi maggiore di due ed impostare un valore dell’estensione tale da avere sulla superficie della cricca degli elementi regolari e di forma quadrata. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 KI (M Pa/ (mm )^0. 5) a (m m ) m ax extension 0.2 m m m ax extension 0.5m m m ax extension 1m m

Figura 2.42 – Effetto dell’estensione sulla valutazione del coefficiente di concentrazione degli sforzi

2.5.2 Analisi di una barretta sottoposta ad un carico di trazione e flessione

uenza del tipo di sollecitazione nella propagazione

È stato fatto propagare il difetto e sono stati valutati i valori del coefficiente di concentrazione degli sforzi lungo il fronte della cricca per diverse lunghezze di cricca.

Sono stati graficati i valori del rapporto KI/KI0 valutati lungo il fronte di cricca ed ottenuti a

diverse lunghezze (la distanza lungo il fronte di cricca va da 0 (“zero”) ad 1 (“uno”) e KI0

indica il valore del KI nel punto “zero”; il figura 2.44).

e si può osservare dalla figura 2.45, l’andamento del KI/KI0 ottenuto per la sollecitazione

uello ottenuto per la trazione e sembra rispecchiare andamento reale.

Per verificare l’effettiva infl

tridimensionale, una barra di sezione quadrata è stata sottoposta a trazione e flessione pura (figura 2.43).

punto “zero” ed il punto “uno” sono evidenziati in

punto zero” punto “uno”

Figura 2.44 – Definizione delle coordinate lungo il fronte di cricca Figura 2.43a) – trazione Figura 2.43b) – flessione pura

Figura 2.43 – Tipi di sollecitazione

Com

di flessione pura è diverso da q l’

2.5.3 Analisi di un pannello irrigidito

Poiché si sono incontrate delle difficoltà nella propagazione della cricca oltre gli spigoli, rima di passare alla realizzazione e all’analisi del pannello irrigidito “DaToN” sono state eseguite della simulazioni su pannelli irrigid on geometrie semplificate: è stato inserito un irrigidimento in una lastra di spessore costante (figura 2.46).

p iti integrali c 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.7 0.9 1.7 1.1 1.3 1.5 step1 /KI 0 K I

distanza lungo il fronte di cricca

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.7 0.9 1.1 1.7 trazione flessione pura 1.3 1.5 step2 KI/KI 0

distanza lungo il fronte di cricca trazione flessione pura 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 step3 KI/ K I 0 trazione flessione pura 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.7 1. 1.3 1.5 1.7

distanza lungo il fronte di cricca

0.9 1 KI/KI 0 nte di cricca trazione flessione pura step4

distanza lungo il fro

Figura 2.45 – Andamento del rapporto KI/KI0 per sollecitazione di

trazione e flessione pura a diverse lunghezze di cricca

Sono state analizzate due diverse configurazioni di cricche: “straight through crack” e “corner crack”

(

)

Per entrambe le configurazioni non si è riusciti a far propagare automaticamente la cricca oltre lo spigolo dello stringer

(

)

Anche con la propagazione manuale non si sono ottenuti risultati incoraggianti: la cricca si è fermata subito dopo lo spigolo dello stringer (figura 2.49).

Figura 2.47 – Configurazioni di cricche

Figura 2.47b) – corner crack

cricca

Figura 2.47a) – straight through crack

cricca

Figura 2.48 – Propagazione della cricche

In mer si con roup” del

dipartimento della Cornell U calcolo Franc3D e ci ha

suggerito di provare a risolvere il problema incontrato utilizzando la nuova versione di

Utilizzando la nuova versione di Franc3D si è riusciti a far propagare il fronte di cricca oltre l’irrigidimento ma soltanto utilizzando particolari valori di estensione (figura 2.50).

Si è deciso, quindi, di affrontare il problema nel momento in cui si presenta nell’analisi del pannello integrale “DaToN”.

ito al problema riscontrato, sono stati pre tatti con il “Cornell Fracture G niversity che ha sviluppato il codice di

Franc3D (v. 3.1) in cui è possibile introdurre manualmente spigoli e facce che definiscono la superficie della cricca.

Figura 2.47 – Propagazione cricca (v. 3.1) Figura 2.49 – Propagazione manuale

2.6 Conclusioni

Il codice di calcolo Franc3D, sebbene presenti alcuni limiti dovuti all’errore e alla difficoltà nel gestire la propagazione della cricca per particolari geometrie, offre uno strumento valido per l’analisi di strutture tridimensionale. A differenza di tutti gli altri codici di calcolo presenti nel mercato, permette di simulare una propagazione tridimensionale anche per geometrie più complesse. Intervenendo sui diversi parametri presenti, è possibile realizzare un modello che ben si avvicina a quello reale.

Nel capitolo successivo il codice di calcolo Franc3D verrà utilizzato per l’analisi del pannello “DaToN”.