A.1. Calcolo del coefficiente di attrito c Appendice A

Appendice A

112

Appendice A

A.1. Calcolo del coefficiente di attrito c

Occorre, adesso, inserire nell’equazione di equilibrio, un valore del coefficiente di attrito c che derivi direttamente dalle variabili di progetto.

Per procedere al calcolo del suo valore, è necessario tuttavia introdurre prima delle opportune ipotesi sulla natura del fluido utilizzato per la amplificazione idraulica e del suo moto, oltre che sulla geometria del meato:

a. Lo spessore del meato è molto piccolo nei confronti del raggio dell’utensile e, perciò, assolutamente trascurabile.

Questa prima ipotesi implica che l’influenza della curvatura delle superfici che delimitano il meato è del tutto trascurabile e che, quindi, dalla coppia rotoidale possiamo ricondurci alla trattazione delle due superfici piane lubrificate.

b. Il fluido lubrificante è incomprimibile.

c. La viscosità dell’acqua distillata è costante all’interno del meato.

Queste ipotesi di lavoro devono, poi, essere verificate nella loro validità mediante il calcolo del numero di Reynolds sviluppato nei prossimi passaggi:

38 . 315 10 9 . 8 998 1125 . 0 10 5 . 2 w D w D Re 3 ₄ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = µ δ ⋅ ⋅ = υ ⋅ = − ₋

Appendice A

113 dove:

D = diametro interno del meato = 2.5 mm = 2.5 · 10 - 3 m

w = velocità del fluido all’interno del meato:

(

_{2 t}

)

_{3 A cos}

(

_{2 t}

)

_{3 600.21} m_s cos A 2 2 3 w 2 3 w= ⋅ _interfaccia= ⋅ ⋅π⋅ν⋅ ⋅ ⋅π⋅ν⋅ = ⋅π⋅ν⋅ ⋅ ⋅π⋅ν⋅ = ⋅π⋅ ⋅ ⋅

Considerando così la wmax, dato che si è preso il massimo valore di cos (2·π·ν·t)

max [cos( 2·π·ν·t )] = 1 δ = spessore del meato = 0.25 mm

µ = viscosità dinamica del lubrificante = 8.9 · 10 - 4 Pa·s

Il moto laminare ha come limite superiore il valore del numero di Reynolds pari a 2 · 10 3_.

Dai calcoli condotti:

3.1538 · 10 2 < 2 · 10 3

Di conseguenza, si può affermare che il moto del lubrificante all’interno del meato è laminare e, quindi, le ipotesi di lavoro introdotte sono tutte verificate.

Il calcolo del coefficiente c sarà dato,dunque, dalla somma di due contributi già descritti: c = cv + cp

Si procede al calcolo del coefficiente viscoso cv. Dalle ipotesi sul fluido precedentemente introdotte

si può, allora, arrivare ad un modello di accoppiamento che prevede l’interfacciarsi di due superfici piane con l’interposizione del lubrificante. Sempre sfruttando le precedenti ipotesi semplificative si ottiene l’espressione delle forza di taglio che si scambiano i vari filetti fluidi tra di sé e con l’interfaccia rigida delle pareti:

Appendice A 114 t z ∂ ∂ ⋅ δ µ = τ

Queste τ agiscono sulla superficie cilindrica esterna del gambo dell’utensile che supponiamo di forma approssimativamente cilindrica, a meno di alcuni intagli apposti per aumentare la portata di lubrificante all’interno del meato.

La forza totale di attrito, in opposizione al moto, che agisce sul gambo è, dunque, data da:

t z l r 2 l r 2 S F ₁ ∂ ∂ ⋅ δ µ ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ = δ ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ τ = ⋅ τ =

Dunque il coefficiente di attrito viscoso cv è fornito da:

5 m v 1.77 10 l r 2 c = ⋅ − δ µ ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ =

dove l = lunghezza del meato = 8.05 · 10 - 3 m

rm = raggio medio del meato = 0.875 · 10 - 3 m

µ = viscosità dinamica del lubrificante = 8.9 · 10 - 4 _{Pa · s}

δ = spessore del meato = 2.5 · 10 - 4 m

Si esegue il calcolo nelle condizioni più gravose, in pratica con la lunghezza massima del meato. Adesso si dovrebbe procedere, invece, al calcolo dell’altro coefficiente viscoso, il termine cp che

deriva dall’effetto di pompaggio, ma dall’analisi sulle forze che agiscono sull’utensile si è potuto constatare che la forza dovuta a questo specifico fenomeno è di ben tre ordini di grandezza inferiore alle altre.

Di conseguenza, nel calcolo del coefficiente di attrito viscoso c si trascurerà l’effetto di cp:

Appendice A

115

A.2. Calcolo del valore della pressione p

Sostituendo, quindi, anche l’espressione della forza di attrito nell’equazione di equilibrio dinamico del gambo dell’utensile, all’interno del meato, si ottiene:

(

)

[

4 A sin2 t

]

c

[

2 A cos

(

2 t

)

]

m r p r p⋅π⋅ 2+ _a⋅π⋅ 2 = ⋅ − ⋅π2⋅ν2⋅ ⋅ ⋅π⋅ν⋅ + ⋅ ⋅π⋅ν⋅ ⋅ ⋅π⋅ν⋅

da cui ottengo l’espressione di p:

(

)

(

)

a 2 2 2 2 p r t 2 cos A 2 c r t 2 sin A 4 m p + ⋅ π ⋅ ν ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ν ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ν ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ν ⋅ π ⋅ − ⋅ =

Si sostituisce all’interno dell’espressione di p i seguenti valori: ν = frequenza di oscillazione = 60 hz

A = ampiezza di oscillazione = 10 - 4 m