Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2020/2021 Meccanica Razionale - Appello del 16/01/2021

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2020/2021

Meccanica Razionale - Appello del 16/01/2021

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 16 gennaio 2021

1. (Vettori e teoria del momenti) Calcolare l’invariante scalare del sistema di vettori applicati {(A, ui)}, i = 1, 2, 3, con A = (1, 1, 1) e

u₁ = ↵bi u₂ = bj u₃ = bk

I ⁼ Fico ₎ ne

È ^{= di} xp jay ^ti

rt _lol ⁼ (^{A-0 ) × ai +} (^A-a) ^×via ^e

c- (A-a) ^{x E}_, ⁼

= (^{a- a) × ( È età eù, = (A-al×È}

I ⁼ Filo₎ ^. È ^=o

2. (Lagrange) Un semicerchio di raggio R, massa M , centro C e diametro AB si muove nel piano verticale O(x, y) con l’estremo diametrale A fisso nell’origine, A ⌘ O e libero di ruotare attorno ad O. Un pendolo matematico di massa m e lunghezza l si muove nello stesso piano verticale O(x, y), sospeso nel centro del semicerchio C. Infine, una molla di costante elastica k > 0 collega il punto P con la sua proiezione ortogonale H sull’asse x.

O

P C

H R

y

✓ x

'

Utilizzando le coordinate lagrangiane ✓ e ' indicate in figura, scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema.

Indichiamo ^{con P. il centro di}

nome del semicerchio ^e _sia

D= IP^{. - CI}

- y

C

D= In ^{ffoydxdy -- [} [ tormentando^.

= Efod: farei

= f- ÷_, ^{R' =} II

È_÷ ^{.io .}

Po ^{- ( =D} firma ^- _puo)

Po -0 ^> Po ^- (⁺ _C- ^{o =}

=D (^{→ suo -} parola

arcano ^- piano⁾

2 ^' energia ^{cinetica del} semicerchio

è

In ⁼ È ^{Ù . E lo) . È =}

= tfòiit ^{io . f- è ìl =}

= È ^{I» (a) Ò'}

Is_, ^{(a) = I} »(^{cit - MI + M} (^{d'art =}

= Is, (c) ^{+MR' =} f- ^{Mrt MRE}

= Inti

Tn ⁼ È^MTE

Energie potenziali ^di semicerchio ^:

VI _Mg ^{4 . = - Mg (da darsena)}

Per ^il punto ^{P :}

P^{- o} =p^{-C + C-o =}

=L ( Irene ^-fu ^{e) artici -freno)}

Fp ⁼ _lui^(icon rene) ^-Ra'(^indagine)

Tp ⁼ tmvp ^{= In} { ^{l'citerò +}

+ 2 ilròci f- ^{corrente -}ma ^ora) }

Vp ⁼ rngyp ⁼ mg f- ^{luce- trend})

Per la molla ⁱ

V. ⁼ tutto^! the^{are +Ruoli}

Complessivamente ^:

F- Imitò ⁺In f ^{èciterò -}

- 2 lr di _calce ^{- o} il

V ^{= -} Mg(^{daex R uno}) ^-mg/l^coprono)

+ tzh ^{(loe arsene )'}

1-^{- T-V}

etc ^.

3. (Matrice d’inerzia) Nel sistema di riferimento O(x, y) indicato in figura, calcolare la ma- trice d’inerzia del corpo rigido costituito dal cerchio di centro l’origine, massa M e raggio R, e dai due cerchi di ugual massa m e ugual raggio r, tangenti all’asse x nei punti A e B, a distanza 2R dall’origine, e disposti su semipiani opposti come in figura.

x y

O A

M

B R

r

r m

m

Non si possono usare le formule notevoli dei momenti d’inerzia.

Cerchio _grandi ^:

In ^{= In =} ? ^{MR' I» =} { ^MR?

Cerchi piccoli ^{:( ciascuno )}

In ⁼ f-^{mia mi =} Imi

In ⁼ { ^{mrttm (art! m ( tre4} RY

Iss ⁼ furie ^4mi'

In ^{= mr} fer ) ^{= 2 mrr}

Totali : In ⁼ { ^{Mr: Emi}

In⁼ ferri ^ulteriori)

In^{= 8mrr}