Prova scritta di Analisi Matematica

(1)

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 A}

14/1/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione

1 ) ln

(  

x x x

f .

2. (tutti) Determinare l’area della porzione di piano delimitata dall’asse delle x con x

 

1,1 ,e dal grafico della funzione y xe^x

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9 ) Determinare l’unica soluzione del problema











1 ) 0 (

2 ²

y

xe xy

y ^x

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Studiare il carattere e, dove possibile, calcolare la somma della serie



^

 

0

sin

n

x n.

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di limite di funzione del

tipo f x l

x







)

lim

( . Calcolare il limite

x e

x x

x

x 







2 4

lim

^.

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Mac-Laurin di grado 3 che approssima la funzione

1 2

1 x y 

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 B}

14/1/2014

x x x

f( ) ln 2. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le due curve di equazione

2 3

e ,

ln  ²  

 x y x x

y x

 

1,2

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y4ye²^x.

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Studiare il carattere della seguente serie



^

1 2

cos

n n

nx

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Taylor di grado 3 che approssima in x=1, la funzione y ln



13x



6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Illustrare le forme indeterminate dei limiti e la regola di De l’Hopital. Calcolare il limite

 

^x

x

x x

1

0

cos

lim

_ sin ^



7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 C}

14/1/2014

(2)

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione f(x)sinxe^sin^x con



0,2





x .

2. (tutti) Calcolare l’integrale



¹ ^^_

0 1

2 dx

e e

x x

(Si consiglia la sostituzione e^x t)

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Determinare l’integrale generale e l’integrale singolare della seguente equazione differenziale yxylny1.



^

1 2

!

n n

n

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Mac-Laurin di grado 3 che approssima la funzione ysin(3x^₂)

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Utilizzando i limiti notevoli calcolare

il



^sin¹



^ln(¹ ² ⁾

3

lim

0 _e^x ^x _x

x_  

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 D}

14/1/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione f(x)cosxe^cos^x con



,



x .

2. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano nel primo quadrante compresa tra le due curve di equazioneyx e y  1x². (Si consiglia la sostituzione xsint)

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Utilizzando il metodo della variazione delle costanti risolvere la seguente equazione differenziale _x

e y x y

y ln

2  

 .

 



^







 

1

) 1 ( n

n

n e

e

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di funzione infinitesima per xx₀. Illustrare il principio di sostituzione degli infinitesimi e applicarlo per calcolare il

x x

x x tgx

x 



  arcsin

6 2

lim

0

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Data la funzione ^f⁽^x⁾^



^e^x^¹



²

scrivere l’equazione della parabola che la approssima nel punto di ascissa x=0.

7. (Facoltativo per tutti) Dimostrare che sin 1

lim

0



 x

x

Prova scritta di Analisi Matematica

1 E

(3)

14/1/2014

1 ) 1

( 

 _x^x  e x e

f

2. (tutti) Utilizzando il metodo di scomposizione in fratti semplici, calcolare l’integrale



_x²^x_^_x¹_₆^dx

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Illustrare il comportamento di una serie geometrica. Studiare il carattere della serie

_

^

 





0

2 1

n

x n

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Trovare l’integrale generale dell’equazione y4y5y x²

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Dire se è applicabile il Teorema di Rolle alla funzione f(x) xx² nell’intervallo [0,1] e in caso affermativo applicarlo.

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Calcolare il limite

) cos 1 (

lim

cos

0 x x

x e^x

x 



 

7. (Facoltativo per tutti) Definizione di funzione derivabile in un punto e classificare i vari tipi di punti di non derivabilità.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 F}

14/1/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione f(x)e^^x x1 2. (tutti) Calcolare l’area della parte di piano compresa tra y=arctg x e l’asse X, nell’intervallo

[0,1]

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Determinare l’unica soluzione del seguente problema











1 ) 1 (

2 3

y

x x y y

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Studiare il carattere della serie



^^

 











1 ²

3

sin1

n n

n

) sin 1 ln(

sin

2 2

lim

0 ^x _x

x 

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Enunciare il teorema di Weierstrass e trovare un intervallo dove sono verificate le ipotesi per la funzione .

ln ) 1

(x x

f  Calcolare il massimo e il minimo assoluti.

7. (Facoltativo per tutti) Definizione di funzione continua in un punto e classificazione dei vari tipi di discontinuità..

(4)

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 A}

28/1/2014

8. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione ) 1

(  

x x e f

x

.

9. (tutti) Determinare l’area della porzione di piano delimitata dall’asse delle x con x

 

1,1 ,e dal grafico della funzione y x x1











1 ) 0 (

) 1 (

3 ² ²

y

y x

y



^

 





0

1

n

x n.

3 2

lim

ln^x_x^x _x^x_x

x 







. 13. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Taylor di

grado 3 che approssima la funzione ysen2x

in x

14. (Facoltativo per tutti) Definizione di derivata prima di una funzione f(x) in un punto x e suo ₀ significato geometrico. Definizione di funzione continua in un punto x . Illustrare con degli ₀ esempi il legame tra la derivabilità e la continuità di una funzione f(x) in x .₀

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 B}

28/1/2014

8. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione f(x)ln(1xx²) 9. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le due parabole di equazione

2

e , 2

3 ²

2     

x x y x x

y

10. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Definizione di integrale generale per un’equazione differenziale del primo ordine. Risolvere il seguente problema











1 ) 0 (

) 1 )(

1

( ² ²

y

y x

y .

11. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Determinare l’intervallo di convergenza della seguente serie



^

1 2 n 2

n n x n

12. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Utilizzando i prodotti notevoli calcolare il limite

 

) 1 cos(

1

2 1

lim

_1 _^tg ^x_x^_ x

13. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di funzione derivabile in un punto e suo significato geometrico. Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico di

) cos(

)

(x  x² ²

f in x

14. (Facoltativo per tutti) Definizione di massimo e minimo relativo per una funzione f(x). Ricerca dei punti di massimo e minimo per f(x) in un intervallo [a,b].

(5)

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 C}

28/1/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione f x e^x

1

)

(  . 2. (tutti) Calcolare l’integrale



  

0

1

2 5 6

1 dx

x

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y3y2y1x².

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Studiare il carattere della seguente serie



^

1 2 n

n

n e

5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Mac- Laurin di grado 3 che approssima la funzione 



 



 

cos 4 2 x y

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di funzione infinitesima per xx₀ e loro confronto. Utilizzando il confronto calcolare

2 6

2 0

sin()

( 1)

l i m

^x

x

x x x

e x



 

 

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 D}

28/1/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione 



 





  ln 1 )

( x

x x

f

2. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le due curve di equazione

| | e 1 2

y x yx

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Risolvere la seguente equazione differenziale y2y2y x².

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9) Studiare il carattere della seguente serie

2

1 4

n

n n

 x





5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Utilizzando i limiti notevoli calcolare il

x x x

x 1 cos

sin ) 3 1

lim

ln(

0 





6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Data la funzione f(x)ln(1x²) scrivere l’equazione della parabola che la approssima nel punto di ascissa x=0.

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

(6)

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 A}

18/02/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione 1 ( ) 1 | | f x x

x

 

 . 2. (tutti) Determinare l’area della porzione di piano delimitata dall’asse delle x con x

 

1,1

e dal grafico della funzione yxe^3x²











1 ) 0 (

) 1 (

3 ² ²

y

y x

y

 

0

3 ⁿ

n

x







 .

2

0

arctan 2

( 1)

lim

^x

x

x x

x e





6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Taylor di grado 3 che approssima la funzione ycos(4 )x

in x

7. (Facoltativo per tutti) Definizione di derivata prima di una funzione f(x) in un punto x e suo ₀ significato geometrico. Definizione di funzione continua in un punto x . Illustrare con degli ₀ esempi il legame tra la derivabilita’ e la continuità di una funzione f(x) in x .₀

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 B}

18/02/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione 1 ( ) ln( ) f x  x x 2. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le due parabole di equazione

1 e 1 2

y  x y x

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Definizione di integrale generale per un’equazione differenziale del primo ordine. Trovale l'integrale generale di y x²(1y²). 4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Studiare e calcolare il carattere della

seguente serie ₂

1

3 2

n n n



  



5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Utilizzando i prodotti notevoli calcolare il limite ²

 

²

1

tan 1 ln ( )

1 cos( 1)

lim

x

x x

x



 

 

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di funzione derivabile in un punto e suo significato geometrico. Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico di

2

( ) sin( 2 ) f x _ x _4

in x_2

7. (Facoltativo per tutti) Definizione di massimo e minimo relativo per una funzione f(x).

Ricerca dei punti di massimo e minimo per f(x) in un intervallo [a,b].

(7)

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 C}

18/02/2014

1

( ) ^x 1

f x e ^ . 2. (tutti) Calcolare l’integrale

1 3

0

4 5

5

x dx

x







3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y2y2y 1 x².

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9 ) Studiare il carattere della seguente serie

2

1 n n

n e







5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Scrivere il polinomio di Mac- Laurin di grado 3 che approssima la funzione 1 cos 2

y   x2

6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Definizione di funzione infinitesima per xx₀ e loro confronto. Utilizzando il confronto calcolare

2 2 6

2 0

sin ( )

( 1)

lim

^x

x

x x x

e x

 

 

 

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

Prova scritta di Analisi Matematica

^{1 D}

18/02/2014

1. (tutti) Illustrando tutti i passaggi, disegnare il grafico della funzione 1 2 ( ) 1 | | f x x

x

 



2. (tutti) Calcolare l’area della porzione di piano, nel primo quadrante, racchiusa dalle due curve di equazione

y x 

³

e y   4 x 3 x

²

3. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14, crediti 9) Risolvere la seguente equazione differenziale y2y2x².

4. (solo per le matricole dell’A.A. 2013/14 crediti 9) Studiare il carattere della seguente serie ₂

12

n

n n

 x





5. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Utilizzando i limiti notevoli calcolare il

0

ln(1 3 ) tan 1 cos

lim

x

x x

 x





6. (solo per le matricole fino all’A.A. 2012/13, crediti 5) Data la funzione ( ) ln( 2 1)

f x  xx  scrivere l’equazione della parabola che la approssima nel punto di ascissa x=0.

7. (Facoltativo per tutti) Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo

(8)

Integrale.