Prova scritta di Analisi Matematica I
Corso di Laurea in Matematica - Universit`a di Roma “Tor Vergata”
29 gennaio 2014
1. Sia P (z) = 2iz2+ z per z ∈ C e si considerino gli insiemi:
A = {z ∈ C : |z| = 1} e B = {z ∈ C : |Im(z − i)| = 3}.
i) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore degli insiemi {|P (z)| : z ∈ A} e {|P (z)| : z ∈ B}.
ii) La funzione P `e iniettiva in A? La funzione P `e iniettiva in B?
2. Calcolare i seguenti limiti i) lim
x→+∞
2 arctan(x) π
πx
, ii) lim
x→−∞
r x3
x − 3 + x2sin 1 x − 2
x2
! .
3. Sia f una funzione derivabile in [0, +∞) tale che
x→+∞lim f0(x) = L ∈ (0, +∞).
i) Dimostrare o confutare che la funzione f ha un asintoto obliquo.
ii) Dimostrare o confutare che esistono m ∈ (0, +∞) e q ∈ R tali che
∀x ∈ [0, +∞), f (x) ≥ mx + q.
4. Siano m e n numeri interi positivi.
i) Dimostrare che se f e g sono due funzioni derivabili n volte in (a, b), allora
∀x ∈ (a, b), (f · g)(n)(x) =
n
X
k=0
n k
f(k)(x)g(n−k)(x).
ii) Se h(x) = xmex, quanto vale h(n)(0)?
5. Risolvere i seguenti problemi.
i) Determinare due rette tra loro ortogonali in modo che una sia tangente al grafico di ex e l’altra sia tangente al grafico di −x2.
ii) Dimostrare che esistono x0, x1 ∈ R tali che la retta tangente al grafico di ex in x0 `e anche tangente al grafico di −x2 in x1.
