Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦GESL; ♦INFL
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 1
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 3 2n2+ 5
¶
+ 3, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
7(z + z) + z2= i + 14Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 2√
2 (2 − 2i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
1 +n1 − q
1 −n2 7n sinn12 + 2n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
3 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
1 − x2 se |x| ≤ 1, arcsin(x − 2) +π
2 se 1 < x ≤ 3,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 1
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 3 2n2+ 5
¶
+ 3, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
7(z + z) + z2= i + 14Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 2√
2 (2 − 2i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
1 +n1 − q
1 −n2 7n sinn12 + 2n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
3 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
1 − x2 se |x| ≤ 1, arcsin(x − 2) +π
2 se 1 < x ≤ 3,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
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Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 2
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 6 2n2+ 10
¶
+ 5, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
6(z + z) + z2= i + 12Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 4√
2 (3 − 3i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
4 +n1 − q
4 −n2 6n sinn12 + 3n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
6 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
4 − x2 se |x| ≤ 2, arcsin(x − 3) +π
2 se 2 < x ≤ 4,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 2
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 6 2n2+ 10
¶
+ 5, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
6(z + z) + z2= i + 12Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 4√
2 (3 − 3i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
4 +n1 − q
4 −n2 6n sinn12 + 3n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
6 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
4 − x2 se |x| ≤ 2, arcsin(x − 3) +π
2 se 2 < x ≤ 4,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
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Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦GESL; ♦INFL
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 3
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 9 2n2+ 15
¶
+ 7, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
5(z + z) + z2= i + 10Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 6√
2 (4 − 4i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
9 +n1 − q
9 −n2 5n sinn12 + 4n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
9 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
9 − x2 se |x| ≤ 3, arcsin(x − 4) +π
2 se 3 < x ≤ 5,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 3
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 9 2n2+ 15
¶
+ 7, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
5(z + z) + z2= i + 10Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 6√
2 (4 − 4i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
9 +n1 − q
9 −n2 5n sinn12 + 4n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
9 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
9 − x2 se |x| ≤ 3, arcsin(x − 4) +π
2 se 3 < x ≤ 5,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦GESL; ♦INFL
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 4
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 12 2n2+ 20
¶
+ 9, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
4(z + z) + z2= i + 8Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 8√
2 (5 − 5i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
16 +n1 − q
16 −n2 4n sinn12 + 5n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
12 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
16 − x2 se |x| ≤ 4, arcsin(x − 5) +π
2 se 4 < x ≤ 6,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 4
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 12 2n2+ 20
¶
+ 9, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
4(z + z) + z2= i + 8Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 8√
2 (5 − 5i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
16 +n1 − q
16 −n2 4n sinn12 + 5n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
12 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
16 − x2 se |x| ≤ 4, arcsin(x − 5) +π
2 se 4 < x ≤ 6,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦GESL; ♦INFL
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 5
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 15 2n2+ 25
¶
+ 11, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
3(z + z) + z2= i + 6Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di w = 10√
2 (6 − 6i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
25 +n1 − q
25 −n2 3n sinn12 + 6n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
15 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
25 − x2 se |x| ≤ 5, arcsin(x − 6) +π
2 se 5 < x ≤ 7,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 5
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 15 2n2+ 25
¶
+ 11, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
3(z + z) + z2= i + 6Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 10√ 2 (6 − 6i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
25 +n1 − q
25 −n2 3n sinn12 + 6n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
15 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
25 − x2 se |x| ≤ 5, arcsin(x − 6) +π
2 se 5 < x ≤ 7,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦GESL; ♦INFL
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), rmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla ne di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 6
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 18 2n2+ 30
¶
+ 13, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
2(z + z) + z2= i + 4Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di w = 12√
2 (7 − 7i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
36 +n1 − q
36 −n2 2n sinn12 + 7n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
18 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
36 − x2 se |x| ≤ 6, arcsin(x − 7) +π
2 se 6 < x ≤ 8,
0 altrimenti.
Analisi Matematica A 18 marzo 2008 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale de nita da:
f (x) = µ
2 −π 2
1 arctan x
¶2 + 6
Tracciare sul foglio di protocollo un gra co qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classi cando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette almeno un punto di esso e rapp- resentarlo gra camente.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ arccos
µ n + 18 2n2+ 30
¶
+ 13, n ≥ 0
¾
Risposta [punti 3]:
3. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
2(z + z) + z2= i + 4Rez Risposta [punti 3]:
4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze complesse di
w = 12√ 2 (7 − 7i)(1 −√
3i) Risposta [punti 4]:
5. Calcolare
n→+∞lim q
36 +n1 − q
36 −n2 2n sinn12 + 7n3sinn14
Risposta [punti 3]:
6. Calcolare
x→0lim+
18 log(1 + x − sin x)x exp(x4) − cosh(x2) Risposta [punti 4]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
−√
36 − x2 se |x| ≤ 6, arcsin(x − 7) +π
2 se 6 < x ≤ 8,
0 altrimenti.
Dire se la funzione f è continua e derivabile sul suo dominio ed eventualmente discutere i tipi di discontinuità e di non derivabilità qualora f non sia continua o non derivabile.
Risposta [punti 6]:
