Punti di non derivabilità

Punti di non derivabilità

Gianluca Ferrari 31 luglio 2018

Esercizio:

Si consideri la funzione f :]0; 2[→ R definita da

f (x) =







(x − 1) log |sin (x − 1)| +√³

x − 1 se x 6= 1

0 se x = 1

. (1)

Dire se x = 1 è:

a. un punto di flesso a tangente verticale.

b. un punto di cuspide.

c. un punto di salto.

d. un punto in cui f è derivabile.

Svolgimento:

Valutiamo la continuità della funzione f nel punto x = 1, ossia verifichiamo che

x→1limf (x) = f (1), (2)

o meglio,

lim

x→1^±f (x) = f (1), (3)

con f (1) = 0.

A questo fine, è sufficiente ricordare il limite notevole

lim

x→0x^αlog^β|x| = 0 con α, β > 0, (4)

da cui, usando in modo opportuno le equivalenze asintotiche, si ha lim

x→1^±

f (x) = lim

x→1^±

(x − 1) log |sin (x − 1)| +√³ x − 1

= lim

x→1^±

(x − 1) log |x − 1| +√³

x − 1
= 0.

(5)

1

Calcoliamo ora la derivata della funzione f . f⁰(x) = d

dx (x − 1) log |sin (x − 1)| +√³ x − 1

= log |sin (x − 1)| + x − 1

| sin (x − 1)|

| sin (x − 1)|

sin (x − 1) cos (x − 1) +1

3(x − 1)⁻²³

= log |sin (x − 1)| + (x − 1) cot (x − 1) + 1 3(x − 1)²³

(6)

È evidente che x = 1 è escluso dal dominio di f⁰, quindi è un punto di non derivabilità. Calcoliamo qundi i limiti destro e sinistro della derivata prima nel punto in questione.

lim

x→1^±

f⁰(x) = lim

x→1^±



log |x − 1| + (x − 1)

(x − 1)+ 1 3(x − 1)²³



= lim

x→1^±

3(x − 1) log |x − 1| + 3(x − 1) + (x − 1)¹³ 3(x − 1)

!

= lim

x→1^±

3(x − 1) log |x − 1| + (x − 1)¹³ 3(x − 1)

! + lim

x→1^±

x − 1 x − 1

= lim

x→1^±

3 · 0 + (x − 1)¹³ 3(x − 1)

! + 1

= 1 + lim

x→1^±

1

3(x − 1)²³ = 1 + ∞ = +∞

(7)

Siccome i limiti destro e sinistro sono uguali a +∞, allora x = 1 è un punto di flesso a tangente verticale.

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