Tabella dei numeri complessi

Alex Gotev – Dispense di Analisi 1

Tabella dei numeri complessi

Forma algebrica x=ai b

y=ci d 

Forma trigonometrica x=₁cosi sin 

y=₂cos i sin 

Forma esponenziale

x=₁e^{i } y=₂e^{i }

Rappresentazione (generica) ai b

a = parte reale b = parte immaginaria cos  i sin 

ρ = modulo α = argomento o fase e^{i }

ρ = modulo α = argomento o fase

Somma ( x + y ) ac   ibd 

Prodotto ( x ∙ y ) ac−bd  iad bc  ₁⋅₂cosi sin  ₁⋅₂e^{i}

Rapporto ( x / y ) ai b  ⋅ c−i d  c²d²

₁

₂cos−i sin −





Inverso (Reciproco) (di x) 1

x = a−i b a²b²

1

₁cos−  i sin−





Coniugato ( di x ) x = a−i b x = ₁cos−  i sin− _{x = 1e}^{i − }

Elevamento a potenza n ( di x )** ₁ⁿcosn i sin n  ₁ⁿe^{i n }

Radici n-esime ( di x )



n i sin2 k 

n 

Con k = 0,..., n – 1



i 2 k  n

Con k = 0,..., n – 1 Note:

• Numero complesso opposto: parti reale ed immaginaria opposte a quella del numero di partenza

• ** Questa regola viene anche chiamata Regola di De Moivre

Potenze di i

Potenze positive R=0  1 R=1  i R=2  −1 R=3  −i

Potenze negative o

esponente < 1 R=0  1 R=1  −i R=2  −1 R=3  i

Regola: dividere per 4 l'esponente della i e a seconda del resto ottenuto e del segno dell'esponente riferirsi alla tabella qui sopra.

Alex Gotev – Dispense di Analisi 1

Conversioni tra le rappresentazioni dei numeri complessi

Algebrica → Trigonometrica Trigonometrica →

Algebrica Trigonometrica →

Esponenziale Esponenziale → Algebrica x=ai b

1. Modulo: =



2. cos =a

 sin =b

 ^{→ =arctg} sin  cos

3. Rappresentare il numero complesso e trovare l'angolo α

4. x=cos i sin 

x=cosi sin 

1. a =  cos  2. b =  sin  3. x=ai b

x=cos i sin 

Utilizzando gli stessi ρ ed α:

x= e^{i }

x= e^{i }

1. a =  cos  2. b =  sin  3. x=ai b

RADIANTI sin  cos  tg  RADIANTI sin  cos tg  RADIANTI sin  cos tg 

0 = 2  0 1 0 

3 ³

2

1

2 ^{3  0 – 1 0}

 12

1

46−2 1

462 2−³ ₈^{3 1}₂^22 1

22−2 ^{21 7}₆^{ −1}₂ ⁻³

2

³ 3

 10

1

45−1 1

41025 1

525−105 2

5 1

41025 1

45−1 ^52^{5 5}₄^{ −}²

2 −²

2 1

 8

1

22−2 1

222 ²⁻¹ ₁₂^{5 1}₄^62 1

46−2 2^{3 4}₃^{ −}³

2 −1

2 ³

 6

1

2 ³

2

³ 3



2 1 0 ∞ 3

2 – 1 0 ∞

 5

1

410−25 1

451 5−2^{5 2}₃^ ³

2 −1

2 −^{3 5}₃^{ −}³

2

1

2 −³



4 ²

2

²

2 1 3

4 ²

2 −²

2 – 1 7

4 −²

2

²

2 – 1

3

10 1

451 1

410−25 1

525105 5

6 1

2 −³

2 −³

3

11

6 −1

2 ³

2 −³

3 Re

Im