Universit` a di Roma “Tor Vergata” - Corso di Laurea in Ingegneria Analisi Matematica I - Prova scritta del 30 Gennaio 2019 A
Esercizio 1. [5 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor dell’ordine n = 5 nel punto x0 = 0 per la seguente funzione:
f(x) = log(x3 + cos(x)) −x2 2 . Esercizio 2. [6 punti] Calcolare il seguente limite:
lim
n→+∞
n(1 + e−n)n1 − log(1 + en) sin2 e√−nn +n1! . Esercizio 3. [8 punti] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = arcsin(|x2+ 3x + 2| − 1)
specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, eventuali punti di massimo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilit`a. Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Esercizio 4. [7 punti] Discutere la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro α ∈ R:
Z +∞
0
e−αx
√1 − e−2x dx.
Calcolarlo per α = 3.
Esercizio 5. [5 punti] Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′(x) = 1 y(x)(16 − x2) y(0) = −4
.
Universit` a di Roma “Tor Vergata” - Corso di Laurea in Ingegneria Analisi Matematica I - Prova scritta del 30 Gennaio 2019 B
Esercizio 1. [5 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor dell’ordine n = 5 nel punto x0 = 0 per la seguente funzione:
f(x) = log(−x3 + cos(x)) −x2 2 . Esercizio 2. [6 punti] Calcolare il seguente limite:
lim
n→+∞
n(1 + e−n)n1 − log(1 + en) sin2 2e√−nn + n1!
.
Esercizio 3. [8 punti] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = arcsin(|x2+ x| − 1)
specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, eventuali punti di massimo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilit`a. Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Esercizio 4. [7 punti] Discutere la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro α ∈ R:
Z +∞
0
e−αx
√1 − e−3x dx.
Calcolarlo per α = 92.
Esercizio 5. [5 punti] Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′(x) = 1 y(x)(9 − x2) y(0) = −3
.
Universit` a di Roma “Tor Vergata” - Corso di Laurea in Ingegneria Analisi Matematica I - Prova scritta del 30 Gennaio 2019 C
Esercizio 1. [5 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor dell’ordine n = 5 nel punto x0 = 0 per la seguente funzione:
f(x) = log(2x3+ cos(x)) −x2 2 . Esercizio 2. [6 punti] Calcolare il seguente limite:
lim
n→+∞
n(1 + e−n)n1 − log(1 + en) sin2 3e√−nn + n1!
.
Esercizio 3. [8 punti] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = arcsin(|x2− 3x + 2| − 1)
specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, eventuali punti di massimo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilit`a. Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Esercizio 4. [7 punti] Discutere la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro α ∈ R:
Z +∞
0
e−αx
√1 − e−4x dx.
Calcolarlo per α = 6.
Esercizio 5. [5 punti] Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′(x) = 1 y(x)(4 − x2) y(0) = −2
.
Universit` a di Roma “Tor Vergata” - Corso di Laurea in Ingegneria Analisi Matematica I - Prova scritta del 30 Gennaio 2019 D
Esercizio 1. [5 punti] Calcolare lo sviluppo di Taylor dell’ordine n = 5 nel punto x0 = 0 per la seguente funzione:
f(x) = log(−2x3+ cos(x)) −x2 2 . Esercizio 2. [6 punti] Calcolare il seguente limite:
lim
n→+∞
n(1 + e−n)n1 − log(1 + en) sin2 4e√−nn + n1!
.
Esercizio 3. [8 punti] Tracciare il grafico della funzione
f(x) = arcsin(|x2− 5x + 6| − 1)
specificando: dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, eventuali punti di massimo/minimo relativo, eventuali punti di non derivabilit`a. Non `e richiesto lo studio della derivata seconda.
Esercizio 4. [7 punti] Discutere la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro α ∈ R:
Z +∞
0
e−αx
√1 − e−5x dx.
Calcolarlo per α = 152 .
Esercizio 5. [5 punti] Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y′(x) = 1 y(x)(1 − x2) y(0) = −1
.
