trova i valori di

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – Studio di funzione - SIMULAZIONE Risolvi uno dei seguenti problemi e cinque dei seguenti quesiti.

Problema 1: Data la funzione   ^x x

e a f x e b

 

 , con a e b entrambi positivi a) classifica al variare dei parametri a e b i punti stazionari della funzione;

[nessun punto stazionario, funzione sempre crescente per tutti i valori di e di b]

b) trova i valori di a e b in modo tale che la funzione intersechi l’asse x in  ln 3; 0 e che la tangente nel 

punto di flesso formi con l’asse delle ascisse un angolo pari a 4

 ;

c) constatato che per il punto precedente si ha a = 3 e b = 1, rappresenta graficamente la funzione trovata.

Rappresenta quindi la funzione y = f (1/x).

d) Sapendo che f (x) = g’(x) = h’’(x), traccia il grafico di y = g (x) e y = h (x) e) Discuti al variare di 𝑘 ∈ 𝑍, il valore del limite lim

𝑥→−∞ f (𝑥 ^𝑘 ).

[se k > 0 e k pari, 1; se k > 0 e k dispari, -3; se k = 0, ³ 1 e e



 ; se k < 0,  1 ] Problema 2: In una semicirconferenza di diametro AB = 2r AC misura 𝑟√2. Il punto P, preso sull’arco AC, ha proiezione H sul segmento AC e C ha proiezione K sulla tangente in P. Detto x l’angolo CAP,

a). determina la funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐶𝐾 + √2 𝑃𝐻 + 𝑃𝐾,

b) Constatato che per il punto precedente si ha 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑟𝑠𝑖𝑛2𝑥, rappresenta il suo grafico tenendo conto dei limiti del problema.

c) Sempre tenendo conto dei limiti geometrici imposti dal problema, discuti il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = x + k, al variare del parametro reale k.

d) Posto r = 1/2 , traccia il grafico della funzione 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)).

e) Discuti al variare di k il limite lim

𝑥→0 𝑓(𝑥)

𝑥 ^𝑘 .

Quesito 1: calcola il valore del limite ²

0 lim ln 1 1 ;

x

x x





       

   

  ^[0]

Quesito 2: Data le funzioni   ¹ ^,

f x 1

 x

 ^e   ¹ ^,

2 1

g x x x

 

 verifica che nell’intervallo  ^ ^{1; 0}  valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema. 1 6

c 5

  

  

 

Quesito 3: Sia data la funzione ^{f x}   ^ ^x ⁿ ^a ^x ^ ^b , con n  N , , a b  R , a  0 , determina i valori di n, a e b per i quali il grafico della funzione passa per il punto  ^{1; 3e}  , x   2 è un estremante e la retta y  2 e è asintoto orizzontale sinistro. Giustifica l’esistenza di due radici negative dell’equazione ^{f x}   ^ ⁴ ^x ^ ⁶ .

 ⁿ ^ ^2, ^a ^ ^{e b} ^, ^ ² ^e 

Quesito 4: Trova i punti di massimo, minimo e flesso della funzione ^y ^  ^x ^ ²  ³ ^x ² .

2 fl. orizz.; 4 max; 0 min

x x 5 x

      

 

 

Quesito 5: Fra tutti i coni inscritti in una sfera di raggio r, determina quello per il quale è massima la superficie laterale.

 

  x  x  r

3 per 4 massimo il

ha si cono, del altezza dell' misura se

Quesito 6: Data la parabola di equazione 1 ²

y  4 x e la retta di equazione y  x , indica con A e O i loro punti di

intersezione. Preso un punto P sul segmento OA, conduci per P la parallela all’asse x, indicando con Q il punto di

(2)

ascissa positiva in cui tale parallela incontra la parabola, e la parallela all’asse y, indicando con R il punto in cui tale parallela incontra la curva. Determina P in modo che sia massima la somma delle aree dei triangoli POR e POQ.

 ^{2 2; 2 2} ³ ³ 

 P 

 

Quesito 7: Data la funzione y  ax ³  bx  c , con a  0 , dimostra che essa ha un solo punto di flesso per qualunque valore di a, b, c e determina le sue coordinate; quando la tangente in tale punto di flesso forma un angolo di

4  con

l’asse delle ascisse? ^ _   ^0; ^c ^{; quando} ^b ^ ¹ ^ _

Quesito 8: Una lampada è sospesa al centro di una tavola tonda di raggio r. A quale altezza bisogna fissare la lampada perchè un oggetto che si trova sull'orlo della tavola sia illuminato nel modo migliore ? (L'illuminazione è direttamente proporzionale al coseno dell'angolo d'incidenza dei raggi luminosi ed inversamente proporzionale al quadrato della

distanza dalla sorgente di luce). [ ^𝑟

√2 ]

Quesito 9: traccia il grafico della funzione ^{f x}   ^ ^sen ^x ^ ^cos ^x nell’intervallo di periodicità contenente lo 0, traccia, quindi, il grafico della funzione y = g (x), sapendo che f (x) = g ‘ (x).

Quesito 10: Dato il grafico della funzione y = f (x), traccia l’andamento di quello della sua derivata prima:

Dato il grafico della funzione y = f ‘ (x), traccia un possibile andamento della funzione y = f (x).

trova i valori di

VERIFICA DI MATEMATICA – Studio di funzione - SIMULAZIONE Risolvi uno dei seguenti problemi e cinque dei seguenti quesiti.

Problema 1: Data la funzione   x x

e a f x e b

 

 , con a e b entrambi positivi a) classifica al variare dei parametri a e b i punti stazionari della funzione;

[nessun punto stazionario, funzione sempre crescente per tutti i valori di e di b]

b) trova i valori di a e b in modo tale che la funzione intersechi l’asse x in  ln 3; 0 e che la tangente nel 

punto di flesso formi con l’asse delle ascisse un angolo pari a 4

 ;

c) constatato che per il punto precedente si ha a = 3 e b = 1, rappresenta graficamente la funzione trovata.

Rappresenta quindi la funzione y = f (1/x).

d) Sapendo che f (x) = g’(x) = h’’(x), traccia il grafico di y = g (x) e y = h (x) e) Discuti al variare di 𝑘 ∈ 𝑍, il valore del limite lim

𝑥→−∞ f (𝑥 𝑘 ).

[se k > 0 e k pari, 1; se k > 0 e k dispari, -3; se k = 0, 3 1 e e



 ; se k < 0,  1 ] Problema 2: In una semicirconferenza di diametro AB = 2r AC misura 𝑟√2. Il punto P, preso sull’arco AC, ha proiezione H sul segmento AC e C ha proiezione K sulla tangente in P. Detto x l’angolo CAP,

a). determina la funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐶𝐾 + √2 𝑃𝐻 + 𝑃𝐾,

b) Constatato che per il punto precedente si ha 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑟𝑠𝑖𝑛2𝑥, rappresenta il suo grafico tenendo conto dei limiti del problema.

c) Sempre tenendo conto dei limiti geometrici imposti dal problema, discuti il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = x + k, al variare del parametro reale k.

d) Posto r = 1/2 , traccia il grafico della funzione 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)).

e) Discuti al variare di k il limite lim

𝑥→0 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑘 .

Quesito 1: calcola il valore del limite 2

0

lim ln 1 1 ;

x

x x



       

   

  [0]

Quesito 2: Data le funzioni   1 ,

f x 1

 x

 e   1 ,

2 1

g x x x

 

 verifica che nell’intervallo   1; 0  valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema. 1 6

c 5

  

  

 

 n  2, a  e b ,  2 e 

Quesito 4: Trova i punti di massimo, minimo e flesso della funzione y   x  2  3 x 2 .

2 fl. orizz.; 4 max; 0 min

x x 5 x

      

 

 

Quesito 5: Fra tutti i coni inscritti in una sfera di raggio r, determina quello per il quale è massima la superficie laterale.

 

  x  x  r

3 per 4 massimo il

ha si cono, del altezza dell' misura se

Quesito 6: Data la parabola di equazione 1 2

y  4 x e la retta di equazione y  x , indica con A e O i loro punti di

intersezione. Preso un punto P sul segmento OA, conduci per P la parallela all’asse x, indicando con Q il punto di

ascissa positiva in cui tale parallela incontra la parabola, e la parallela all’asse y, indicando con R il punto in cui tale parallela incontra la curva. Determina P in modo che sia massima la somma delle aree dei triangoli POR e POQ.

 2 2; 2 2 3 3 

 P 

 

Quesito 7: Data la funzione y  ax 3  bx  c , con a  0 , dimostra che essa ha un solo punto di flesso per qualunque valore di a, b, c e determina le sue coordinate; quando la tangente in tale punto di flesso forma un angolo di

4

 con

l’asse delle ascisse?     0; c ; quando b  1  

distanza dalla sorgente di luce). [ 𝑟

√2 ]

Quesito 9: traccia il grafico della funzione f x    sen x  cos x nell’intervallo di periodicità contenente lo 0, traccia, quindi, il grafico della funzione y = g (x), sapendo che f (x) = g ‘ (x).

Quesito 10: Dato il grafico della funzione y = f (x), traccia l’andamento di quello della sua derivata prima:

Dato il grafico della funzione y = f ‘ (x), traccia un possibile andamento della funzione y = f (x).

Problema 1: Data la funzione   ^x x

𝑥→−∞ f (𝑥 ^𝑘 ).

[se k > 0 e k pari, 1; se k > 0 e k dispari, -3; se k = 0, ³ 1 e e

𝑥 ^𝑘 .

Quesito 1: calcola il valore del limite ²

  ^[0]

Quesito 2: Data le funzioni   ¹ ^,

 ^e   ¹ ^,

 verifica che nell’intervallo  ^ ^{1; 0}  valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema. 1 6

 ⁿ ^ ^2, ^a ^ ^{e b} ^, ^ ² ^e 

Quesito 4: Trova i punti di massimo, minimo e flesso della funzione ^y ^  ^x ^ ²  ³ ^x ² .

Quesito 6: Data la parabola di equazione 1 ²

 ^{2 2; 2 2} ³ ³ 

Quesito 7: Data la funzione y  ax ³  bx  c , con a  0 , dimostra che essa ha un solo punto di flesso per qualunque valore di a, b, c e determina le sue coordinate; quando la tangente in tale punto di flesso forma un angolo di

l’asse delle ascisse? ^ _   ^0; ^c ^{; quando} ^b ^ ¹ ^ _

distanza dalla sorgente di luce). [ ^𝑟

Quesito 9: traccia il grafico della funzione ^{f x}   ^ ^sen ^x ^ ^cos ^x nell’intervallo di periodicità contenente lo 0, traccia, quindi, il grafico della funzione y = g (x), sapendo che f (x) = g ‘ (x).