Matematica Discreta
Lezione del giorno 11 ottobre 2011 Insieme vuoto
Può accadere che un insieme sia descritto in modo implicito mediante un predicato che è falso per ogni valore della variabile. Per esempio:
A = { x / x è un intero positivo minore di 1/2 }
In tale caso l’insieme ottenuto è un insieme privo di elementi, detto insieme vuoto, e indicato con il simbolo .
Sottoinsiemi di un insieme.
Dati gli insiemi A, B, diremo che A è sottoinsieme di B (oppure che A è contenuto in B, o anche che A è incluso in B) e scriveremo AB, se ogni elemento di A è anche elemento di B.
Se A non è sottoinsieme di B, esisterà almeno un elemento di A che non appartiene a B.
Se gli insiemi sono descritti in modo esplicito, per verificare se AB basta verificare che ogni elemento nell’elenco di A è presente anche nell’elenco di B.
Per esempio se B = {1,3,4,5,6,8}, A = {6, 5, 3}, C = {8, 4, 2} si ha AB (ogni elemento 6, 5, 3 dell’elenco di A è presente nell’elenco di B), ma si ha anche che C non è sottoinsieme di B (l’elemento 2 dell’elenco di C non è presente nell’elenco di B).
Se gli insiemi sono invece descritti in modo implicito, mediante predicati:
A = { x / P(x) } B = { x / Q(x) }
allora verificare che AB equivale a dimostrare l’implicazione P Q (perché affermare che ogni elemento di A è elemento di B equivale ad affermare che ogni valore di x che rende vero P rende vero anche Q).
Due insiemi A, B sono uguali se contengono gli stessi elementi: questo equivale ad affermare che ogni elemento di A è anche elemento di B e che viceversa ogni elemento di B è anche elemento di A. Quindi l’eguaglianza di insiemi A=B equivale alla “doppia inclusione” AB e BA .
Se gli insiemi sono descritti in modo esplicito, per verificare se A=B basta verificare che gli elenchi degli elementi di A e B siano lo stesso elenco (anche se gli elementi sono elencati in ordine diverso).
Per esempio se A = {1,3,4,5,6,8}, B = {4,8,6,5,3,1} allora si ha A=B.
Se gli insiemi sono descritti in modo implicito, mediante predicati:
A = { x / P(x) } B = { x / Q(x) }
allora verificare che A=B equivale a dimostrare vera sia l’implicazione P Q che l’implicazione inversa Q P, quindi l’eguaglianza di insiemi A=B corrisponde all’equivalenza dei predicati:
P Q .
Per ogni insieme A, è ovvio che A è sottoinsieme di sé stesso:
AA
Se BA e se BA, si dice anche che B è contenuto propriamente in A e si scrive BA.
Per convenzione l’insieme vuoto si considera sottoinsieme di qualunque insieme A.
Poiché, dato un insieme A qualunque, si ha sempre A e AA, i due sottoinsiemi , A sono detti sottoinsiemi banali o impropri dell’insieme A.
In particolare, fissato un arbitrario insieme A, possiamo costruire l’insieme delle parti di A (indicato con il simbolo P(A)), i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A.
Per esempio se A = {a, b, c}, l’insieme delle parti di A è l’insieme:
P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A }.
Si può notare che A contiene 3 elementi e P(A) contiene 8=23 elementi: dimostreremo in seguito che ciò non è casuale (cioè dimostreremo che se l’insieme A contiene un numero n di elementi, allora il numero dei suoi sottoinsiemi è 2n).
Se A è un insieme fissato, possiamo descrivere in forma implicita un sottoinsieme B di A nel modo seguente:
B = { xA / P(x) } (dove P(x) è un predicato)
intendendo che gli elementi del sottoinsieme B sono tutti e soli gli elementi di A che rendono vero P(x).
Per esempio, se A = { x / x è intero positivo pari }, e se descriviamo in modo implicito il seguente sottoinsieme di A:
B = { xA / x<10 }
in modo esplicito si ha B = {2,4,6,8}.
Operazioni fra insiemi.
Sono procedimenti che, dati alcuni insiemi (operandi), costruiscono un nuovo insieme (risultato) i cui elementi dipendono dagli elementi degli insiemi operandi.
1) Intersezione di insiemi:
Dati gli insiemi A,B, si chiama insieme intersezione di A e B (indicato con AB) l’insieme degli elementi che appartengono ad ambedue gli insiemi A,B.
Se A,B non hanno elementi in comune si ha AB= e si dice che A,B sono disgiunti.
Se A,B sono descritti in modo esplicito, AB è descritto in modo esplicito da un elenco di tutti gli elementi che sono presenti sia nell’elenco di A che nell’elenco di B.
Per esempio se A={1,2,3,4,5,6}, B={8,5,6,9} allora AB={5,6}.
Se A,B sono descritti in modo implicito:
A = { x / P(x) }, B = { x / Q(x)}
allora AB è descritto in modo implicito dal predicato congiunzione logica PQ : infatti i valori che rendono vero PQ sono esattamente quelli che rendono vero sia P che Q (quindi sono gli elementi che appartengono sia ad A che a B).
Per esempio se A = { x / x è intero positivo dispari }, B = { x / x è intero >12 } allora:
AB = { x / x è intero positivo dispari e x è intero >12 } (quindi AB contiene tutti gli interi dispari da 13 in poi).
Proprietà evidenti dell’intersezione sono le seguenti:
1) dato un insieme A si ha AA=A (idempotenza)
2) dati 2 insiemi A,B si ha AB=BA (proprietà commutativa)
3) dati 3 insiemi A,B,C si ha (AB)C=A(BC) (proprietà associativa) (per questa terza proprietà basta notare che sia (AB)C che A(BC) coincidono con l’insieme degli elementi che appartengono a tutti e 3 gli insiemi A,B,C)
Le proprietà 1) e 2) seguono immediatamente dalla definizione di intersezione. Per la 3) basta notare che sia (AB)C che A(BC) coincidono con l’insieme degli elementi che appartengono a tutti e 3 gli insiemi A,B,C.
2) Unione di insiemi:
Dati gli insiemi A,B, si chiama insieme unione di A e B (indicato con AB) l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A,B.
Se A,B sono descritti in modo esplicito, AB è descritto in modo esplicito da un elenco di tutti gli elementi che sono presenti nell’elenco di A o nell’elenco di B o in ambedue (questi ultimi elencati 1 sola volta per evitare ripetizioni dello stesso elemento).
Per esempio se A={1,2,3,4,5,6}, B={8,5,6,9} allora AB={1,2,3,4,5,6,8,9}.
Se A,B sono descritti in modo implicito:
A = { x / P(x) }, B = { x / Q(x)}
allora AB è descritto in modo implicito dal predicato disgiunzione logica PvQ: infatti gli elementi di AB (valori che rendono vero la disgiunzione PvQ) saranno gli elementi che appartengono ad A (valori che rendono vero P) oppure gli elementi che appartengono a B (valori che rendono vero Q).
Proprietà evidenti dell’unione sono le seguenti:
1) dato un insieme A si ha AA=A (idempotenza)
2) dati 2 insiemi A,B si ha AB=BA (proprietà commutativa)
3) dati 3 insiemi A,B,C si ha (AB)C= A(BC) (proprietà associativa).
Le proprietà 1) e 2) seguono immediatamente dalla definizione di unione. Per la 3) basta notare che sia (AB)C che A(BC) coincidono con l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno fra i 3 insiemi A,B,C.
3) Differenza di insiemi:
Dati gli insiemi A,B, si chiama insieme differenza A meno B (indicato con A-B) l’insieme degli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B.
Se A,B sono descritti in modo esplicito, A-B è descritto in modo esplicito da un elenco di tutti gli elementi che sono presenti nell’elenco di A ma non nell’elenco di B.
Per esempio se A={1,2,3,4,5,6}, B={8,5,6,9} allora A-B={1,2,3,4} mentre B-A={8,9}.
Se A,B sono descritti in modo implicito:
A = { x / P(x) }, B = { x / Q(x)}
allora A-B è descritto in modo implicito dal predicato PQ congiunzione logica di P e della negazione di Q.
Per esempio se A = { x / x è intero positivo dispari }, B = { x / x è intero >12 } allora:
A-B = { x / x è intero positivo dispari ed x è intero ≤12 } = {1,3,5,7,9,11}
mentre:
B-A = { x / x è intero >12 ed x è intero positivo pari}= {14,16,18,20,…..}
(quindi B-A contiene tutti gli interi pari da 14 in poi).
Dall’esempio precedente si deduce che in generale A-BB-A (dunque l’operazione differenza non soddisfa la proprietà commutativa).
4) Complementare di un sottoinsieme in un insieme:
Dati gli insiemi A,B e nel caso particolare in cui l’insieme B sia sottoinsieme dell’insieme A, la differenza A-B è detta complementare di B in A e indicata con Bc: dunque il complementare di B in A ha come elementi tutti gli elementi di A che non appartengono a B.
Le proprietà principali del complementare sono espresse dalle leggi di DeMorgan:
se B,C sono sottoinsiemi dell’insieme A (notare che anche BC, BC sono sottoinsiemi di A e si possono considerare i 4 complementari Bc, Cc, (BC)c, (BC)c) si ha
(BC)c=BcCc (BC)c=BcCc
Le dimostrazione di ognuna di queste 2 proprietà comporta la dimostrazione di una doppia inclusione. Per esempio per dimostrare la prima proprietà, si devono dimostrare le 2 inclusioni:
(BC)cBcCc BcCc(BC)c
Dimostriamo la prima delle 2 inclusioni (la dimostrazione della seconda é analoga): se x è un elemento generico di (BC)c, allora, per definizione di complementare, si ha xA ma xBC, e per definizione di unione si ha xB e xC, dunque xA e xB e simultaneamente xA e xC, ossia xBc e simultaneamente xCc, e si può concludere che xBcCc.
Per concludere la trattazione delle operazioni fra insiemi, notiamo che valgono le seguenti proprietà distributive di unione e intersezione:
dati gli insiemi A,B,C si ha A(BC)=(AB)(AC) e A(BC)=(AB)(AC).
Esse si dimostrano facilmente con le doppie inclusioni.
Diagrammi di Eulero-Venn.
Sono rappresentazioni grafiche di un insieme, in cui gli elementi si rappresentano come punti del piano all’interno di una curva chiusa (spesso una circonferenza).
Esempio di diagramma di Eulero-Venn che rappresenta l’insieme A={1,2,3,4,5}:
Si possono rappresentare con tali diagrammi anche i risultati delle operazioni fra insiemi: unione, intersezione e differenza.
Per esempio per rappresentare l’intersezione AB:
A B
(l’insieme A è rappresentato con linee orizzontali, l’insieme B con righe verticali: l’insieme intersezione AB sarà rappresentato dalla quadrettatura).
Le proprietà già enunciate per le operazione fra insiemi si possono facilmente verificare graficamente sui diagrammi di Eulero-Venn: per esempio per verificare la proprietà distributiva A(BC)=(AB)(AC)
1 2 3 4 5
basta rappresentare con i diagrammi di Venn gli elementi di A, B, C poi quelli di (BC), (AB), (AC), infine rappresentare gli elementi di A(BC) e di (AB)(AC) e verificare che siano esattamente gli stessi punti del piano.
