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5.1) Nel piano proiettivo numerico reale, considera i punti A[1, 0, 1], B[1, 1, 0] e C[0, 1, 1]. Considera, inoltre, la proiettivit` a ϕ : P

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Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 2 a.a. 2013-14 quinta settimana

5.1) Nel piano proiettivo numerico reale, considera i punti A[1, 0, 1], B[1, 1, 0] e C[0, 1, 1]. Considera, inoltre, la proiettivit` a ϕ : P

2R

→ P

2R

, ϕ[X

0

, X

1

, X

2

] = [X

0

− X

1

, X

0

+ X

1

+ X

2

, X

0

+ 2X

2

].

a) Determina una matrice A che rappresenta ϕ.

b) Determina le coordinate omogenee di ϕ(A), di ϕ(B) e di ϕ(C) (rispettivamente), e controlla che questi punti sono indipendenti.

c) Determina equazioni parametriche per l’immagine, tramite ϕ, della retta per A e per C.

d) Determina equazioni parametriche di una retta la cui immagine, tramite ϕ, sia la retta per A e per B.

5.2) Nel piano proiettivo numerico reale, considera i punti A[2, 0, 1], B[1, 1, 1] e C[0, 1, 1]. Considera, inoltre, la proiettivit` a ϕ associata all’applicazione ϕ

l

: R

3

→ R

3

, ϕ

l

(X

0

, X

1

, X

2

) = (4X

0

+ 2X

1

− 2X

2

, −3X

0

− 7X

1

+ 6X

2

, −2X

0

− 8X

1

+ 7X

2

).

a) Determina equazione omogenea ed equazioni parametriche della retta r passante per A e B.

b) Determina l’immagine di A e B rispetto alla proiettivit` a ϕ e equazioni parametriche dell’im- magine di r tramite ϕ.

c) Determina l’equazione del fascio di rette per A.

d) Per ogni punto P della retta t di equazione X

0

= 0, denota con r

P

la retta per A e per P . Definisci ψ(P ) = t ∩ ϕ(r

P

) . Determina le coordinate di ψ(P ) e mostra che ψ : t → t, P 7→ ψ(P )

` e una proiettivit` a della retta t in se stessa.

e) Considera la retta s di equazione X

0

+X

1

−X

2

= 0. Controlla se C appartiene a s e determina l’equazione omogenea dell’immagine tramite ϕ di s.

f) Determina le coordinate del punto di intersezione di r e s (e tra ϕ(r) e ϕ(s), rispettivamente).

5.3) In P

1R

, considera i punti: P

0

[1, 1], P

1

[2, 1], P

2

[0, 1], P

3

[0, 1].

a) In P

1R

, verifica che i punti P

0

, P

1

, P

2

, P

3

. sono in posizione generale.

b) Determina equazioni per la proiettivit` a ϕ : P

1R

→ P

1R

tale che ϕ([1, 0]) = P

0

, ϕ([0, 1]) = P

1

, ϕ([1, 1]) = P

2

.

c) Determina equazioni per la proiettivit` a ψ : P

1R

→ P

1R

tale che ψ(P

0

) = [1, 0], ψ(P

1

) = [0, 1], ψ(P

3

) = [1, 1].

5.4) a) In P

2R

, verifica che sono in posizione generale i punti: P

0

[1, 3, 0], P

1

[1, 0, 1], P

2

[0, 2, 0], P

3

[0, 0, 5].

b) Determina equazioni per la proiettivit` a ϕ : P

2

→ P

2

tale che ϕ([1, 0, 0]) = P

1

, ϕ([0, 1, 0]) = P

2

, ϕ([0, 0, 1]) = P

3

, ϕ([1, 1, 1]) = P

4

.

5.5) Nel piano proiettivo numerico P

2R

, considera le rette r e s di equazioni omogenee r : X

0

−2X

2

= 0 e s : X

0

+ 5X

1

= 0 rispettivamente. Determina un cambio di coordinate omogenee [~ Y ] = [M ~ X]

rispetto al quale la retta r abbia equazione omogenea Y

1

= 0, mentre la retta s abbia equazione omogenea Y

0

= 0.

5.6) Determina le equazioni di una proiettivit` a non identica ϕ : P

2

→ P

2

tale che il punto P [1, 0, 1]

sia fisso (cio` e coincide con la propria immagine) e la retta r di equazione X

1

+ X

2

= 0 sia fissa

punto a punto.

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