noto se tall coppie siano oppure no in numero finito; tuttavia un teorema di

Sui grandi divisori primi delle coppie co:'rispondenti di due progressioni cazione del metodo di Baud.

di interi in posti tmet che. Appli-

M e m o r i a di G~OVAN~ R~cc~ (a Pisa).

Sunto. - S i a p p l i c a i l metodo d i BRU~ che h a s e r v i t o a questo a u t o r e p e r d i m o s t r a r e il suo t e o r e m a : ~ Let s o m m a d e g l ' i n v e r s i dei n u m e r i p r i m i gemelli (3~ 5; 5~ 7; ]1, 13; 17~ ]9;

29, 31;...) d convergente o f i n i t a % a d i m o s t r a r e u n teo~'ema pit~ generale d i questo ~'e.

l a t i v o a t l e coppie d i i n t e r i t h e f i g u r a n o i n p o s t i c o r r i s p o n d e n t i d i due p r o g r e s s i o n i a r i t . metiche. I~a dimost~'azione viene p r e s e n t a t a seguendo l ' e s p o s i z i o n e a n a l o g a chc si t r o v a i n I~A~DAU.

1. Esistono coppie di humeri primi la, cui differenza ~ 2 (cio5 coppie di

humeri primi gemelli),

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

costituisce u n a serie convergente nel caso che essi siano in numero infinito.

In modo espressivo si pub dire: anche se i n u m ¢ r i p r i m i gemelli sono i n nu- mero i~finito, essi sono r a r i , in opposizione al fatto che la successione dei humeri primi ~ p i i t densa, poich~, come ~ noto (~)~ ]a serie degF inversi dei h u m e r i primi ~ divergente.

I1 teorema di B n v ~ ~ riguarda le coppie di interi n, n A - 2 che sono con- temporaneamente (ciob~ per lo stesso valore di n) primi; la s u c c e s s i o n e dei valori assnnti da n e quella dei valori assunti da n 4 - 2 vengono interpretate, nel metodo di BRu~¢~ come appartenenti a una progressione aritmetica di ragione 1. In questa~ Memoria ci proponiamo di dimostrare (n. 7 e n. S) due

1 l 1 1

(~) Wed. V. BI~U~ L a sd~ie ~ -4- ~ + iwt + 13 + " " oi~ les d d n o m i n a t e u r s sont <, nomb~'es p r e m i e r s j u m e a u x ,> est convergente ou finie, ~, :Bulletin des Sciences ]~[athdmatiques % 2 e sdrie~

t. 43, 1919~ pp. 100-104~ 12~-128; e a n c h e E. LA~DAU~ Vovlesi,ngen .Sbeq" Zahlentheo,rie, I Bd., Leipzig~ 1927, p. 71 e segg,

(~) Wed. ad es. E. LA~qDAU, H a n d b u c h der L e h r e yon d e r V e r t e i l u n g der P r i m z a h l e n , E r s t e r B d , IJeipzig. 1909~ p. 65.

92 G. R~ccI : Sui grwt~di divisori primi detle coppie di interi in posti corrispo~denti

teoremi (il t e o r e m a (A} e il teorema (B) del n. 4) i quali in un eerto senso estendono e rafforzano il t e o r e m a di B n u x . Nella parte essenziale delht di- mostrazione (n. 7) applieheremo il metodo di BRu~, seguendo l'esposizione ehe se ne trova in LA~D:~U (:~},

Alla dimostrazione dei due teoremi ( A ) e tB) premettiamo (n. 5 ) a l e u n e eonsiderazioni geometriehe, loro spontanea interpretazione; si giunge eosi a certe proposizioni di cui un caso partieolare ad esempio si ha nella s e g u e n t e :

<< Dalla sueeessione

Pi~ P.2~ P3,""

dei n u m e r i primi per la quale vale la relazione (MER~E~S. red. n. 3) 1_ _= log log ~ d - 0(1)

p < ~ P si estragga u n a sueeessione

{q}

ehe soddisfi alla condizione

q~, q~, q~,...

E -1 > O l o g l o g ~ ( 0 > ~ ) q<~q

e del resto a r b i t r a r i a ; i h u m e r i primi p~ r i m a n e n t i siano

{ q*} qi*, ql*, q~*,...

che possono essere in n u m e r o finito o infinito, oppure a d d i r i t t u r a maneanti.

Si segni nel piano cartesiano il relicolato dei punti (R, R'} ore I R ' ~ e I R'I sono o interi della suceessione {q} oppure interi divisibili eselusivamente pei n u m e r i primi di {q*}.

• Per ogni retla del piano, che non sia nd bisetlrice degli assi nd parallela ad alcuno di questi, se essa contiene infiniti nodi (R*, R'*) dei reticolato, la serie

~ I d- 1

convergente >~.

P e r le bisettrici d e g h assi e per le rette parallele agli assi e a di- stanza I RI da questi, la serie in diseorso m a n i f e s t a m e n t e diverge, poichb in questi casi, quando si assbcino le coppie di termini eguali, u n a sua mino- r a n t e ~ la serie divergente

19

(3) E. LANDAU, 0]9. cir. in (~), pp. 73-78.

di due progressioni aritmetiche. Applicazione del melodo di Br.t+n 93

2. In cib ehe segue le lettere latine {ad eeeezione d i e base dei logaritmi naturali) denotano n u m e r i interi, m e n t r e le lettere greehe h u m e r i r e a l i ; P, Ph, q, qh denotano h u m e r i primi.

Cominciamo c o w osservare che se ~ e ~ sono due coslanti positive, esistono infiniti interi n a t u r a l i N che si decompongono in fatlori p r i m i tutti maggiori di

1 .N~(log log N)~.

Basra infatti osservare che per N ~ q - ~ ~ ~ ( l o g l o g N ) ~ - V - o ~ . Volendo e s e m p l i f i c a r e : detto X~ il n u m e r o positivo che soddisfa alla equazione

~(log log X~) ~ - - 1,

1 ogni intero primo p' maggiore di X~ a m m e t t e F unico fattore p' ~p,~(loglogp')~, quindi appartiene alla c a t e g o r i a ' c h e noi consideriamo. Pill in generale, detto Xu il n u m e r o positivo che soddisfa alla equazione

~(log log X,q) ~ g

con g intero positivo, ogni intero h maggiore di Xg ehe si compone di fattori

1

primi tutti maggiori di h~, b un n u m e r o a p p a r t e n e n t e alla categoria in di- scorso. Possiamo a f f e r m a r e a n e h e ehe: Fissato (eomunque grande) u n intero positivo K ( ~ 3 ) , si possono scegIiere le eostanti ~ e ~ in guisa che ogni intero h compreso fra 3 e K si componga con fattori primi tutti maggiori di

h~(log log h)a ;

iufatti se 2 ~-~ ~_ K ~ 2 l, assanto 0~(~> 1) a r b i t r a r i a m e n t e e

P "~ tog log 3 '

ogni intero h eornpreso fra 3 e K si compone al massimo di 1 - 1 fattori primi

1 1

e ciascuno di essi ~ e v i d e n t e m e n t e ~ 2 ~ K ~ h T e (distinti o coineidenti)

quindi maggiore di

i h~(log tog h)a poichb

l < ~ log tog 3 ~<~ ~ log log h ~ ~(log log h)%

94 G. RlocI: Sui grandi divisori primi detle coppie di intevi in posti corrispondenti

3. ]~ nolo ehe p e r Ia s o m m a d e g l ' i n v e r s i dei h u m e r i p r i m i vale l ' u g u a - g l i a n z a (~J[ERTENS) (4 t

(g} N t log log ~ + 0 + ~ . (0 costante)

p~i p

I m m a g i n i a m o di estrarre dalla successione p , , p~, p~,.., dei n u m e r i p r i m i u n a successione infinita di n u m e r i , ordinati per grandezza crescente

{ql q~, q2, qJ,...

in guisa che la serie dei loro inversi soddisfi alla limilazione E 1 > 0 log log ~ + 0(1)

(1)

essendo 0 una costante reale con ~ < 0 < 1 (la limitazione 0 ~ 1 ~ eouseguenza 1 di (M)). I n particolare la I ql potrebbe essere anche la successione p~, P.2, P~,...

di tutti i n u m e r i primi.

P e r le considerazioni del n. 2, fissati c o m u n q u e i n u m e r i positivi ~ e ~, esistono a maggior ragione infiniti interi positivi Q pei quali gli eventuali divisori p r i m i a p p a r t e n e n t i a t q l risultano tutti maggiori di

t Q~(log log Q)~

P e r intendersi brevemente, tall interi si d i r a n n o della specie Q, d u n q u e : Un intero si dirdt della specie Q quando nessuno dei suoi divisori p r i m i si trova in t q l oppure i suoi divisori primi contenuti in t q l risultano tutti maggiori di

I

Q~0Og log Q)~.

In particolare i h u m e r i primi, a partire da u n eerto p~ in poi, sono tutti interi della specie Q, q u a l u n q u e siano a, ~ e la successione l q / fissata.

Fissato u n intero positivo K e o m u n q u e grande esistono infiniti interi della specie Q composti con pi~:~ di K fattori primi, e di pifi esistono infini interi della specie Q composti con pifi di K fattori p r i m i e o n t e n u t i in I q } ; basta osservare infatti che ~ ~(loglog Q ) ~ + ~ p e r Q ~ + ~ .

(4) R )IERTE~S, E i n B e i t r a g z u r a n a l y t i s c h e n Zahlentheorie, ~, J o u r n a l fiir Mathematik ),, Bd. 78 (1874), pp. 46-62; e allehe E. LANDAU, Op. cir. in ¢~), p. 102.

di due progressioni aritmetiche. Applicazioue del metodo di Brun 95 Per note proprietg sui prodotfi (~) abbiamo

e per in (1) si ricava

(2)

- - 2 ~ - 1

q=<f

n (1 °

q<e - - ~ < log',o essendo 8 una costante p o s i t i w opportuna.

~. Veniamo a.d enunciare i due teoremi oggetto d e l l a presente ~[emoria:

TEOnE)~A (A). Siano a, a', b~ b' humeri interi, con a > 0, a' > 0, (a, b ) = 1, (a', b')--~ 1, e consideriamo le due progressioni arilmeliche

(3)

che supponiamo distinte (ciob~ 1 a - - a'] A-] b - - b'[ > 0).

Fissiamo la suecessione l q} di humeri p r i m i (n. 3) e con essa 0 > ~ , e anche due numeri po~itivi ~ e ~, con ~ ~ 1.

Se P(~; e, ~, O) denota il numero degl'interi natm'ali n ' ~ ~ pei quali gl' interi

Q = a n ' + b, Q' - - a'n' -t- b'

[

80~0 ambedue della specie Q [cio~ i loro eventuali divisori primi contenuti

in { q l sono tutti maggiori rispettivamente di

1 1 t

Q}0oglog Q)~ Q,~(logl~g Q')~

vale, per m costante opportuna {indipendente da ~) e ~ > 3:

(4) _P({; =, }, O) < o) l o ~ (log log {)~0~.

TEOREMA {B). - - Se esistono infinili valori n' di n pei quali ambedue gl' interi

O ~ a n ' A - b ~ Q ' = a ' n ' - t - b '

(5) V e d . a d es. 3{. CIPOLT,A, Analisi Algebrica, P a l e r m o , 1921, 1 o. 335.

96 G. RIccI: Sui grandi divisori primi delle coppie di interi in posti corrispondenti

soddisfano alle condizioni det teorema precedente, la seric /]OC~20--1--- log20--1--~

( 5 ) r o _ ° Q

Q,Q,\ Q ÷ Q, Q')

convergente, ~ denotando u n numero positivo quatu~uIue.

Poich~ 7 come abbiamo osservato al n. 37 ogni intero naturale primo, a partire da un certo p~ in poi, ~ un numero della specie Q7 nei due teoremi (A) e (B) enunciati, in cui si pub p o r t e ~---l, 0:--: 1, sono contenuti i seguenti T E o m ~ ( A * ) . - Se P*(~) denota il numero degl'interi n a t u r a l i n ' ~ ~ pei quali i due interi p --~ an' ~- b, p' ~ a'n' + b' sono ambedue primi7 va~e per ~ ~ 3 e o) costanle opportuna (indipendente da ~) (6):

(log log ~)~.

TEORE)cIA

lo -~ p p '

p~lo~

convergenle, ~ denotando u n numero positivo qualunque.

Quando si ponga a = c g ~ - - - 1 , b---0, s---1 il teorema ( B * ) s i riduce al teorema nella forma datagli da B n c ~ e d~ notizia sulla distribuzione delle coppie di numeri primi a differenza fissa ~ b'.

5. I n t e r p r e t a z i o n e g e o m e t r i c a . - - F i s s a t a la successione I ql e le costanti positive a: e ~, con ~ ~ 1, riferiamo il piano ad un sistema ortogonale O(x, y) e consideriamo i punti ( ± Q, ± Q')le cui coordinate siano in valore assoluto interi della specie Q. U n tale sistema discreto (reticolato) di infiniti punti (nodi) ~ simmetrico tanto rispetto a ciascun asse cartesiano quanto rispetto a ciascuna bisettrice y ~ x, y ~ - ~ degli assi.

Le bisettrici y-~-~---x contengono ciascuna infiniti nodi (--+~ Q, ± Q) del reticolato, poich~ contengono fra questi gFinfiniti punti (!-_p, ± p ) con p primo. Ogni retta y----~ contiene infiniti punti ( ± Q, ~) oppure nessun punto del reticolato secondoch~ I~l ~ oppure no intero della specie Q; I0 stesso si dica per le rette x : ~. In ciascuno dei tre casi la serie che ha per termine generale la somma delle inverse delle due coordinate (prese in valore asso.

luto) del nodo, rispettivamente (---~ Q*, ~- 0.*)7 (:i: Q*, ~), (~7 -~- Q*) contenuto

(~) Ved. proposizione analoga (per a ~ a') in V. Bgu~, op. tit. in 0), P. 126.

di due progressioni arilmetiche. Applicazione del metodo di B r u n 97

sulla rettn (qu~tndo su q u e s t a ve ne siano}, e cio~

i~, divergente.

Quando si prenda il car(~#ere della serie in questione a denota~re la densiti~ dei nedi del reticolato contenuti sulla retta, si vede come i teoremi (A) e (B) sopra enunciati dhnno notizia sulla densith dei nodi sopra u n a q u a l u n q u e retta r distinta dalle bisettrici y == ± x e non paratlela ad alcuno degli assi. Infatti se r non contiene due punti di coordinate intere pub con- tenere al pi~ un nodo (+---Q, ~---Q'). Se r contiene due punti di coordinate intere ha il coefficiente angolarc razionale e sin a (sotto forma ridotta~; se OJ (b, b'} ~ uno dei punti a coordinate intere ill essa eontenuti, le equazioni pa- rametriche di r sono

z = a t + b , y - - a ' t + b ' ; essendo ct e a' primi

uguaglianze

fra lore; quando x e y siano a m b e d u e interi, dalle

x - - b _ _ y - - b '

- - t

a cd

risulta che i primi due membri sono interi e quindi a n c h e t 6 intero; d u n q u e tutti e sell i p u n t i (x, y) di r a coordinate intere si ottengono dando a t valori interi.

E b b e n e dal teorema (A) si rieava in mode ovvio t h e :

I1 n u m e r o dei nodi (+~ Q - - at + b, --v Q' ~__ a't -t- b') s u l l a retto~ r (non bisettriee degli assi, nb p a r a l t e l a a,d alcuno di questi) contenuti nel q u a d r a t e avente il centre nell' origine e semidimensione ~(> 3) ~ minore di

to' ~ (log log ~)20~

essendo ¢o' u n a costa nte opportuna.

Dal teorem~ (B) a n a l o g a m e n t e si ricuva:

Se r contiene infiniti nodi {-4: Q*~ ~ Q'*) del reticolato, la serie E /lo~20--I--~ Q* log20-d--~ Q'*)

convergente.

Queste due ultime proposizioni valgono a muggier ragione quando ci si limiti al reticolato costituito dai punti (+__~p~ ± p ' ) colle coordinate intere e (in valore assoluto) n u m e r i p r i m i (atlora ~ da porre 6 : - 1 ) .

R i g u a r d o a q u e s t ' u l t i m o ease e l i m i t a t a m e n t e alle rette y = x + b ' il

A.nrtctl$ di Matematica, Serie IV, Tome 321. 13

98 G-. Ricc~: Sui grandi divisori pri.mi delle coppie di inte,ri iq~, posti corrispondenti

fatto 6 c o n t e n u f o nel t e o r e m a di Bt~u~ ehe al p r i n c i p i o del n. 1 6 ricorda, to p e r b' = 2.

6. L u dimostra.zione del t e o r e m a (A) (il t e o r c m a (B) ne 6 s e m p l i c e con- seguenza) c o n v i e n e ehe v e n g a f r a z i o n a t a col p r e m e t t e r e a l e u n i s e m p l i e i lemma.

LE~I~IA 1 °. - - Se ~, ~, y, ~, ~ sono costanti reali, con ~ ~ 0,, y 5> ~ ;> O, )~ ~ 0 dall' eguaglianzc~

1

k~ -{- 1~ - - (kx %- ~} ~ l l ° g I ° g ( z ~ + : Q I~

(6}

segue

(7) = o( ,0oglog

Si o s s e r v i che nella (6) o c c o r r e l i m i t a r c i ~ q u e i valori di % non infcriori a u n o p p o r t u n o %, p e r cui ),z q - ~ > 0 e log log ()~z + l ~ ) > O.

E s s e n d o p e r la, (6)

log (~,~. + ~) (8) log (k~ -I- ~) - - ~ 1 log log (x~ + ~) I ~

1 1

d(k~-+- ~) - - ~ " I log log (it + ~) I ~+l

si v e d e che ~ d - ~ risultu, p e r x.> xi o p p o r t u n o , f u n z i o n e e r e s c e n t e di k z + e inoltre k ~ - t - ~ - - -t oo p e r 2 " : d - ~ d - o z . E s s e n d o k > 0 si c o n c l u d e che a n c h e ~ r i s u l t ~ f u n z i o n e c r e s e e n t e di z, p e r • ~ x~, e inoltre ~ ~ d - o o p e r '~ ~ -{- oo.

P e r "q ~ ~ t ~ ! risut~a _),

da cui

cio5 (9)

/

log ~ (1

e a n a l o g a m e n t e

(io)

+

Z 3).

l o ~ / ~

/

log ~ --- (1 + o(1)) log ().~ + ~) log x - - (1 + o(1)) log (k~: + iq-

(11)

P e r le (8}, (9), (10) r i s u l t a

log (z~ + ~) (1 + o(t)) l o g ~ = ~ I l o g log {k': + ~) }

_ _ (1 + o(1)) log z (1 + o(1)) - - ~ t log [(1 + o(1)) log ~] I ~

log z

- - ~(log-i~g z)~ (1 q - 0(1)).

di due progressloni aritmetiche. Applicazione del metodo di B r u n 99

Da q u e s t a u l t i m a r i s u l t a

D a l l a (11) o t t e n i a m o

log -:

log log lq - - log ~(lo-gi-og ~)~ + o(1)

---~ log log -c - - ~ log log log • + 0(1)

(12) = log log "~ (1 -4- o(1)).

I n t r o d u c e n d o il l o g a r i t m o in (7), t e n e n d o p r e s e n t i le (tl) e (12) e detto s u n

~" 1, o~teniamo n u l n e r o r e a l e con 0 < ~ ~ ~ - -

log (~7(log log ~)~,) ~ .( log ~ (log log ~)~

- - ~- log x {1 + o(1))

= ( 1 + ~)log': A - ( ~ - - 1 - - s + o(1)) log ~.

u g u a g l i a n z a s e g u e che esiste tin ~Io ~ l e che p e r ~i > ~0

~1+s < ~(log

da cui l ' a s s e r t o .

LE~WA 2 °. - - S e a e y sono costanti positive, con ~ >~ 1, d a l l a relazione 1

(13) ~ = ~(log log. ~)~

segue

{14) ~ , t o g l o g ~ p ~_ o (1~;~) '

Occorre, al solito, l i m i t a r c i a quei valori di ~ p e r cui log l o g ~ > 0 e log log ~ > 0.

D a l l a (13) s e g u e

(15) log ~ - - ]og~ l o g l o g ~ ~--- l o g l o g ~ - - ~ l o g l o g l o g ~ - log~'.

7(log log i)~

D a l l a p r i m a delle (15) a p p a r i s c e ~ f u n z i o n e c r e s c e n t e di ~, e i n o l t r e

~ + - ~ p e r ~ A - ~ . I n t r o d u c e n d o il l o g a r i t m o del p r i m o m e m b r o di (14) t e n e n d o conto di (15), o t t e n i a m o

e poich6, p e r ~ s u p e r i o r e a u n certo ~0, r i s u l t a

3_Iog log~ < ~ log log log .~ + log y < 1

log ~ log log

l(}O (3. RI~ ~(u : S't~g grandi dicisori primi delle topple di interi in posti corrispo~t, de'r#i

per ~ > ~0, essendo ~ ~ t, a b b i a m o (yt'((log log J~) < log ~(1 Iog

da cui

~7(log log ~)~ ~ log~-~

e n e segue la (14).

OSSE~VAZIONE. - - Nelle posizioni dei L e m m a 1 ° e L e m m a 2 ° a b b i a m o

(17} i t + ~ = o long@ "

L E ~ A 3 °. - - Se ~ d ur~ numero reale positivo > y, dalla (13) segue che, per ~ maggiore di u n conveniente ~ , @:

(18) log ( ~ + ~ ) > ~Oog ~og ~)~" log

I n f a t t i p e r la f9) e la p r i m a delle (15) (7

log (t~ + t~) = (1 + o(1))log ~ = (1 + o(1))ytlog togq)~ log log ~

--~(log log ~)~, @ + o(1))

ed essendo ~ > y questo ultimo f a t t o r e finisce col d i v e n t a r e e testa.re > 1 q u a n d o ~ + ~ ; da cui 1' asser~o

LEI~IiVfA 4 °. --- Se s e s' sono due humeri reali, con s ' > s > 0, dalla (13), con ~ ~ 1, segue the per ~ maggiore di u n conveniente ~

(19) {2(X~ + kj f ~°~'°s '~ < ~ .

I n f a t t i p e r il l o g a r i t m o del p r i m o m e m b r o di (19), t e n e n d o conto cli (9) e di (15), si ha

s log log { { log (t~ + ~) + tog 2 1 = (1 + oi1)) s log :q log log

= (t + o(li) ~ log ~ (log tog {}~-=

e poieh~ 1 - - e < 0 e (1 + o(1))s finisce col d i v e n t a r e e r e s t a r e m i n o r e di s' per ~ i n d e f i n i t a m e n t e crescente, esiste u n ~ c o n v e n i e n t e tale che, p e r { > ~ , si h a

z log log' ~ { log (i~ + 1~) -~- log 2 } < :~ log da cui segue la (19).

/

iG)

e a n c h e e v i d e n t e m e n t e

di due progressio,d aritmetiche. Applicazione del metodo di B r u n lOt

LE~MA 5 °. ^-- 8e e e ~ 8ono d u e h u m e r i reali, con ~ > ~ > O, d a l l a (13) segue the, per ~ m a g g i o r e di u n convenietde ~ , ~ (~)

(20) 2 Is log log ~] - - 1 > 2~ log log (2~t -t- ~).

I n f a t t i dalla s e c o n d a delle (15) o t t e n i a m o log log ~ = (t q- o(1)) log log e d a l l a (9)

log log d u n q u e pel second, o m e m b r o 25 tog log (?,-q -t- Ix) =

(21) -=

().~ -t- I~) ---- log log ~ + o(1);

di (20) a b b i a m o 2~ log log r l -t- o(1)

2 (i + o(1)) log log + o0) 28(1 q- o(1)) log log

2s log log ~ - - 2 { ~ - - 5(1 + o(1)) 1 log log {.

P o i e h ~ z > 5, p e r r~ m a g g i o r e di u n c o n v e n i e n t e ~3 r i s u l t a 21 - - 5(1 + o(t)) } log log > 3 e dalla (21) si r i c a v a p e r ~ > ~3

25 log log ( ~ -4- ~) < 2~ log log ~ - - 3 < 2 [~ log log ~] - - 1.

c o m e v o l e v a m o d i m o s t r a r e .

I L e m m a 6 ° , 7 ° e 8 ° v e n g o n o presi tall e quali dalla citata dimostra- zione di L A ~ O A U (s) del t e o r e m a di BRUX.

L E ~ A 6% --- S e c e m sono i n l e r i posilivi, e m ~ dispari, r i s u l t a

(22) E (--1)~ / ~>0.

P e r m - - l ~ c il p r i m o m e m b r o di {22) vale ( 1 - - 1 ) ~ 0 e la (22) soddisf~tta. P e r m - - 1 ~ ~ l~ (22) ~ soddisfatta poieh~ i t e r m i n i della s o m m a c

al p r i m o m e m b r o , in n u m e r o dispari e a segni Mtern~ti, v a n n o c r e s c e n d o in v a l o r e assoluto e l ' u l t i m o ~ positivo. P e r ~ < m - - 1 < c r i s u l t a

E ( - - 1)' = - - E (-- 1) a = E ( - - 1) ^{T M} > 0,

l = 0 l = m l = m

poieh6 n e l l ' u l t i m ~ s o m m a il p r i m o t e r m i n e ~ positivo e tutti i termini, a segni alternati, d e c r e s c o n o in valore assoluto al c r e s e e r e di I.

(7) Col simbolo [~] si d e n o t a la purte i n t e r a del n u m e r o reale c~.

(s) V e d . E. LANDAU, op. cir. in (t), 139. 71-72.

tO2 G. gw(~'~ : Sui grandi diviscwi primi deUe coppie di i,nteri in posti corrisponden ti

LEIv[hiA 7 °. - - Denotando S,, la funzione simmelrica elemenlare di grado n d i s h u m e r i positivi ~,, ~ , . . . , ~,, {1 ~ n < s), risulta:

{.23) S , ~ n! "

I n f a t t i hello s v i l u p p o di S , " --- (~, -t ~ + . . . + ~)" c o m p s r i s c o n o tutti i t e r m i n i di S,, c i a s c u n o col c o e f f i c i e n t e n u m e r i c o n ! .

LElV~A 8% - - S i a ~ u n numero reale, c e d h u m e r i interi, con ~ ~ O, d ~ O. II numero h degl'inleri n the verificano le condizioni

n ~ c ( m o d d ) , O < n < ~ i differisce da h- per meno di 1, cio~

(24) d ~ + 1.

Se d - 6 intero, g F i n t e r i positivi ~< ~ si d i s t r i b u i s c o n o in d sistemi com- pleti di resti (mod d); r i s u l t a e s a t t a m e n t e

h ~ - ~ , e la (24) 6 soddisfatta.

Se ~ n o n 6 intero, g l ' i n t e r i positivi ~< ~ si d i s t r i b u i s e o n o in sistemi e o m p l e t i di resti (rood d} eoll' e v e n t u a l e avanzo di q u a l e h e intero

e fr8 q u e s t i interi (25) 0 c o n t e n u t o 81 p i g u n intero ~= e (rood d). We s e g u e ehe q u a n d o d- n o n 6 intero r i s u l t a

h = [~] o p p u r e h : - [ ~ ] + 1 ; ma, in q u e s t o easo 6 e v i d e n t e m e n t e

1 < < q - l ~ . d--t-1 d

d a cui s e g u e l ' a s s e r t o .

7. D i m o s t r a z i o n e del t e o r e m a (A). - - S e n z a l i m i t a r e la g e n e r a l i t ~ nel caso a ~ a' si p u b s u p p o r r e a ~ a', e nel ca so a = a' si pub s u p p o r r e b ~ b ' ; o r d i n a t e cosl le d u e p r o g r e s s i o n i a r i t m e t i c h e (3) esiste u n intero n 0 tale che sia (26) O ~ a ~ - t - b ~ a ' n q - b ' per n ~ n o .

di due progressioni aritmetiche. Appticazio+te det metodo di B r u n 103

Quando sia q > a e q > cd (q primo), eiascuna delle due eongruenze (27) a x + b ~ O (modq), a ' x + b ' - ~ O (modq)

amlnette u n a ed u n a sola r a d i c e ; se le due radici sono uguali (modq) ~ ne- c e s s a r i a m e n t e a b ' - a,'b ~ 0 (mod q); ne segue che denotando % l'h-esimo n u m e r o primo della, successione { q l fissata al n. 3, e q~+~ il minimo primo dispari di t q l che soddisfa alla condizione

(2s)

le (27) scritte seeondo (mod qh), h : > s + 1, ammettono due radiei distinte, u n a per ciascuna, e inoltre per a n + b > q.++~ ~ soddisfatta la (26).

Siano ~, ~ e z tre h u m e r i positivi ehe soddisfano alle limitazioni e re- lazioni

1

(29) qs+~ S~_ce~ -4-b=(c~z -4- b) ~ll°gl°g(a~+b) l ~ a ' ~ -t-b < (~ + b

e del resto q u a l u n q u e tin seguito fisseremo ~ ilt funzione di ~, ma p e r adesso conviene pensarli indipendenti). Si osservi ehe il n u m e r o positivo -c deve essere seelto abbastanza grande in guisa che l ' e s p o n e n t e risulti m i n o r e di 1 , eio~ ~ { log log (ax + b) f ~ > 1, cib ehe avviene per ": > z0, con % conveniente.

I n o l t r e dalle (29) segue ~ < ~: < ~.

Se R(~, z; ~, ~, 0) denota il n u m e r o d e g l ' i n t e r i n' pei quali • < n ' ~ e an'-+-b, a ' n ' - t - b ' sono a m b e d u e della specie Q, si ha evidentemente

(30)

Sia qr il massimo primo di l q t che non supera a ~ + b e denotiamo con A(~) il n u m e r o degl' interi n per cui

O~_. n ~ , a n + b - I - O e a'n + b ' - t - z O (modqh), h - - - s + l , . . . , r.

Ogni coppia a n ' + b, a'n'-4-b' (T. < n ' ~ ~) computata in R(~, ~; % ~, O) tale ehe ogni divisore primo a p p a r t e n e n t e a { q l di uno almeno dei due interi a n ' + b, a'n' + b' ~ maggiore di

1

a~t2 -4-b = (az -I- b) ~t log log (a~ -+- b) t a

eio6 maggiore di q,., e quindi ciascuno non divisibile per qh(h = s + 1,..., r).

I n eonseguenza ogni tale coppia c o m p u t a t a in R(~, r.; % ~, 0} risulta corn-

104 G. R~ecI: Sui grandi divisori pri,mi delle coppie di i,ute,ri ,i~t post,i cor,risponde,tdi

putata una volta ill A(~); ne segue e v i d e n t e m e n t e

0)<

e per la (30)

(31) P(~; ~, 9, 0) ~ ~: + A(~).

I1 nostro problema si riduee a maggiorare convenientemenle la funzione A(~)~ la quale~ u n a volta fissate le progressioni aritmetiche (3)~ fissata la suecessione l q l e in conseguenza 0, fissate le costanti ~ e ~, dipende da e da ~, e in definitiva soltanto da ~ non appena avremo fissato ~ ~-~(~)come funzione di ~.

Valutazione della [unzione A(~). I n d i e h i a m o con ~{d) il n u m e r o dei fattori primi distinti di u n q u a l u n q u e intero d > 0 . Supponiamo essere d = q~qk...q~, con i, k, ..., l tutti diversi e maggiori d i s (d risulta non divisibile per a l e u u quadrato); allora con B(d, ~) denoteremo il n u m e r o degF interi positivi n ~ pei quali u n a congruenza per ciascfina delle ~(d) linee seguenti ~ soddisfatta

an - 4 - b ~ O oppure a'nq-b'----O (modq~)

• , , • , • , • ° . • , , ° • • . * * * * • • , • •

an - 4 - b ~ O oppure a ' n + b ' - ~ 0 (lnodqz)

eonvenendo di porre B(1, ~ ) = [~]. Ciascuna congruenza ammette, secondo il proprio modulo~ u n a ed u n a sola radice e le radici sono distinte per !e con- gruenze della stessa linea (si ricordi la condizione (28) e il fatto che i, k,...~ l sono tutti > s + 1); inoltre in 2n@ modi diversi esse possono venire associate a f o r m a r e sistema l i n e a r e ; per note propriet~ e l e m e n t a r i sulle congruenze lineari, ciascun sistema a m m e t t e u n a radice (rood d). D u n q u e in ogni sistema completo di resti (mod d) abbiamo 2 a(a) interi, ciascuno dei quali, quando sia ~<~ da computarsi in B(d, ~). T e n e n d o eonto de1 L e m m a 8 ° (n. 6 ) i l n u m e r o h d e g F i n t e r i positivi n~< ~ che soddisfano ad uno dei 2~)(a) sistemi lineari verifica le limitazioni

l < h < ~

d ~ + - 1

da cui segue

(32) 20(d)(~ - 1 ) < B(d, ~ ) ~ 2a(d)(~ - A-1).

Veniamo ad esprimere A(~.) m e d i a n t e u n a eombinazione zioni nella forma B(d, ~). Poniamo

lineare di fun-

qs+lq~+~...q,.=k

di due progressioni a.~'#metiche. Ap2)licazione del metodo di Brun 105

e dimostriamo ehe vale l'identit'h (~):

t33) A(~) = v tqd}B(d, ~)

d ] £

= B ( 1 ,

+ { ) + ... +

• • , , , • • • ° • , • • . . . . , • • • .

+ ( - ^{. . .} q,.,

{).

Infatti, ogni intero n, con 0 ~-. n ~ { , computato in A ( { ) s i trova com- putato in B(1, {) ... [{] m e n t r e non ~ computato in a l c u n termine B(d, {) p e r d > l, poich~ i due elementi delle progressioni a n + b, a'n d-b' ad esso cor- rispondenti non sono divisibili per alcuno dei numeri primi q~+~, qs+~,,..., q~..

0 g n i intero n, con 0 < n ~ < ~ non eomputato in A(~)~ tale ehe, p e r cia- scuno di c ( l ~ < c ~ r - - s ) h u m e r i primi diversi qh., qn~,..., qh¢ scelfi fr~ i qs+t~..., q,., una ahneno delle due eongruenze

a n + b - ~ O , a ' n + b ' ~ O (mod qh) ( i = l , . . . , c)

soddisfatta; un tale intero n risulta eomputato, al seeondo membro di (33), una volta in eiaseuno dei termini B(d, ~) pei quali d sia divisore del pro- dotto q~,qh.~.., q ~ . Tenendo eonto del eoeffieiente Ix(d) a moltiplieare, un tale n u m e r o n risulta eomputato

(34) Z ~(d) = 0

d/ph, ...pho

volte (~0).

A1 seeondo m e m b r o della (33) si trovano r - - s ~--1 gruppi di termini, ciascun gruppo essendo costituito dai simboli ( ... 1)a(d)B(d, ~ ) e o r r i s p o n d e n t i allo stesso vatore ~(d) (numero dei divisori primi d i d ) , e i gruppi risultando di segno alternato. L ' o s s e r v a z i o n e fond~mentale su eui si b a s a il metodo di B ~ u ~ ~ la s e g u e n t e :

Troncando la s o m m a al secondo membro di ( 3 3 ) a l h t f i n e di u n gruppo positivo, la s o m m a ne r i s u l t a a u m e n t a t a o p e r lo meno n o n d i m i n u i t a (corn-

(~a) Con ~(a) denoti~mo, c o m e d ' u s o , la funzione di ~[~Smus, cio~ ~ ( a ) = l p e r a ... 1;

p{a) z ( - - 1)r q u a n d o a ~ il prodotto di r(>= 1) fattori primi distinti; u(a) ~ 0 in ogni altro caso, ciob q u a n d o a ~ d i v i s i b i l e pel q u a d r a t o di un n u m e r o primo.

Con E si i n t e n d e la s o m m a estosa a tuf.ti i d i v i s o r i d di k.

I '°) L ' a n n u l l a r s i della somm~ a] primo m e m b r o di (3~) ~ p r o p r i e t ~ f o n d a m e n t a l e della funzione di M S m u s (red. ad esempio E, ~JANDAU~ Op. cir. in (~), p. 20):

p.(d) ~ 1 (per a : - l ) , ~ - 0 (per a ~ l ) . d]a

A n t t a l i d i M a t e m a t i c a , . S e r i e I V , T o m o X I . l l

t06 G. RIccI : Sui grandi divisori, primi delle coppie di interi i~t posti covrispondetdi

p r e n d e n d o cosi anche il caso in cui la t r o n c a t u r a si bperi alia fine togliendo ad essa ogni effett0), cio6 vale la d i s u g u a g l i a n z a

(35) A(~) ~ Z tgd}B(d, ~J,

dUc

~(4) .< m

essendo m u n q u a l u n q u e intero dispari (che alla fine occorrerh a s s u m e r e come o p p o r t u n a funzione di ~).

Infatti, ogni intero n~ con 0 < n ~ ~, c o m p u t a t o in A(~) risulta, come sopra abbiamo veduto, c o m p u t a t o u n a volta in B(1, ~;) e n o n nei t e r m i n i r i m a n e n t i . Ogni intero n, con 0 .~_ n ~ ~, n o n c o m p u t a t o in A(~) risulta, come sopra abbiamo veduto, c o m p u t a t o al secondo m e m b r o u n a volta in c i a s c u n t e r m i n e B(d, ~) per cui d divide il prodotto qh~qh~...qh~, colla condizione n u o v a ulteriore f~(d)< m. Nel g r u p p o di t e r m i n i c o r r i s p o n d e n t i al valore f ~ ( d ) : l ( ~ m) tale intero 6 c o m p u t a t o (tenendo conto del segno) e s a t t a m e n t e

volte; d u n q u e ogni tale intero n risulta, al secondo m e m b r o di (35), c o m p u t a t o

= ' (;)

d / p h , .~, P h c 1::::~0

o(a)<m

volte. )In p e r il Lemma 6 ° (n. 6) questa u l t i m a s o m m a 6 non negativa e in conseguenza la (35) risulta dimostrata.

Nella (35) sostituiamo a g l ' i n t e r i B(d, ~) i valori maggiori oppure m i n o r i assegnati dMla (32), secondoch~ ~ ( d ) - - + 1 oppure ~ ( d ) ~ - - - 1; il secondo m e m b r o di (35) ne risulta cosi aumentato. T e n e n d o conto che i t e r m i n i B(d, ~) p e r t 2 ( d ) : h sono e s a t t a m e n t e (r h s) risulta

Igdt'2~(d) ~--1 ( ) (36) A ( ~ ) l " f ~ ~ -4- Z 2 h r - - s

- d l k h==0 h "

0 ( d ) < m

I1 p r o b l e m a ~ d u n q u e ridotto a ma,ggiorare il secondo membro di (36).

R i g u a r d o al p r i m o teranine abbiamo

d]I~ d d]k d n : = : m d l k d

O(d} < m O(d) : m

di due progressioni aritmetiche. Applicazione del metodo di Brt~n 107

{1' u l t i m a s o m m a e s s e n d o da c o n s i d e r a r s i n u l l a p e r m ~ r - - - s - b 1)

= 1] 1 - - - - E ( - - 1 ) " 2 " E -

fl(d) = n

(37) = lI 1 - - - - E ( - - 1 ) ' 2 " S . ,

ove S,, deno~a la f u n z i o n e s i m m e t r i e a e l e m e n t a r e di grado n degli r - - s nu- m e r i positivi

1 1

- - ,

q ~ + i ' " " q r

D e n o t a n d o e la b a s e dei l o g a r i t m i n a t u r a l i ,

h = O

e, t e n e n d o eonto del L e m m a 7 ° (n. 6), a b b i a m o : S" < ;~T <-~ n ) , q u i n d i

(3S)

n = m = n = m \ ~ - ~ - ] = n = m \ ~ ] "

I

R i g u a r d o al s e e o n d o t e r m i n e del s e c o n d o m e m b r o di (36), poichb r - - s ~ 2 , r < p , . ~ q , . < a ~ + b ,

a b b i a m o :

(39)

,,=o < 2 _{h = O} " = _{h 0 h ]} < _{- - =}

m - 1 ~ , m _ _ 1

2"* E r a = 2 "~ < 2 ~ ' r m < { 2 ( a ~ - b ) lm

- - h = 0 ~' - - :t

T e n e n d o conto delle (37), (38) e (39) nella (36) a b b i a m o :

A q u e s t o p u n t o c o n v i e n e a p p l i c a r e il t e o r e m a di MER~E~S r i c o r d a t o al n. 3 e la (2) (n. 3). P e r la (M) esiste u n a c o s t a n t e p o s i t i v a ~,, che conve~

n i a m o di a s s u m e r e in ogni caso m a g g i o r e di 2, p e r ia q u a l e (41) 2eS~ = 2e ~, 1 ~ $, log log (a.~ + b) ;

qs~.i~q<a~+b q

1 0 8 @. RICC~ : Su, i gra~t di divisori p r i m i delle coppie di i,~t teri i n posfi corrisl~o~ d,e~/i

e per lt~ (2) esiste u n ~ c o s t a n t e positiva ~ p e r cui

q.,.+i~q<= av I +.b log'S0 (a'q+b) "

L ' i n t e r o dispa,ri m 6 c o m p l e f a m e n t e a r b i t r a r i o ; q u a n d o soddisfi alla con- dizione m > 28i l o g l o g (av? -! b}, p e r la s o m m a f o r i a al secondo m e m b r o di (40) abbiamo

(,3) ,

D a l l a (40) t e n e n d o conto della (42) e della (43) o t t e n i a m o f i n a h n e n t e (44) A(~) < log20 ( a - b ) q- ~,7, -4- I 2(a~q q- b) 1 '"

Valutazione della funzione P(~; a, ~, 0). I n t r o d u c e n d o la (44) in (31) ab- biamo

(45) P(~; ~, ~, 0) < • + fog20 (~.~-~ b)-~-V + 1 2(,~ + b)}"

ore, riepiloga,ndo~ i h u m e r i qs+{, ~, z e ~ soddisfano alle (28) e (29), m e n t r e l ' i n t e r o d i s p a r i m e la c o s t a n t e g{ soddisfano alle d i s u g u a g l i a n z e

(46) m > 2 ~ log log (a~ q- b), ~, > 2.

P o n i a m o adesso ~(~) e m(~) come funzioni di ~ scelte in guisa che p e r

> ~o e o n v e n i e n t e le (29) e (46) siano tutte s o d d i s f a t t e ; o p p o r t u n a m e n t e scelte tali funzioni siano

3_

~47) "q ~ ~'(log log ~)~ m --~ 2[s log log ~] - 1

COIl

(48t ~ > ~ , v > Max (2~, ~).

": r i s u l t a f u n z i o n e di ~ e o m p o s t a m e d i a n t e la "~(~) a t t r a v e r s o la (29) e de- f i n i t a p e r ~ > ~ e o n v e n i e n t e .

P e r 1' Osservazionv dopo il Lemmc~ 2 ° (n. 6), essendo ~ - > ~ risul~a

( )

o ~

' : ~ O log. z~ , ~':-4-b=:: ~ ,

d u n q u e si pub s c e g l i e r e u n n u m e r o positivo ~o a b b a s t a n z a g r a n d e in guisa che p e r ~ > ~0 si abbia, in p r i m o luogo poich6 az + b~-q-~--~ p e r ~ - - q -

l log log (az -+- b) }c, > 1 e a n c h e

ano q - b z< q~+~ < q,+~ -<- a~ q- b < a~: -1- b < a~ + b,

di due progressioni aritmetiche. Applicazio,ne del metodo di Brun 109

e p e r il L e m m a 5 ° (n. 6), essendo z > ~ ,

2 [s log log ~] - - 1 > 2~, log log (a~ ~t- b).

P e r ~ > ~0 r i s u l t a n o eosi v e r i f i c a t e tutte le condizioni (29) e (46).

F i s s a t e con le (47) le f u n z i o n i ~l(~} e m(~), p e r ~ > ~0 la, (45) ei dh

I1 Teorema (A) r i s u l t e r h d i m o s t r a t o n o n a p p e n a a v r e m o p r o r a t e t h e ogni t e r m i n e al seeondo m e m b r o di (49) ~} minore, p e r ~ > ~z, di

tog~0 ~

c o n ~3 e o s t a n t e positiva o p p o r t u n a . E s a m i n a n d o c i a s c u n t e r m i n e in d i s e o r s o : P e r 1' Osservazione (n. 6)

(5o -

P e r il Lemma 3 ° (n. 6) 6 con ~ > ~.2y 2° e ~ > ~3 c o n v e n i e n t e

~-2~ ~ (log log ~)~0~

(51) ~og~0 ( ~ ~ b) < ~ ~ "

R i g u a r d o al terzo t e r m i n e , essendo 2~ log 2 > 2 ~ log 2 > 4 log 2 > 2, a b b i a m o

(52)

R i g u a r d o a l l ' u l t i m o t e r m i n e , p e r it Lemma 4 ° (n. 6}, det~o s' u n n u m e r o positive p e r eui y > s ' > 2z (si r i c o r d i la s e e o n d a delle (48)), r i s u l t a p e r ~ > ~4 e o n v e n i e n t e

(53' / ~(~ - ~ ) }2sl°gl°g~ < ~ St (~ < 1).

L e r e l a z i o n i (50), (51), (52), (53) portarm a c o n e l u d e r e t h e p e r ~ > ~ t ~ = M a x (~o, ~ , ~-4)) v a l e la (4) deI Teorema (A) (n. 4}; eel1' a u m e n t a r e even- t u a t m e n t e ta c o s t a n t e o~ la (4) stessa vale p e r ~ ~ 3.

I1 Teorema (A) r i s u l t a cosi dimostrato.

8. D i m o s t r a z i o n e del T e o r e m a (B). - - P e r n positive e m a g g i o r e di am- b e d u e gl' i n t e r i 2 I b [ e 2 ] b' I r i s u l t a

0 < c t - - ~ n < a , n q - b < ( a + l ) n 0 <

(1)

110 (-I. Rt~:~(:'~ : ,~,~t,i gra,~tdi divisor,i p~'i~r~,i delle col)l)ie di i,~teri i~t posti cor~'isl)o~t, de,~tti ecc.

e no segue, e s s e n d o Q = a n ' + b , O ' = a ' n ' 4 - b ' , n ' > 2 [ b ! . n ' > 21b'!, : j < 0 < l : 1

Q ~Zt

o r e ~, con 0 < 8 < e, ~ c o m u n q u e fissato e 8 4 ~ c o s t a n t e o p p o r t u n a . A n a l o g a m e n t e

log20--l--s Q' log20-1-~ ~'

Q, < ~ #lb r

d u n q u e il t e r m i n e g e n e r a l e della, serie (5) (n. 4), a p a r t i r e d a u n certo posto, n o n s u p e r a la quantit/~

log20--1- .~ 'r#

86 Tt'

con 86 c o s t a n t e opportuna~ e il t e o r e m a r i s u l t a d i m o s t r a t o n o n a p p e n a a v r e m o p r o v a t o c h e l a serie

(54)

i~ c o n v e r g e n t e .

P e l Teoremc~ (~) a b b i a m o

log2e ~'

W' '~?/

r ~-- P ( n ' ; e, ~, 0) < ¢o ~o~:~' (l°g l°gn')2°~'

d a cui segue, nel caso t h e esista a l m e n o u n a coppia (Q, Q'), eio~ sia r > 0:

log20--1--8 q,, ~7 log,20--1-z ~# 1 o~ 7 m~7

~' (log log ~,,)2(t~ <~ r logl+x ~.~i < r l o g l + ~ O' + 1) ove x, con 0 < x < 8 , b del resto q u a h n q u e . Ncl

eoppie (Q, Q'), l a c o n v e r g e n z a d e l l a serie (~L)

0o i

XI

~ 1 ~" l°g 1+× (r + 1)

caso c h e esistano i n f i n i t e

c o n d u c e a l l a c o n v e r g e n z a d e l l a seric (54).

I1 Teorema (B) r i s u l t a cosi d i m o s t r a t o .

(~) Ved. ad es. M. CIPOLLA, op. cir. in (~), p. 259.