Introduzione ai sistemi lineari 22/09
Riassunto
Il seguente sistema con 3 equazioni e 3 incognite:
x + 2y = 1
−x + 2y + 2z = 0 x − y − z = 3
è equivalente all’equazione matriciale AX = B dove
A =
1 2 0
−1 2 2 1 −1 −1
, X =
x y z
, B =
1 0 3
. Visto che det A 6= 0 , la matrice inversa A−1 esiste e c’è un’unica soluzione X = A−1B al sistema (segue che x = 6 , y = −5/2 , z = 11/2 ).
Anche il sistema omogeneo AX = 0 (stessi coefficienti a sinistra, ma zeri a destra) avrà un’unica soluzione X = A−10 = 0 , ossia quella banale x = y = z = 0 .
Invece, la matrice 3×3 associata al sistema omogeneo
2x − y − z = 0
−x + 2y − z = 0
−x − y + 2z = 0
non è invertibile. Il sistema diventa un’equazione
x
2
−1
−1
+ y
−1 2
−1
+ z
−1
−1 2
=
0 0 0
tra vettori colonna. Ha un numero infinite di soluzioni del tipo x = y = z = t per qualsiasi t (ad es. t = 1 ) Se l’equazione AX = B (con B 6= 0 ) non ha nessuna soluzione X , il sistema lineare si dice inconsistente.
