Sistemi Lineari

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Sistemi Lineari

Sistemi lineari

 Si definisce lineare un sistema di n equazioni in n incognite lineari

 Un sistema lineare si dice omogeneo se Ax=0

 Rango: si definisce rango di una matrice il massimo numero di righe indipendenti che la matrice possiede, cioè il massimo numero di righe diverse da 0. Per ottenere il rango si una matrice la matrice dovrà essere sottoposta a delle trasformazioni elementari sulle sue righe, in modo da ottenere una matrice triangolare inferiore o superiore costituita da 0. Ossia:

esempio

Se avessimo avuto dopo n riduzioni una matrice così:



Un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può scrivere nella forma matriciale:

Esempio



Teorema di Rouchè - Capelli: Un sistema lineare ammetterà soluzioni se e solo se il rango della matrice A è uguale al rango della matrice completa (A | B).



Teorema di Rochè – Capelli (2): Un sistema, se ammette soluzioni, avrà

∞

^n-q(A)soluzioni, con n = al numero dei parametri e q(A) = al rango della matrice



Regola di Cramer: Dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Se il determinate della matrice dei coefficienti è diverso da 0, esisterà allora il det A ^-1 . La soluzione delle n incognite sarà allora:

Esempio

1

1 Le colonne della matrice sono i tre parametri: x,y,z

2 per risolvere la x ho sostituito la colonna delle x con la colonna dei termini noti, e cosi via …

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Sistemi Lineari

nota 2

2

 Metodo di Gauss/Metodo di Gauss – Jordan: con il metodo di Gauss cerco di ottenere nella parte di matrice dei coefficienti una matrice triangolare superiore o inferiore, mentre nel metodo di Gauss – Jordan cerco di ottenere nella parte di matrice dei coefficienti una matrice diagonale.

 Due sistemi di dicono equivalenti se hanno le medesime soluzioni

 Operazioni elementari: Le operazioni elementari che si possono eseguire sulle righe di una matrice sono:

 Scambio di due righe

 Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo

 Somma a una riga di un’altra riga moltiplicata per uno scalare