Tracce di Elementi di didattica del calcolo numerico

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Elementi di didattica del calcolo numerico

Percorsi abilitanti per l’insegnamento

Prof. Marco Vianello - Dipartimento di Matematica aggiornamento: 30 aprile 2014

1 Sistema floating-point e propagazione degli errori

Lezione 2

1. si mostri (con qualche esempio) che ogni numero reale si pu` o anche scrivere (rappre- sentazione normalizzata a virgola mobile in base β) come

x = sign(x)β

(0.d

. . . d

. . .)

= sign(x)β

X

d

β

d

∈ {0, 1, . . . β − 1}, d

6= 0, dove chiamiamo P

j=1

d

β

mantissa e p ∈ Z esponente della rappresentazione; a cosa serve la normalizzazione d

6= 0?

2. la mantissa di un numero reale sta in [0, 1], ma non `e la sua parte frazionaria 3. i numeri irrazionali hanno parte frazionaria (e mantissa) infinita

4. si studi l’insieme dei numeri floating-point

F (β, t, L, U ) = {µ = ±(0.µ

µ

. . . µ

)β

, µ

∈ {0, 1, . . . , β−1} , µ

6= 0 , p ∈ [L, U ] ⊂ Z ^} traccia:

• card(F) = 1 + 2(β − 1)β

(U − L + 1) (sugg.: F `e simmetrico, F

= −F

)

• min F

= β

(sugg.: chi `e la minima mantissa?)

• max F

= β

(1 − β

) (sugg.: utilizzare la somma geometrica per calcolare la massima mantissa)

• i numeri floating-point sono razionali

• si rifletta sul fatto che la densit`a `e variabile calcolando la distanza tra numeri macchina consecutivi; dove e come cambia tale densit`a?

• si rifletta sul concetto di raggio assoluto e relativo dell’intorno di approssimazione corrispondente ad ogni numero macchina, calcolando la precisione di macchina ε

che `e il massimo errore relativo di arrotondamento a t cifre di mantissa

• quando l’intorno associato ad un numero floating-point non `e simmetrico?

• quali sono i numeri reali rappresentabili (ovvero approssimabili per arrotonda- mento a t cifre di mantissa) tramite questi numeri floating-point?

1

argomenti e quesiti contrassegnati da

sono pi` u impegnativi, se non si `e in grado di fare la dimostrazione bisogna comunque sapere (e saper usare) gli enunciati e capire di cosa si sta parlando

1

5. si disegnino F(10, 1, −1, 1) e F(10, 2, −2, 2); perch´e i numeri floating-point contingui ad 1 sono (in notazione posizionale classica) nel primo caso 0.9 e 2 (non 1.1) e nel secondo caso 0.99 e 1.1 (non 1.01)?

6. i numeri floating-point “grandi” (in modulo) sono interi e hanno moltissime cifre nulle;

in un sistema floating-point con t cifre di mantissa in base β, i numeri interi con pi` u di t cifre vengono arrotondati (se rappresentabili)

7. la precisione di macchina, ε

= β

/2, non `e il pi` u piccolo numero floating-point positivo (che invece `e ...)

8. si discuta un modello di codifica dei reali in base 2 con una sequenza di 64 bit, la cosiddetta “precisione doppia”

(traccia: riservando un bit per i segno, 52 (+1) bit per la mantissa che `e come avere 53 bit perch´e la prima cifra di mantissa deve essere 1, e 11 bit per l’esponente di cui 1 per il segno e 10 per il valore assoluto, si calcolino la precisione di macchina e gli estremi L ed U dell’intervallo degli esponenti; quali sono gli ordini di grandezza di ε

, max F

e min F

in base 10?)

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