Esercizi preparatori al secondo parziale
1. Sia f (x) =r 1 − x
1 + x Allora la derivata della funzione inversa f−1(y) calcolata in y0= 1
√3 vale
(a) √ 3 (b) 2√ 2
(c) 3√ 3 (d) √
2
2. Sia: I = Z 2
1
xp
x2− 1 allora
(a) I =√ 2 (b) I =√
3
(c) I =√ 5 (d) I =√
7
3. Sia f (x) = Z 2x
0
pt4+ 1 dt allora f0(0) =
(a) I = 4√ 2 (b) I = 0
(c) I =√ 2 (d) I = 2√ 2
4. Dato il sistema lineare
3 x1− 5 x2+ 2 x3+ x4= 10 2 x1− 3 x2+ x3− x4= 11 x1− x2+ 3 x3+ 2 x4= 0
allora possiamo dire che il sistema ammette
(a) infinite soluzioni della forma x1= 21 + 19α, x2= 9 + 10α, x3= −4 − 5α, x4= 3α (b) la sola soluzione x1= 2, x2= −1, x3= 1, x4= −3
(c) infinite soluzioni della forma x1= 19α − 18, x2= 10α − 9, x3= 7 − 5α, x4= 3α (d) infinite soluzioni della forma x1= 22 + 19α, x2= 9 + 10α, x3= −4 − 5α, x4= 3α 5. lim
x→0
x ln(1 − x) + x ln(1 + x) x√
1 − x2− x√
1 + x2 = (a) ∞
(b) 0
(c) 1
(d) non esiste
6. L’equazione x5− 5x − 5 = 0 (a) ha 5 radici reali (b) ha 3 radici reali
(c) ha una radice reale positiva (d) ha una radice reale negativa
7. La matrice
1 a 2
−a 1 1
−1 1 a
ha un autovalore uguale a 2 per
(a) a = 2 (b) a = 3
(c) nessun valore di a (d) a = 0
8. Se f (x) =p
9 + x2, x ∈ [0, 4] allora la tesi del Teorema di Lagrange `e verificata per (a) x =√
3 (b) x = 3
(c) x =√ 2 (d) x = 2
1
9. Si consideri la funzione f (x) = 1 x
r x − 1
x + 1, x ∈ [1, ∞[.
(a) Si provi che esiste x0∈ [1, ∞[ tale che f(x) `e strettamente crescente per x ∈ ]1, x0[ (b) Si provi che f (x) ≤ f(x0) per ogni x ∈ [1, ∞[
(c) Si calcoli il valore dell’estremo M = f (x0)
(d) Si scriva l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) in x = 3/2 (e) Si calcoli
Z 3 x0
f (x)dx
(f) Si provi che f (x) `e invertibile per x ∈ ]1, x0[
(g) Detta f−1(y) l’inversa di f (x) ristretta a ]1, x0[ si calcoli:
Z f(x0) f(1)
f−1(y)dy (h) Si provi, senza tentare di calcolarlo, che f (x) ha un unico punto di flesso
10. Sia f : R → R una funzione di classe C2 per cui esiste a ∈ R tale che f(2)(x) ≥ a > 0. Si dimostri che
x→∞lim f (x) = ∞
2
