CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA
FOGLIO DI ESERCIZI # 10– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011-2012
Esercizio 10.1 (9.7). Date le matrici
A =
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
B =
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
C =
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.
b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.
c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.
Esercizio 10.2. Sia T l’endomorfismo di R
3definito da
A =
1 1 0 0 3 0 0 0 2
a) Stabilire se esistono autovettori di T ed eventualmente determinarli.
b) Stabilire se T `e diagonalizzabile.
c) Determinare la base rispetto alla quale T ha matrice associata D diagonale e determinare la matrice diagonale D e la matrice P diagonalizzante (cio´e tale che P
−1AP = D).
Esercizio 10.3 (9.8). Si consideri la matrice
A =
0 6 0 1 0 1 1 0 1
a) Determinare autovalori e autovettori di A.
b) Stabilire se la matrice A `e diagonalizzabile.
Esercizio 10.4 (Esercizio 9.2). Sia T : R
3→ R
3l’applicazione lineare definita da T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)
a) Si determinino gli autovalori di T .
b) Si determinino gli autovettori e gli autospazi di T .
c) Si stabilisca se T `e diagonalizzabile, e in caso positivo si determini la matrice P diagonalizzante.
Esercizio 10.5 (Esercizio 9.13). [Esercizio 21) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato]
Discutere la diagonalizzabilit` a delle seguenti matrici al variare del parametro reale k.
A =
1 1 0 0 k 0 0 0 2
B =
1 1 0 0 k 1 0 0 1
C =
3 1 5 0 k 4 0 0 1
D =
1 1 0 0 k 0 0 0 1
Esercizio 10.6. Sia
A =
1 0 0
0 1 3
1 1 −1
la matrice associata all’applicazione lineare T : R
3→ R
3rispetto alla base B = { 1, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 1, 1) } a) Si determinino gli autovalori di T .
b) Si determinino gli autovettori e gli autospazi di T .
c) Si stabilisca se T `e diagonalizzabile.
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