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Dimostrazioni 4
Le regole di Cesaro
I) Siano {a
n}
n∈N,{b
n}
n∈Ndue successioni numeriche reali. Se 0 < b
n< b
n+1e lim
n→∞
b
n= + ∞, allora, se esiste (finito o infinito) il lim
n→∞
a
n+1− a
nb
n+1− b
n, esiste anche il lim
n→∞
a
nb
ned `e
n→∞
lim a
nb
n= lim
n→∞
a
n+1− a
nb
n+1− b
n. (1)
dimostrazione
Supponiamo che il secondo membro di (1) sia un numero λ. Preso ad arbitrio un ε > 0, esiste un naturale ¯ n tale che per ogni n > ¯n risulti
λ − ε
2 < a
n+1− a
nb
n+1− b
n< λ + ε 2 , ossia, essendo b
n+1− b
n> 0,
λ − ε 2
( b
n+1− b
n) < a
n+1− a
n< λ + ε
2
( b
n+1− b
n) . (2)
Ponendo nella (2), in luogo di n, successivamente n − 1, n − 2, . . . , ¯n e poi sommando membro a membro la (2) e le altre relazioni ottenute, risulta
λ − ε 2
( b
n+1− b
¯n) < a
n+1− a
¯n< λ + ε
2
( b
n+1− b
¯n) ,
da cui, dividendo per b
n+1,
λ − ε 2
1 − b
¯nb
n+1+ a
¯nb
n+1< a
n+1b
n+1< λ + ε
2
1 − b
¯nb
n+1+ a
¯nb
n+1. (3)
Poich` e lim
n→∞
b
n= + ∞, il primo e il terzo membro della (3) tendono, per n → ∞, a λ − ε
2 ed a λ + ε 2 . Segue che, per n sufficientemente grande, il primo membro sar`a maggiore di λ − ε ed il terzo sar` a minore di λ + ε. Dunque, si avr`a definitivamente
λ − ε < a
n+1b
n+1< λ + ε, il che prova la (1).
In modo analogo si conduce la dimostrazione nel caso in cui il limite al secondo membro della (1) sia infinito.
2 Osserviamo che la suddetta regola vale anche nel caso in cui sia 0 > b
n> b
n+1, lim
n→∞b
n= −∞, ferme restando le altre ipotesi.
II) Siano {a
n}
n∈N,{b
n}
n∈Ndue successioni numeriche reali infinitesime. Se la successione {b
n}
n∈N`e monotona (crescente o decrescente) e se esite (finito o infinito) il lim
n→∞
a
n+1− a
nb
n+1− b
n, esiste anche il
n→∞
lim a
nb
ned `e
n→∞
lim a
nb
n= lim
n→∞
a
n+1− a
nb
n+1− b
n. (4)
La dimostrazione ` e analoga alla precedente.
1
Osservazione. – La (1) ` e stata dimostrata nell’ipotesi che esista il secondo membro. Ma dall’esistenza del secondo membro non ` e possibile dedurre quella del primo e quindi la validit` a della relazione stessa.
Se, ad esempio, a
n= ( −1)
n, b
n= n, si ha
n→∞
lim a
nb
n= lim
n→∞
( −1)
nn = 0 , mentre
a
n+1− a
nb
n+1− b
n= ( −1)
n+1− (−1)
nn + 1 − n = 2( −1)
n+1non ha limite per n → ∞.
Un’osservazione analoga pu` o farsi per la (4). As esempio, se a
n= 1
n
2sin nπ
2 , b
n= 1
n , esiste ed
` e uguale a 0 il lim
n→∞
