CAMPIONAMENTO DA POPOLAZIONE FINITA - ESERCIZI

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CAMPIONAMENTO DA POPOLAZIONE FINITA - ESERCIZI

ESERCIZIO 1

Una scatola contiene 350 palline di colore Rosso e di colore Blu. Si estraggono n=50 palline. Si indichi con p la proporzione di palline Blu contenute nella scatola e con p la proporzione di palline di colore Blu contenute nel campione.

CAMPIONAMENTO CON RIPETIZIONE

a. Determinare lo stimatore P^l di P, la media e la varianza di P^l .

b. Se nel campione sono contenute 30 palline di colore Blu, costruire l’intervallo di confidenza per P a livello 95%.

CAMPIONAMENTO SENZA RIPETIZIONE

a. Determinare lo stimatore P^l di P, la media e la varianza di P^l.

b. Se nel campione sono contenute 30 palline di colore Blu, costruire l’intervallo di confidenza per p a livello 95%.

ESERCIZIO 2

In una scatola vi sono 5 palline, di cui 3 Nere indicate con N1, N2 e N3 e 2 Bianche indicate con B1 e B2.

La frequenza relativa di palline nere della scatola è 3=0.60

5 . Si vuole stimare tale valore attraverso campioni di numerosità n=2. Si indichi con X1 la variabile aleatoria corrispondente alla prima estrazione, con X2 la variabile aleatoria corrispondente alla seconda estrazione.

a. Costruire una tabella con tutti i possibili campioni e i relativi valori della stima della proporzione.

Numero Campione

Campione v.a. campionarie (X1,X2)

Stima

1 (N1, N1) (1, 1) 2/2

.... .... ....

... (N3, B1) (1, 0) 1/2

b. Quale è la legge di X1, cioè quante volte X1 vale 1 rispetto al numero dei campioni? Quale è la legge di X2?

c. Completare la tabella con la distribuzione dello stimatore P^l e disegnarne il grafico.

p

probabilità

d. Calcolare media e varianza dello stimatore della proporzione utilizzando i dati della tabella precedente.

e. Completare la tabella con la distribuzione di

∑

^Xⁱ^.

∑

^xⁱ

probabilità

a. Costruire una tabella con tutti i possibili campioni e i relativi valori della stima della proporzione.

Numero

Campione Campione v.a. campionarie

(X1,X2) Stima

1 (N1, N2) (1, 1) 2/2

.... .... ....

... (N3, B1) (1, 0) 1/2

b. Quale è la legge di X1, cioè quante volte X1 vale 1 rispetto al numero dei campioni? Quale è la legge di X2?

c. Completare la tabella con la distribuzione dello stimatore P^l e disegnarne il grafico.

p

probabilità

d. Calcolare media e varianza dello stimatore della proporzione utilizzando i dati della tabella precedente.

e. Completare la tabella con la distribuzione di

∑

^Xⁱ e confrontarla con quella di P^l.

∑

^xⁱ

probabilità CONFRONTO FRA I DUE TIPI DI CAMPIONAMENTO

Confrontare i risultati ottenuti, in particolare confrontare i valori di media e varianza dello stimatore della proporzione nei due casi esaminati: campionamento senza ripetizione e con ripetizione.

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ESERCIZIO 3

Una popolazione è composta da 4 individui di nome A, B, C e D. I valori di una variabile X rilevata sui quattro individui che costituiscono la popolazione sono i seguenti:

nome A B C D

X 10 12 14 12

La media µ della variabile X rilevata su tutti gli individui della popolazione è 12, la varianza σ²è 2. Si vuole costruire la distribuzione campionaria dello stimatore di µ sulla base di campioni di numerosità 2.

a. Quanti campioni di numerosità 2 si possono ottenere da una popolazione di numerosità 4?

b. Costruire la tabella con tutti i possibili campioni e la corrispondente stima della media.

Numero

campione Campione Stima di μ relativa al campione

1 AA 10

2 AB 11

... ... ...

c. Completare la tabella con la distribuzione dello stimatore X e disegnarne il grafico.

Stima della media µ 10 Frequenza

d. Calcolare media e varianza dello stimatore della media X utilizzando i dati della tabella precedente.

e. Confrontare i valori ottenuti su tutti i possibili campioni con le formule generali.

a. Quanti campioni di numerosità 2 si possono ottenere da una popolazione di numerosità 4?

b. Costruire la tabella con tutti i possibili campioni e la corrispondente stima della media.

Numero

campione Campione Stima di μ relativa al campione

1 AB 11

2 AC 12

... ... ...

c. Completare la tabella con la distribuzione dello stimatore X e disegnarne il grafico.

Stima della media µ

Frequenza

d. Calcolare media e varianza dello stimatore della media X utilizzando i dati della tabella precedente.

e. Confrontare i valori ottenuti su tutti i possibili campioni con le formule generali.

CONFRONTO FRA I DUE TIPI DI CAMPIONAMENTO

Quali differenze ci sono fra gli stimatori della media e gli intervalli di confidenza per la media nel caso di campionamento con ripetizione e senza ripetizione?

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ESERCIZIO 4

I dati riportati nella Tabella 1. rappresentano la votazione ottenuta all’esame finale di scuola superiore (BAC) dagli studenti iscritti ai Corsi di Laurea della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell’Università di Genova che hanno compilato un questionario il primo giorno di lezione nel mese di settembre 2006. I voti sono compresi fra 60 e 100.

Hanno compilato il questionario 367 studenti, di questi 309 hanno indicato il voto della scuola superiore.

Gli studenti che hanno indicato il voto suddivisi per Corso di Laurea sono così ripartiti:

Corso di Laurea Codice Numero studenti Chimica – Fisica - Sc. Materiali CFM 91

Informatica INF 57

Matematica - SMID MAT 44

Scienze Amb., Biol, Geol., Natur. SCI 117

TOTALE 309

Effettuare due stime del voto medio con due diversi piani di campionamento e numerosità fissata 20:

A. campionamento casuale semplice senza ripetizione

B. campionamento stratificato con allocazione proporzionale (strato = Corso di Laurea) (con campionamento casuale semplice senza ripetizione da ogni strato); le numerosità di ciascuno strato risultano rispettivamente:

6, 4, 3 e 7.

A ciascuno studente è assegnata una tabella che contiene numeri casuali estratti senza ripetizione da utilizzare per effettuare un campionamento:

1) di numerosità 20 relativo alla popolazione complessiva;

2) di numerosità 6 relativo alla popolazione CFM;

3) di numerosità 4 relativo alla popolazione INF;

4) di numerosità 3 relativo alla popolazione MAT;

5) di numerosità 7 relativo alla popolazione SCI.

CAMPIONAMENTO CASUALE SEMPLICE SENZA RIPETIZIONE stima del volto medio: ________

stima dell’errore quadratico medio dello stimatore del voto medio::___________

realizzazione campionaria dell’intervallo di confidenza per il voto medio:

CAMPIONAMENTO STRATIFICATO CASUALE SEMPLICE SENZA RIPETIZIONE n. unità

campion. voto x_h

N

h N x_h _h

s

_h² ^{N n}_n⁻

N s

_{h h}²

1 strato

91

2 strato

57

3 strato ₄₄

4 strato

117 stima del volto medio: ________

stima dell’errore quadratico medio dello stimatore del voto medio::___________

realizzazione campionaria dell’intervallo di confidenza per il voto medio:

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Tabella 1. DATI DA ESAMINARE votazione ottenuta all’esame finale di scuola superiore

1 1 CFM 95 51 51 CFM 100 101 10 INF 65 151 3 MAT 100 2 2 CFM 100 52 52 CFM 100 102 11 INF 60 152 4 MAT 100 3 3 CFM 82 53 53 CFM 100 103 12 INF 94 153 5 MAT 100 4 4 CFM 95 54 54 CFM 95 104 13 INF 97 154 6 MAT 100 5 5 CFM 85 55 55 CFM 90 105 14 INF 85 155 7 MAT 98 6 6 CFM 60 56 56 CFM 100 106 15 INF 92 156 8 MAT 76 7 7 CFM 60 57 57 CFM 100 107 16 INF 83 157 9 MAT 100 8 8 CFM 73 58 58 CFM 95 108 17 INF 60 158 10 MAT 100 9 9 CFM 80 59 59 CFM 100 109 18 INF 97 159 11 MAT 100 10 10 CFM 91 60 60 CFM 95 110 19 INF 91 160 12 MAT 70 11 11 CFM 98 61 61 CFM 90 111 20 INF 75 161 13 MAT 81 12 12 CFM 95 62 62 CFM 100 112 21 INF 68 162 14 MAT 100 13 13 CFM 100 63 63 CFM 100 113 22 INF 100 163 15 MAT 76 14 14 CFM 100 64 64 CFM 78 114 23 INF 82 164 16 MAT 60 15 15 CFM 100 65 65 CFM 100 115 24 INF 60 165 17 MAT 100 16 16 CFM 100 66 66 CFM 95 116 25 INF 68 166 18 MAT 98 17 17 CFM 75 67 67 CFM 100 117 26 INF 70 167 19 MAT 100 18 18 CFM 100 68 68 CFM 78 118 27 INF 70 168 20 MAT 78 19 19 CFM 95 69 69 CFM 95 119 28 INF 75 169 21 MAT 69 20 20 CFM 100 70 70 CFM 73 120 29 INF 60 170 22 MAT 90 21 21 CFM 94 71 71 CFM 100 121 30 INF 75 171 23 MAT 100 22 22 CFM 100 72 72 CFM 100 122 31 INF 60 172 24 MAT 92 23 23 CFM 70 73 73 CFM 100 123 32 INF 66 173 25 MAT 70 24 24 CFM 91 74 74 CFM 72 124 33 INF 67 174 26 MAT 75 25 25 CFM 100 75 75 CFM 91 125 34 INF 98 175 27 MAT 84 26 26 CFM 100 76 76 CFM 83 126 35 INF 74 176 28 MAT 100 27 27 CFM 70 77 77 CFM 69 127 36 INF 83 177 29 MAT 67 28 28 CFM 90 78 78 CFM 95 128 37 INF 75 178 30 MAT 80 29 29 CFM 86 79 79 CFM 76 129 38 INF 60 179 31 MAT 68 30 30 CFM 76 80 80 CFM 83 130 39 INF 88 180 32 MAT 92 31 31 CFM 93 81 81 CFM 78 131 40 INF 100 181 33 MAT 84 32 32 CFM 95 82 82 CFM 95 132 41 INF 100 182 34 MAT 74 33 33 CFM 85 83 83 CFM 93 133 42 INF 70 183 35 MAT 100 34 34 CFM 100 84 84 CFM 100 134 43 INF 87 184 36 MAT 63 35 35 CFM 100 85 85 CFM 86 135 44 INF 100 185 37 MAT 100 36 36 CFM 75 86 86 CFM 76 136 45 INF 78 186 38 MAT 76 37 37 CFM 80 87 87 CFM 68 137 46 INF 75 187 39 MAT 85 38 38 CFM 100 88 88 CFM 84 138 47 INF 77 188 40 MAT 100 39 39 CFM 92 89 89 CFM 84 139 48 INF 67 189 41 MAT 100 40 40 CFM 100 90 90 CFM 71 140 49 INF 100 190 42 MAT 100 41 41 CFM 100 91 91 CFM 100 141 50 INF 72 191 43 MAT 100 42 42 CFM 100 92 1 INF 98 142 51 INF 74 192 44 MAT 75 43 43 CFM 95 93 2 INF 95 143 52 INF 88 193 1 SCI 90 44 44 CFM 75 94 3 INF 85 144 53 INF 82 194 2 SCI 93 45 45 CFM 92 95 4 INF 66 145 54 INF 70 195 3 SCI 70 46 46 CFM 84 96 5 INF 90 146 55 INF 100 196 4 SCI 95 47 47 CFM 100 97 6 INF 66 147 56 INF 77 197 5 SCI 64 48 48 CFM 100 98 7 INF 68 148 57 INF 100 198 6 SCI 78 49 49 CFM 96 99 8 INF 90 149 1 MAT 93 199 7 SCI 60 50 50 CFM 100 100 9 INF 66 150 2 MAT 84 200 8 SCI 60

(5)

201 9 SCI 76 251 59 SCI 82 301 109 SCI 60 202 10 SCI 93 252 60 SCI 96 302 110 SCI 60 203 11 SCI 76 253 61 SCI 81 303 111 SCI 70 204 12 SCI 68 254 62 SCI 65 304 112 SCI 72 205 13 SCI 92 255 63 SCI 100 305 113 SCI 64 206 14 SCI 72 256 64 SCI 90 306 114 SCI 75 207 15 SCI 90 257 65 SCI 90 307 115 SCI 63 208 16 SCI 85 258 66 SCI 77 308 116 SCI 77 209 17 SCI 62 259 67 SCI 78 309 117 SCI 82 210 18 SCI 60 260 68 SCI 91

211 19 SCI 85 261 69 SCI 94 212 20 SCI 87 262 70 SCI 80 213 21 SCI 88 263 71 SCI 97 214 22 SCI 73 264 72 SCI 89 215 23 SCI 95 265 73 SCI 90 216 24 SCI 91 266 74 SCI 80 217 25 SCI 100 267 75 SCI 98 218 26 SCI 94 268 76 SCI 100 219 27 SCI 63 269 77 SCI 82 220 28 SCI 75 270 78 SCI 100 221 29 SCI 98 271 79 SCI 100 222 30 SCI 100 272 80 SCI 98 223 31 SCI 91 273 81 SCI 60 224 32 SCI 66 274 82 SCI 77 225 33 SCI 73 275 83 SCI 80 226 34 SCI 82 276 84 SCI 85 227 35 SCI 91 277 85 SCI 70 228 36 SCI 66 278 86 SCI 75 229 37 SCI 100 279 87 SCI 72 230 38 SCI 60 280 88 SCI 60 231 39 SCI 90 281 89 SCI 85 232 40 SCI 100 282 90 SCI 64 233 41 SCI 70 283 91 SCI 62 234 42 SCI 66 284 92 SCI 60 235 43 SCI 84 285 93 SCI 67 236 44 SCI 68 286 94 SCI 65 237 45 SCI 70 287 95 SCI 66 238 46 SCI 63 288 96 SCI 76 239 47 SCI 96 289 97 SCI 100 240 48 SCI 81 290 98 SCI 80 241 49 SCI 75 291 99 SCI 76 242 50 SCI 100 292 100 SCI 60 243 51 SCI 100 293 101 SCI 70 244 52 SCI 74 294 102 SCI 82 245 53 SCI 80 295 103 SCI 85 246 54 SCI 68 296 104 SCI 88 247 55 SCI 80 297 105 SCI 64 248 56 SCI 80 298 106 SCI 96 249 57 SCI 89 299 107 SCI 85 250 58 SCI 90 300 108 SCI 100

CAMPIONI CASUALI PER CIASCUN

STUDENTE

studente 1

97 73 15 10 47 134 53 30 18 105 254 4 20 13 107 184 69 56 81 244 71 29 20 12 92 214 82 222 121 179 119 252 236 4 238

28 22 61 6 87

(6)

studente 2 studente 3 studente 4 studente 5

170 41 57 12 79 33 69 12 4 30 154 35 14 23 20 249 84 20 10 46 291 48 12 42 64 240 74 38 21 93 28 81 34 43 48 186 25 32 28 44 275 55 55 32 60 85 89 33 2 109 135 53 37 6 66 309 53 34 27 35 112 56 48 95 227 67 25 24 102 240 30 1 80 201 8 28 13 163 45 28 120 63 70 302 12 30 21 78 87 44 28 44 163 70 19 163 39 94 220 15 64 230 48 214 98 33 112 292 1

82 209 260 238 195 200 291 255 266 236 119 267 33 88 114 304 38 280 105 221 204 44 130 63 69 291 106 98 300 195 282 16 23 255 307 25 271 277 45 262 95 122 76 278 171 114 190 127 98 270 210 212

66 51 37 29 21 49 88 43 16 37 224 51 46 37 27 279 33 25 26 41 244 14 43 26 42 3 79 52 35 58 52 76 56 44 23 147 67 50 24 20 121 67 52 36 24 164 28 56 8 57 206 26 1 6 52 81 21 40 2 10 31 71 35 12 138 23 55 78 42 55 28 11 244 37 44 109 265 75 75 12 20 35 298 15 85 178 91 55 101 64 1 105 61 47 6 17 91 61 5 49 221 108 59 29 174 4 214 112 257 163 87 15 309 243 219 64 199 145 267 54 226 68 194 25 220 166 181 208 75 292 113 91 55 286 44 303 155 40 269 199 46 63 231 161 113 240 151 10 291 149 305 156 43 111 170 228 125 220 286 167

177 51 2 10 33 147 8 6 10 83 24 80 8 3 102 26 85 5 10 69 301 22 48 1 70 94 88 5 1 28 307 46 15 2 97 48 62 28 21 52 150 85 15 5 111 143 19 43 5 106 7 64 41 36 36 81 53 30 37 27 115 78 7 22 188 75 49 37 204 82 21 67 162 27 6 26 80 309 2 68 232 14 45 123 20 76 105 67 108

80 5 1 257 79 69 116 12 62 67 91 33 26 50 86 80 293 7 152 19 43 202 25 111 260 41 133 12 36 292 120 99 102 27 197 197 29 125 268 68 155 207 87 42 51 170 286 147 207 9 272 159 269 64 262 93 237 229 228 127 278 258 259 124 211 91 149 23 31 6 60 182

(7)

128 81 50 7 18 80 65 49 86 201 71 54 20 85 271 86 33 44 27 224 50 55 5 15 214 38 11 94 282 37 50 8 55 200 71 32 32 80 188 71 49 34 65 72 4 32 15 264 27 37 13 26 41 59 48 39 17

96 36 32 11 19 12 38 102 144 34 21 93 136 25 14 11 166 14 59 54 46 35 152 18 80 298 8 58 109 83 14 58 67 105 125 48 67 167 21 106 165 47 227 12 19 16 36 12 257 47 203 64 308 125 225 163 127 36 13 274 277 51 256 94 153 37 51 105 125 268 197 139 22 152 146 258 105 31 296 194 173 179 111 69 199 147 304 251 300 195 5 290 107 139 250 3 275 235 33 302

17 62 38 23 53 228 5 10 18 96 216 4 16 43 54 160 73 45 140 54 105 65 19 221 91 63 195 3 215 219 152 277 85 13 8 57 261 246 83 57 181 88 37 211 61 32 20 111 141 9 54 38 9 67 29 33 2 15 294 50 42 29 101 37 18 13 8 35 276 9 51 38 40 125 14 30 26 88 21 52 7 17 68 147 30 32 43 66 57 90 10 29 12 196 42 52 20 51 1 29 63 16 187 12 33 213 22 114 50 34 76 107 298 88 39 69 31 28 261 23 43 87 259 86 131 28 151 11 247 240 70 234 191 108 225 103 286 225 260 26 63 124 48 146 271 1 297 46 262 53 155 243 105 297 29 80 36 278 195 68

51 59 22 14 37 95 63 26 13 16 132 76 5 3 111 35 44 44 24 87 127 10 15 24 108 190 80 34 32 27 219 16 4 31 26 40 4 10 8 99 228 43 39 10 39 57 19 24 24 71 31 36 7 24 22 190 1 53 16 114 162 90 3 81 150 15 53 26 26 103 90 51 92 49 88 47 111

66 78 115 302 78 15 240 13 40 165 51 59 27 27 29 8 48 77 146 46 25 105 45 25 145 106 132 38 190 20 60 29 102 195 221 243

19 163 134 226 229 166 89 13 7 90 245 245 160 209 204 241 202 255 292 95 269 203 78 106 261 76 149 295 290 70 26 215 214 252 108 133 45 41 231 202 39 61 259 216 192 225 232 251

(8)

ESERCIZIO 5

Consideriamo una popolazione di 10.000 unità, di cui circa il 40% sono Maschi. Si vuole stimare il totale dei redditi della popolazione utilizzando un campione stratificato rispetto alla variabile Sesso con allocazione proporzionale. Si sceglie una numerosità campionaria uguale a un millesimo della popolazione.

a) Quanti elementi si devono scegliere per ogni genere (M e F)?

b) Calcolare la stima del totale avendo ottenuto i seguenti valori campionari in euro per il reddito:

• (1200,1900,3000,2000) per M;

• (3000,2500,1800,1000,1500,1400) per F;

c) Calcolare la stima della varianza dello stimatore del totale.

d) Calcolare la realizzazione dell’intervallo di confidenza a livello 90% per il totale dei redditi .

ESERCIZIO 6

A Mentone vi sono 30.000 abitanti con diritto di voto.

Si vuole conoscere la proporzione p di quelli che voteranno ''sinistra'' alle prossime elezioni.

Si sceglie un campione di 3000 unità stratificato sulla base del reddito che nella popolazione è così ripartito:

strato1 : fino a 1000 euro (14.000 abitanti) strato2 : fra 1001 e 2000 euro (6000 abitanti);

strato3 : maggiore di 2000 euro (10.000 abitanti).

Da un campione ottenuto con allocazione proporzionale sono emerse le seguenti percentuali di votanti a sinistra:

p_1 p_2 p_3 0.51 0.40 0.52 a) Determinare lo stimatore Pl di p e la stima corrispondente.

b) Calcolare la stima della varianza dello stimatore

P l

.

c) Calcolare la realizzazione dell’intervallo di confidenza a livello 90% per p.

ESERCIZIO 7

Si vuole valutare il valore medio di colesterolo su una popolazione di individui adulti che presentano una certa malattia.

In base a precedenti studi si sa che i valori dello scarto quadratico medio della variabile colesterolo sono quelli riportati in tabella.

Fascia età 31-50 51-70 >71

Scarto quadratico medio 25 38 41 La popolazione di interesse è così suddivisa per fasce di età:

Fascia età 31-50 51-70 >71

Numero individui popolazione 5000 2000 3000

Si effettua un campionamento di 250 soggetti stratificato rispetto alle fasce di età con allocazione ottima.

a. Da quanti individui di ogni fascia di età deve essere composto il campione ?

Fascia età 31-50 51-70 >71 Totale

Numero individui campione 250

b. Determinare la stima della media di colesterolo nella popolazione se i valori medi di colesterolo delle tre fasce sono quelli riportati in tabella.

Fascia età 31-50 51-70 >71

Valore medio colesterolo 254 275 215

c. Determinare un intervallo di confidenza per la media di colesterolo nella popolazione, dopo aver stimato la varianza dello stimatore della media.