0.1 Struttura euclidea di R

(1)

APPUNTI di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE Spazi euclidei, Coniche, Quadriche.

N. Zagaglia

0.1 Struttura euclidea di R

ⁿ

0.1.1 Prodotto scalare

Definiamo prodotto scalare di Rⁿ la funzione che associa a due vettori u = (x₁, x₂, . . . , x_n) e v = (y₁, y₂, . . . , y_n) di Rⁿil numero reale

u × v = x₁.y₁+ x₂.y₂+ . . . + x_n.y_n. Tale funzione `e:

1. distributiva rispetto alla somma di vettori (u + v) × w = u × w + v × w, 2. omogenea

(λu) × v = λ(u × v) = u × λv, 3. simmetrica

u × v = v × u 4. definita positiva

u × u ≥ 0 e u × u = 0 se e solo se u = 0

¯,

(2)

5. non degenere

u × v = 0 per ogni y se e solo se u = 0

¯, ove u, v, w ∈ Rⁿ e λ ∈ R.

Se denotiamo X_T = [x₁, . . . , x_n] e Y_T = [y₁, . . . , y_n], possiamo anche scrivere

u × v = X_T.Y.

Si dice anche il prodotto scalare `e un esempio di forma bilineare, ovvero di una funzione φ : Rⁿ× Rⁿ → R, che pu`o essere rappresentata nella forma φ(u, v) = X_TAY , per una opportuna matrice A di ordine n. Tale funzione soddisfa le seguenti relazioni, ove u = a1.u1+ a2.u2, v = b1.v1+ b2.v2 e u1, u2, v1, v2 ∈ Rⁿ:

φ(u × v) = a₁.φ(u₁× v) + a₂.φ(u₂, v) e

φ(u × v) = b₁.φ(u × v₁) + b₂.φ(u, v₂).

Ne segue che il prodotto scalare assegnato, a volte denominato standard, `e una forma bilineare simmetrica, definita positiva e non degenere.

Modulo di un vettore u `e il numero reale non nullo:

k u k=√ u × u.

Un versore `e un vettore di modulo 1. Se u `e un vettore qualsiasi, il vettore

u k u k prende il nome di versore di u.

Teorema 1 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) Per ogni u, v ∈ Rⁿ vale la disuguaglianza

| u × v |≤ kuk.kvk.

(3)

Dim. Si consideri il vettore u + λv, ove λ ∈ R.

Per le propriet`a di bilinearit`a e di simmetria risulta 0 ≤k u + λv k²

= (u + λv) × (u + λv)

=k u k² +2λ.(u × v) + λ². k v k² .

Poich`e il trinomio `e sempre non negativo, ne segue che il suo discriminante deve essere non positivo, ovvero

(u × v)²− k u k² . k v k²≤ 0

da cui la tesi. 2

Poich`e _kuk.kvk^|u×v| ≤ 1, ne segue che possiamo stabilire

| u × v |

k u k . k v k = cosθ

ove 0 ≤ θ ≤ π. Definiamo θ l’angolo tra i vettori non nulli u e v.

Possiamo, ora, introdurre anche la nozione di distanza tra due vettori u, v:

k u − v k=^q(u − v) × (u − v) Due vettori u, v sono detti ortogonali se

u × v = 0.

I vettori v₁, v₂, . . . , v_rcostituiscono un insieme di vettori ortonormali se risulta:

v_i× v_i = 1 per 1 ≤ i ≤ r e

v_i× v_j = 0, per 1 ≤ i, j ≤ r, i 6= j.

(4)

Proposizione 1 Vettori di Rⁿ ortonormali sono linearmente indipendenti.

Dim. Siano v₁, . . . , v_r vettori ortonormali rispetto al prodotto scalare. Se, per assurdo, fossero linearmente dipendenti, allora esisterebbero r numeri non tutti nulli α₁, α₂, . . . , α_r per cui

α₁.v₁+ α₂.v₂+ . . . + α_r.v_r = 0

¯.

Supponiamo che α₁ 6= 0. Allora dal prodotto scalare dei vettori al primo e al secondo membro per v1, otteniamo

α₁.v₁× v₁+ α₂.v₂× v₁+ . . . + α_r.v_r× v₁ = 0

¯× v₁. Per le propriet`a dei vettori ortonormali, ne segue α₁ = 0, contro l’ipotesi.

2

0.1.2 Forme quadratiche

Una forma quadratica reale, o piú semplicemente una forma quadratica, in n variabili x₁, x₂, . . . , x_n, è un polinomio omogeneo di secondo grado, a coefficienti reali, in x₁, x₂, . . . , x_n. In particolare una forma quadratica in due variabili, x e y, è un polinomio del tipo f (x, y) = ax²+ bxy + cy², con a, b, c non tutti nulli, che può anche essere scritto nella forma f (x, y) = XT.A.X, ove X_T = [x, y] e

A =

"

a ₂^b

b

2 c

#

. .

Una forma quadratica in tre variabili x, y, z `e un polinomio del tipo f (x, y, z) = ax²+ bxy + cy²+ dxz + eyz + f z².

Ad ogni forma quadratica f (x₁, x₂, . . . , x_n) = Σⁿ_i,j=1a_ijx_ix_j resta associata la matrice simmetrica A = [a_ij], detta matrice della forma quadratica f ; l’elemento a_ij = a_ji di tale matrice coincide con il coefficiente di x_ix_j, i 6= j, diviso per 2, mentre a_ii `e il

(5)

coefficiente di x²_i.

Inoltre risulta f (x₁, x₂, . . . , x_n) = X_T.A.X, ove

X =







x₁ x2

. . . x_n







.

Viceversa, data una matrice simmetrica di ordine n A, possiamo associare a tale matrice una forma quadratica in n variabili f (x1, x2, . . . , xn) = XT.A.X.

Sappiamo che , denotate B e B⁰ due basi distinte di Rⁿe denotata C la matrice del cambiamento di base da B a B⁰, si ha

X = C.X⁰

Per u ∈ Rⁿ, f (u) = X_T.A.X = (CX⁰)_T.A.(CX⁰) == X_T⁰.A⁰.X⁰, ove A⁰ = C_T.A.C. Per un noto teorema si pu´o affermare che in relazione ad una matrice reale e simmetrica, esiste sempre una base ortonormale B⁰ di Rⁿ tale che la matrice A⁰ risulta diagonale, ovvero A⁰ = diag(λ₁, λ₂, . . . , λ_n), ove λ₁, λ₂, . . . , λ_n sono gli autovalori di A. Pertanto f (u) = λ1.(x⁰₁)²+ . . . + λn.(x⁰_n)². Applicheremo tali propriet`a quando tratteremo della riduzione a forma canonica di una conica.

0.2 Coniche

La circonferenza di centro C = (a, b) e raggio r `e il luogo dei punti del piano la cui distanza da C vale r. Pertanto `e rappresentata dalla equazione x²+y²−2ax−2by+a²+b²−r² = 0.

Teorema 2 Ogni circonferenza del piano `e rappresentata me- diante un’equazione della forma

x²+ y² + ax + by + c = 0

con a, b, c ∈ R e tali che a² + b² − 4c > 0. Tale equazione `e chiamata equazione cartesiana della circonferenza.

(6)

Viceversa, ogni equazione del tipo assegnato, con a, b, c ∈ R e tali che a²+ b²− 4c > 0 rappresenta una circonferenza di centro C = (^−a₂ ,^−b₂ ) e raggio r =

√

a²+b²−4c

2 .

Ricordiamo inoltre che per tre punti non allineati del piano passa una ed una sola circonferenza.

Chiamiamo ellisse il luogo dei punti del piano per cui `e costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Siano F₁ e F₂ tali punti e 2a la somma assegnata; l’ellisse risulta essere il luogo dei punti P del piano che verificano la relazione

P F1+ P F2 = 2a.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano nel quale l’asse delle x coincide con la retta F₁F₂ orientata in modo che tale segmento risulti positivo e l’origine O sia il punto medio del segmento F₁F₂. Pertanto l’asse y `e la retta che passa per O, perpendicolare alla retta F₁F₂ ed orientata in modo che l’angolo xy valga ^π₂.

Denotiamo c > 0 l’ascissa del punto F₂ ed (x, y) le coordinate di un generico punto P del piano. Allora −c `e l’ascissa di F₁ e la relazione inziale `e rappresentata dall’equazione

q

(x + c)²+ y²+^q(x − c)²+ y² = 2a.

Per razionalizzare tale equazione, spostiamo al secondo membro il secondo radicale e poi eleviamo al quadrato entrambi i membri dell’equazione. Dopo alcune semplificazioni si ottiene l’equazione

a.

q

(x − c)²+ y² = a²− cx.

Elevando ancora a quadrato entrambi i membri e semplificando, si ottiene

(a²− c²).x²+ a².y² = a².(a²− c²)

Possiamo stabilire una relazione tra i parametri a e c osservando che nel triangolo F₁F₂P la misura del lato F₁F₂, che vale 2c, `e

(7)

sempre minore della somma delle misure degli altri due lati, che vale 2a. Pertanto c < a, da cui a²− c² > 0. Posto a²− c² = b², dalla divisione dell’equazione per a².b² otteniamo l’equazione

x² a² + y²

b² = 1, detta equazione canonica della ellisse.

Dallo studio di tale equazione possono essere facilmente ottenute le principali propriet`a della curva.

Denotato P = (x₀, y₀) un generico punto della ellisse, anche i punti di coordinate (x0, −y0), (−x0, y0) e (−x0, −y0) apparten- gono alla ellisse. Ne segue che l’asse x e l’asse y sono assi di simmetria ortogonale della curva e l’origine `e centro di simmetria della curva stessa.

I punti di intersezione degli assi x e y con la curva sono detti vertici della ellisse. Dalla condizione per cui a² = b² + c², ne segue che a > b; il valore a `e chiamato semiasse maggiore, b semiasse minore. Il valore c `e detto distanza focale.

Nel caso particolare in cui a² = b², otteniamo l’equazione di una circonferenza. Poich`e in tal caso c = 0, ne segue che F1 = F2, ovvero i due fuochi coincidono.

L’iperbole `e il luogo dei punti del piano per cui `e costante la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Indichiamo ancora con F₁ e F₂ tali punti e con 2a la differenza.

l’iperbole risulta essere il luogo dei punti P che verificano la relazione

| P F₁− P F₂ |= 2a.

Fissiamo ancora la retta F₁F₂ come asse x, il punto medio del segmento F₁F₂ come origine del sistema di riferimento.

L’iperbole `e rappresentata dalla equazione

q

(x + c)²− y²+^q(x − c)²+ y² = ±2a.

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Con calcoli del tutto analoghi a quelli dell’ellisse, otteniamo l’equazione

(a²− c²).x²+ a².y² = a².(a²− c²).

In relazione al triangolo F₁F₂P , possiamo, ora, osservare che la misura del lato F1F2, che vale 2c, risulta sempre maggiore della differenza degli altri due lati, che vale 2a.

Pertanto a²− c² < 0; denotata la differenza a²− c² = −b², dalla divisione per −a²b², otteniamo l’equazione

x² a² −y²

b² = 1 detta equazione canonica della iperbole.

Anche questa curva `e simmetrica rispetto agli assi x e y e all’origine.

L’asse x incontra la curva in due punti, detti vertici, mentre l’asse y non ha intersezioni reali con la curva stessa. L’asse x `e detto asse trasverso, l’asse y `e detto asse non trasverso.

La curva `e al di fuori della parte di piano compresa tra le rette parallele all’ asse y e passanti per i vertici.

Infine esistono due rette, dette asintoti, di equazione y = _a^b.x e y = −^b_ax, che non hanno intersezione con l’iperbole, ma verificano la propriet`a per cui un punto P , che descrive uno dei rami dell’iperbole allontanandosi indefinitamente, ha distanza da uno degli asintoti che tende a zero.

Infine denotiamo parabola il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fisso F , detto fuoco, e da una retta d detta direttrice.

Fissiamo come asse delle x la retta per F , perpendicolare alla direttrice. Detto D il punto di intersezione di tale retta con la direttrice, fissiamo come origine il punto medio del segmento DF .

Denotata ^p₂ l’ascissa di F , si ottiene che la curva `e rappresentata dalla equazione

y² = 2px

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detta equazione canonica della parabola.

Si puó stabilire che l’asse x è asse di simmetria ortogonale; il punto d’incontro dell’asse x con la parabola è l’unico vertice della parabola stessa.

Una conica C `e il luogo dei punti del piano le cui coordinate cartesiane soddisfano una equazione algebrica di ordine due ovvero una equazione ottenuta uguagliando a zero un polinomio di grado due nelle incognite x, y, a coefficienti reali. L’equazione di C `e pertanto del tipo

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0

ove i coefficienti a, b, c non sono contemporaneamente nulli.

Una conica è dette degenere o riducibile se l’equazione che la rappresenta è ottenuta uguagliando a zero il prodotto di due fattori di grado uno. è non degenere o irriducibile in caso con- trario.

Sia C una conica non degenere di equazione ax²+bxy+cy²+dx+

ey + f = 0. Sappiamo che il tipo di conica dipende dall’insieme dei termini di secondo grado : ax²+ bxy + cy², che riconosciamo come forma quadratica di grado 2 e che possiamo anche scrivere in forma matriciale X_T.A.X, ove X_T = [xy] e

A =

"

a ₂^b

b

2 c

#

.

Poich`e A `e reale e simmetrica, esiste una matrice ortogonale P ed una matrice diagonale ∆ = diag(λ1, λ2), per cui PT.A.P = ∆.

Allora resta definita una base ortonormale B⁰ di R² formata dalle colonne di P , per cui l’equazione matriciale X = P.X⁰ rappresenta il cambio dalla base canonica alla base B⁰.

Ne segue che la forma quadratica assegnata assume la forma canonica

λ1.x⁰²+ λ2.y⁰² e l’equazione della conica risulta

λ₁.x⁰²+ λ₂.y⁰²+ α.x⁰ + β.y⁰+ γ = 0.

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A questo punto il tipo di conica `e facilmente determinato dall’esame degli autovalori λ₁, λ₂.

In particolare la conica risulta 1. per λ₁.λ₂ > 0 una ellisse 2. per λ₁.λ₂ < 0 una iperbole, 3. per λ₁.λ₂ = 0 una parabola.

Se una conica C `e reale e irriducibile essa `e una iperbole o una parabola o una ellisse. Queste curve possono tutte essere ottenute intersecando un cono circolare con un piano.

Teorema 3 Sono coniche tutte e solo le seguenti curve del secondo ordine:

1. ellissi (reali e immaginarie);

2. iperboli;

3. parabole;

4. curve irriducibili, senza punti reali;

5. curve spezzate in due rette reali e incidenti;

6. curve spezzate in due rette incidenti, immaginarie e coniugate;

7. curve spezzate in due rette parallele.

Riconoscimento di una conica.

Associamo alla conica C di equazione

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 i tre valori:

I₃ = det







a ^b₂ ^d₂

b

2 c ^e₂

d 2

e

2 f





,

(11)

I₂ = det

"

a ₂^b

b

2 c

#

e

I1 = a + c.

Tali valori restano invariati quando si opera un qualsiasi cambiamento di sistema di riferimento, che risulta una traslazione o una rotazione o inversione di orientamento di uno degli assi o infine una composizione di due o pi´u delle precedenti trasfor- mazioni.

Tali valori sono detti invarianti ortogonali, rispettivamente cubico, quadratico e lineare.

Si dimostra che una conica C `e non degenere se e solo se il suo invariante cubico `e diverso da zero.

Sia I₃ 6= 0.

1. Se I2 > 0, C `e una ellisse (reale se I1.I3 < 0, immaginaria se I₁.I₃ > 0);

2. Se I₂ < 0, C `e una iperbole;

3. Se I2 = 0, C `e una parabola.

Sia, ora, I₃ = 0.

1. Se I₂ < 0, C `e spezzata in due rette reali e incidenti.

2. Se I₂ > 0, C `e spezzata in due rette incidenti, immaginarie e coniugate;

3. Se I2 = 0, C `e spezzara in due rette parallele.

Infine una conica C reale e non degenere `e una iperbole equi- latera se e soltanto se I₁ = 0.

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0.2.1 Propriet´ a focali

Consideriamo, ora, due proprietà delle coniche, note come pro- prietà focali, note fino dall’antichità per le varie e importanti applicazioni.

Teorema 4 La perpendicolare alla tangente ad una ellisse (o iperbole) in un punto arbitrario P `e una delle bisettrici degli angoli formati dalle rette passanti per P e per i due fuochi.

Ricordiamo che la luce viene riflessa da uno specchio, piano o curvo, in modo che l’angolo di incidenza coincide con l’angolo di riflessione. Ne segue che se un raggio di luce parte da uno dei fuochi ed `e riflesso da una ellisse, allora passa per l’altro fuoco.

In modo analogo un segnale acustico che parte da uno dei fuochi viene riflesso da una camera a volta ellittica nell’altro fuoco.

Una propriet`a analoga vale anche per la parabola.

Teorema 5 Sia F il fuoco di una parabola C. La perpendicolare alla tangente in un punto arbitrario P di una parabola `e una delle bisettrici degli angoli formati dalla retta F P e dalla parallela all’asse passante per P .

La propriet`a ha importanti applicazioni in particolare in relazione alle superfici ottenute ruotando una parabola attorno al suo asse. Una sezione di tali superfici compaiono nei fari delle automobili, nei riflettori, nelle antenne paraboliche, nei radioscopi, ....

Val la pena ricordare l’uso di tale propriet`a nella costruzione degli ”specchi ustori” utilizzati per incendiare le navi dei ro- mani durante l’assedio di Siracusa del 212 a.C., attribuita ad Archimede da Plutarco.

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0.2.2 Fasci di coniche

Date due coniche distinte C e C⁰ di equazioni f (x, y) = 0 e g(x, y) = 0 rispettivamente, si definisce fascio di coniche indi- viduato da C e C⁰l’insieme delle coniche rappresentate dall’equazione

λ.f (x, y) + µ.g(x, y) = 0 al variare di λ e µ non entrami nulli.

E immediato dimostrare che tutte le coniche del fascio passano` per i punti comuni a C e C⁰. Poich`e due coniche, che non hanno infiniti punti in comune, si intersecano sempre in 4 punti, ne segue che tutte le coniche del fascio passano per tali punti, detti punti base del fascio.

Si pu´o inoltre osservare che per un punto generico del piano passa una ed una sola conica del fascio.

Infine possiamo notare che per ottenere tutte le coniche che passano per quattro punti assegnati, basta determinare due distinte coniche che passano per tali punti e farne la combinazione lineare.

0.3 Superfici nello spazio

Superficie `e il luogo dei punti dello spazio le cui coordinate soddisfano una equazione F (x, y, z) = 0, nelle variabili x, y, z.

Se F (x, y, z) `e un polinomio di grado n, allora la superficie `e detta algebrica di ordine n.

Nel caso particolare di n = 2 si ha una quadrica. Pertanto una quadrica è una superficie algebrica di ordine 2, ovvero una superficie rappresentata dalla equazione ax²+ bxy + cy²+ dxz + eyz + f z² + gx + hy + lz + m = 0 a coefficienti reali. Una superficie algebrica è detta degenere se è possibile esprimere il polinomio F (x, y, z) come prodotto di due polinomi F₁(x, y, z) e F₂(x, y, z) di grado inferiore ad n.

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0.3.1 Curva nello spazio

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, una curva Γ `e il luogo dei punti dello spazio le cui coordinate soddisfano equazioni parametriche del tipo







x = f (t) y = g(t) z = h(t)

ove t `e un parametro che varia in un opportuno intervallo reale.

Inoltre le tre funzioni non devono essere tutte e tre costanti.

eliminando il parametro tra le equazioni parametriche, in genere si ottiene un sistema

( f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

ove f (x, y, z) e g(x, y, z) sono due funzione non costanti, di tre variabili. Tale sistema fornisce le equazioni cartesiane della curva.

Una curva `e razionale quando pu`o essere rappresentata da equazioni parametriche razionali, ovvero f (t), g(t), h(t) sono rapporto di polinomi.

Una curva è piana se è contenuta in un piano; diversamente è una curva gobba.

0.3.2 Sfera

Una sfera `e il luogo dei punti dello spazio che hanno da un punto fisso, detto centro, una distanza fissata, detto raggio. Sia C = (x₀, y₀, z₀) il centro ed r il raggio di una sfera S. Denotato P = (x, y, z) un generico punto dello spazio, risulta che P ∈ S se e solo se P C = r ovvero

(x − x₀)²+ (y − y₀)² + (z − z₀)² = r², da cui svolgendo i conti si ottiene l’equazione

x²+ y²+ z²− 2x₀x − 2y₀y − 2z₀z + x²₀+ y₀²+ z₀²− r² = 0.

(15)

L’equazione ottenuta `e priva dei prodotti misti xy, xz, yz ed ha i coefficienti di x², y², z² uguali tra loro.

Viceversa consideriamo una superficie algebrica di ordine 2, la cui equazione soddisfa tali condizioni, ovvero `e del tipo A(x²+ y²+ z²) + Bx + Cy + Dz + E = 0, ove A 6= 0. Divedendo tutto per A e semplificando si ottiene l’equazione x²+ y²+ z²+ ax + by + cz + d = 0, che con semplici passaggi si pu´o scrivere nella forma

(x + a

2)²+ (y + b

2)²+ (z + c

2)² = a²+ b²+ c²− 4d

4 .

Tale equazione rappresenta una sfera di centro il punto C = (−^a₂, −^b₂,^c₂) e raggio r = ¹₂.√

a²+ b²+ c²− 4d.

Se r = 0 l’equazione `e soddisfatta solo da un punto reale, in particolare il centro C. Se r < 0, la superficie `e completamente immaginaria.

Esercizi.

1. Trovare centro e raggio della sfera x²+ y²+ z²− 2x + y − z + 1 = 0.

Risposta. C = (1, −¹₂,¹₂) ed r² = ¹₂.

2. Scrivere l’equazione della sfera che ha centro nel punto C = (2, 0, 1) e passa per Q = (0, 1, 1).

Risposta. Poich`e QC² = 5, ne segue l’equazione (x − 2)²+ y²+ (z − 1)² = 5.

3. Scrivere l’equazione del piano tangente alla sfera di centro C = (1, −1, 0) nel punto P = (0, 0,√

2).

Risposta. Tale piano deve passare per P ed essere perpendicolare alla retta CP , di parametri direttori (1, −1, −√

2).

Pertanto il piano ha equazione x − y −√

2z + 2 = 0.

4. Scrivere l’equazione della sfera che ha il centro nel punto C = (1, 0, −1) ed `e tangente al piano π di equazione x −

(16)

2y + 2z + 3 = 0.

Risposta. La distanza del punto C da π vale ²₃; pertanto la sfera cercata ha equazione (x − 1)²+ y²+ (z + 1)² = ⁴₉. 5. Rappresentare la circonferenza che giace sul piano x + 3y − 2z + 1 = 0, ha centro in C = (1, 1, 0) e raggio r = 3.

Risposta: La circonferenza `e il luogo dei punti comuni al piano assegnato ed alla sfera di centro C e raggio r.

Pertanto `e rappresentata dal sistema

( (x − 1)²+ (y − 1)²+ z² = 9 x + 3y − 2z + 1 = 0 .

6. Determinare centro e raggio della circonferenza tagliata dal piano α : x−y−z = 0 sulla sfera (x−2)²+(y−1)²+z² = 9.

Risposta. Il centro `e il punto (⁵₃,⁴₃,¹₃) e il raggio R = ^q²⁶₉.

0.3.3 Cilindri

Chiamiamo cilindro una superficie S tale che per ogni punto passa una retta g che giace su S e tutte le rette g sono parallele tra loro.

In modo equivalente si pu´o dire che un cilindro `e un luogo di rette parallele.

Le rette g sono dette generatrici del cilindro ed una curva tracciata sul cilindro che intersechi tutte le generatrici `e detta direttrice.

Si pu´o dimostrare che una equazione F (x, y) = 0, priva della variabile z, rappresenta un cilindro che ha le generatrici parallele all’asse z. Come esempio possiamo considerare l’equazione x² + y² = 1 che risulta il cilindro che proietta, parallelamente all’asse z, la circonferenza di equazioni

( x²+ y² = 1

z = 0 .

(17)

0.3.4 Coni

Chiamiamo cono una superficie S tale che per ogni punto passa una retta g che giace su S e tutte le rette g passano per un punto V , detto vertice del cono.

In modo equivalente si pu´o dire che un cono `e un luogo di rette passanti per un punto.

Le rette g sono dette generatrici del cono ed una curva tracciata sul cono che intersechi tutte le generatrici `e detta direttrice.

Se V = (a, b, c), l’equazione del cono `e omogenea nelle differenze x − a, y − b, z − c.

0.3.5 Superfici di rotazione

Una superficie di rotazione `e una superficie ottenuta dalla rotazione di una curva attorno ad una retta assegnata, detta asse, alla quale la curva sia rigidamente collegata.

Ogni punto della curva descrive una circonferenza, detta paral- lelo, che giace su un piano perpendicolare all’asse ed ha il centro sull’asse.

i piani che passano per l’asse tagliano la superficie lungo curve tutte congruenti tra loro, dette meridiani.

descriviamo, ora, il procedimento per scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione attorno all’asse z della ellisse C appartenente al piano xz di equazioni

( _x2

a² +^z_c2² = 1

y = 0 .

Se P = (x₀, y₀, z₀) `e un punto di C, allora risulta

( _x2 0

a² +^z_c⁰2² = 1 y₀ = 0 .

Nella rotazione attorno all’asse z il punto P descrive una circonferenza di equazioni

( z = z₀

x²+ y² = x²₀+ y²₀ .

(18)

Allora l’equazione ottenuta dalla eliminazione dei parametri x₀, y₀, z₀ tra le precedenti equazioni, ovvero l’equazione

x²+ y² a² +z²

c² = 1

rappresenta la superficie di rotazione, che in particolare risulta essere un ellissoide.

0.3.6 Quadriche

Una quadrica è una superficie algebrica del secondo ordine; pertanto è rappresentata da una equazione f (x, y, z) = 0, ove f (x, y, z) è un polinomio di secondo grado nelle variabili x, y, z, a coefficienti reali.

Esempi di quadriche che abbiamo conosciuto sono le sfere e coni e cilindri del secondo ordine.

Se f (x, y, z) è un prodotto di due polinomi di primo grado, la quadrica è degenere o riducibile ed è costituita da due piani.

Altrimenti è irriducibile. Come già osservato per le coniche può succedere che una quadrica non abbia nessun punto reale, per esempio x² + y² + z²+ 1 = 0, oppure un solo punto reale, per esempio x² + y²+ z² = 0, con l’unico punto reale O = (0, 0, 0).

Si pu´o dimostrare che una retta r, che non appartiene intera- mente ad una quadrica Q, interseca tale quadrica in due punti che possono essere reali e distinti, reali e coincidenti o complessi coniugati. In tal caso la retta `e rispettivamente secante, tangente o esterna alla quadrica.

Inoltre una quadrica ed un piano hanno in comune una conica, tranne quando il piano `e parte della quadrica stessa.

La conica intersezione pu`o essere reale e non degenere, reale e degenere oppure a soli punti complessi. Nel primo caso il piano

`

e secante la quadrica, nel secondo caso `e tangente, nel terzo caso

`

e esterno.

Le quadriche non degeneri risultano:

1. cilindri irriducibili del secondo ordine,

(19)

2. coni irriducibili del secondo ordine

3. quadriche irriducibili completamente immaginarie

4. uno dei seguenti cinque tipi di quadriche reali e irriducibili:

(a)

x² a² + y²

b² +z² c² = 1 ellissoide a punti reali

(b)

x² a² + y²

b² −z² c² = 1 iperboloide ad una falda

(c)

x² a² − y²

b² − z² c² = 1 iperboloide a due falde

(d)

x² a² + y²

b² = 2pz paraboloide ellittico

(e)

x² a² − y²

b² = 2pz paraboloide iperbolico.

ESERCIZI

1. Determinare una base di R³ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, che contiene il vettore v = (1, 0, −1).

(20)

2. Dati i vettori w₁ = (1, −1, 0, 1), w₂ = (2, 0, 1, −1), w₃ = (0, 3, 2, 1), determinare tutti i vettori v ∈ R⁴ ortogonali a w₁, w₂, w₃.

Risposta: v = t(6, 7, −11, 1), t ∈ R.

3. Determinare il complemento ortogonale del sottospazio di R⁴ V =< (2, 0, −1, 1), (1, 1, 0, 3) >.

Risposta: Il complemento ortogonale `e formato da tutti i vettori u = (x, y, z, t) che sono ortogonali ai generatori di V ; tali vettori sono pertanto le soluzioni del sistema lineare omogeneo

( 2x − z + t = 0 x + y + 3t = 0 .

Ne segue u = (x, −x − 3t, 2x + t, t) = x(1, −1, 2, 0) + t(0, −3, 1, 1). Pertanto V^⊥ =< (1, −1, 2, 0), (0, −3, 1, 1) >.

4. Determinare una base ortogonale di R³, contenente il vettore v = (1, 2, −1).

Risposta: Il sottospazio V^⊥, ortogonale al sottospazio V , generato da v, `e l’insieme dei vettori (x, y, z) per cui x + 2y − z = 0. Il generico vettore di V^⊥ risulta (h, k, h + 2k).

Scelto il vettore w = (1, 0, 1) ∈ V^⊥, ne segue che un vettore u = (h, k, h + 2k) ∈ V^⊥ `e ortogonale a w se risulta h + h + 2k = 0, ovvero k = −h. Nell’insieme di tali vettori (h, −h, −h) scegliamo (1, −1, −1). Otteniamo pertanto la terna (1, 2, −1), (1, 0, 1), (1, −1, −1).

5. Si consideri la matrice A =

"

1 2 2 4

#

.

Determinare una matrice ortogonale che diagonalizza la matrice A.

6. Verificare che ogni matrice che sia ortogonalmente simile ad una matrice diagonale `e simmetrica.

(21)

7. Scrivere l’equazione della parabola Γ di vertice V = (1, 1) e fuoco F = (2, 0).

Risposta: x²+ 2xy + y²− 12x + 4y + 4 = 0.

8. Scrivere l’equazione della parabola di vertice V = (4, 0) e direttrice x + y − 2 = 0.

Risposta: x²− 2xy + y²− 16x + 48 = 0.

9. Scrivere l’equazione della sfera S di centro C = (2, 1, 1) e tangente al piano π : x + y − z = 0.

Risposta: 3(x² + y²+ z²) − 12x − 6y − 6z + 14 = 0.

10. Scrivere l’equazione della sfera S tangente al piano α: 3x+

y −z +1 = 0 nel punto A = (0, 1, 2) e passante per il punto B = (1, 0, 0).

Risposta: Dalla condizione di tangenza al piano α in A ne segue che il centro C appartiene alla retta r che passa per A ed `e perpendicolare ad α, avente equazioni parametriche







x = 3t y = 1 + t z = 2 − t

.

Il centro C, essendo equidistante da A e da B, appartiene al piano assiale del segmento AB.

Tale piano, luogo dei punti P = (x, y, z) equidistanti da A e da B, `e rappresentato dalla relazione

P A² = P B² e quindi dalla equazione cartesiana

x − y − 2z + 2 = 0.

Il centro C `e pertanto l’intersezione di tale piano con la retta r; ne segue che C = (⁹₄,⁷₄,⁵₄) e la sfera ha equazione 2(x²+ y² + z²) − 9x − 7y − 5z + 7 = 0.

(22)

11. Scrivere l’equazione del cono che ammette come direttrice la curva

( x²+ y² = 1 z = 0

e come vertice il punto V = (1, 0, −1).

Risposta: (x − 1)²+ y²+ 2(x − 1)(z + 1) = 0.

12. Scrivere l’equazione del cilindro che ammette come direttrice la circonferenza

( x²+ y² = 1 z = 0

e le cui generatrici sono parallele alla retta s : x + y = x − 2z = 0.

Risposta: x²+ y²+ 8z²− 4xy + 4yz − 1 = 0.

13. Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della conica C

( x²− z²+ 2x + y = 0 x + 2y − z = 0 sul piano xy.

Risposta: Il cilindro che ammette C come direttrice e generatrici perpendicolari al piano xy ha equazione x²− (x + 2y)²+ 2x + y = 0. Pertanto la proiezione cercata `e rappresentata dal sistema

( x²− (x + 2y)²+ 2x + y = 0 z = 0

14. Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della conica Γ

( x²− z² + 2x = 0 y = 0

(23)

sul piano x − y − z = 0.

Risposta: Il cilindro che ammette Γ come direttrice e generatrici perpendicolari al piano assegnato ha equazione x²− z²+ 2xy + 2yz + 2x + 2y = 0. Pertanto la proiezione ortogonale cercata `e rappresentata dal sistema

( x²− z²+ 2xy + 2yz + 2x + 2y = 0 x − y − z = 0

15. Riconoscere e scrivere in forma canonica la conica 3x² − 2xy + 3y²+ 4x + 1 = 0.

Risposta: Gli invarianti ortogonali della conica valgono I₃ = −4, I₂ = 8 e I₁ = 6. Pertanto la conica `e una ellisse, che risulta reale poich`e I₁.I₃ < 0. Gli autovalori della matrice

"

3 −1

−1 3

#

.

sono 2, 4. Allora la conica puó essere scritta nella forma 2.x² + 4y² + γ = 0. Poichè γ = Î_I³

2 = −¹₂, ne viene che l’equazione canonica della conica risulta ^x1²

4

+ ^y1² 8

= 1.

Poichè il denominatore di x² è maggiore del denominatore di y², ne segue che l’equazione ottenuta è proprio l’equazione cercata.

16. In R³, dotato del prodotto scalare standard, si consideri il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R³ | x + 2y = y − z = 0}.

Determinare una base di V^⊥.