NUMERI COMPLESSI
1. Calcolare le seguenti potenze di i:
a) i2 , b) i3 , c) i4 , d) 1 i
, e) i34 , f ) i−7
2. Semplificare le seguenti espressioni:
a) (√
2 − i) − i(1 −√
2 i) , b) (3 + i)(3 − i)
1 5+ 1
10 i
,
c) 5
(1 − i)(2 − i)(3 − i) , d) z + 3i
3. Verificare che z = 1 ± i soddisfa l’equazione z2− 2z + 2 = 0.
4. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi : a) 1 + i − i
1 − 2i , b) (1 + i)(1 − i)(1 +√
3 i) , c)
1 + i 1 − i− 1
2
5. Mettere in forma algebrica ed in forma polare i seguenti numeri complessi:
a) z = i , b) z = 1 + i , c) z = 1 3 + 3i , d) z = 4i
√
3 + i , e) z = (1 + i)(2 − 2i) f) z = 2
√3 − i+1
i , g) z = 1 + i 2 − 2i
7. Trovare le radici dei seguenti numeri complessi e disegnarle sul piano di Gauss.
a) 4 q√
2 , b)
q 1 −√
3 i , c) 3 q
1 − i +√ 2i
8. Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni delle seguenti equazioni:
a) z2+ 3iz + 4 = 0 , b) z4+ 2z2+ 4 = 0 , c) z|z| − 2z + i = 0 , d) zz − z + i
4 = 0 , e) z3= |z|2
9. Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni dei seguenti sistemi:
(a)
Re [z(z + i)] ≤ 2 Im z ≥ 0
(b)
z6+ 7z3− 8 = 0 Re(z) = 1
10. E’ data la funzione f : C → C cos`ı definita f(z) = 1 + iz iz + i . a) Trovare tutti gli z ∈ C per cui f (z) = z .
b) Trovare le controimmagini di 3 + i .
11. Sapendo che 1 + i `e radice del polinomio p(z) = z4− 5z3+ 10z2− 10z + 4 , trovare le altre radici.
Decomporre p(z) in fattori irriducibili su IR e su C . 12. Verificare che il polinomio :
p(z) = z3+ (1 + 2i)z2+ [(−√
3 + 2)i − 2]z − i√ 3 − 2 si annulla per z0 = −1 e trovare le altre radici.
Decomporre p(z) in fattori irriducibili .
13. Trovare un polinomio p(z) ∈ IR[z] di grado 5, avente a = 3 come radice semplice, b = 2 − 3i come radice di molteplicit`a 2, e tale che p(0) = 1.
