Numeri Complessi
Porreinformatrigonometricaiseguentinumeri complessi
5; 1+i;
p
2:
Calcolare
3 p
i;
p
2 2i;
4 q
1+i p
3; (1+i) 6
; (3 3i) 7
:
Risolvereleseguentiequazioni
1) zjzj 2z 1=0
2) z 2
+zz=1+2i
3) z+iz 2
= 2i
4) jzj 2
z 2
=i
5) z 4
=jzj 2
+2
6) z 3
z+3z 2
4=0
7) z 2
+2z+i=0:
Serie Numeriche
Studiareilcaratteredelleseguentiserie:
+1
X
n=1
( 1) n
n+( 1) n
(n+ p
n)
;
+1
X
n=1
1+ 3
n
1
n
1
!
;
+1
X
n=1 n
3
arctan(1=n)
;
+1
X
n=1
( 1) n
(2n 1)
n 2
35n+250 cosn
;
+1
X
n=1 n!
(2n)!
;
+1
X
n=1 2
lnn
;
+1
X
n=2
( 1) n
nlnn +sin
n+ 1
n
;
+1
X
n=1 ( 1)
n n
2
+cosn
n 3
+1
;
+1
X
n=1 (
p
n 2
+n n)(ntan 1
n 1);
+1
X
n=0 ( 1)
n
7n+24
n 2
+7n+12 :
Al variaredelparametrorealex,studiareil caratteredelleseguentiserie:
+1
X
n=1 n
10
sin(n 2
)
"
7 n
+3 n
5 n
+2 n
1
n
x
#
;
+1
X
n=1 n
2
+n+1
n x
+n 2
+1
;
+1
X
n=1
cosh n
2
+n
n 3
+3 1
x
;
+1
X
n=1 8
<
: p
x 2
+2
x 2
!
n
+ p
2n 2
+1
n 2
!
x+
1
n 9
=
;
;
+1
X
n=1
ln(1+n 2x
)
(n+sinn) x
2
;
+1
X
n=1
1+sin(n+
2 x)
(n+1) x
; x2[0;2];
+1
X
n=1 2
n
+jxj n
n 2
+1
;
+1
X
n=1
ln(x+ 1
n )
n
x 2
+n 2
; x>0;
+1
X
n=1 ln
1+ jxj
n
n
;
+1
X
n=3 n
2
(x+ 1
n )
lnn
;
+1
X
n=3 lnn
n x
(lnn) 2
;
+1
X
n=1 1
n!
jn x 2
+3xj nx
3
;
+1
X
n=2 n
(x 1
n )
lnn
;
+1
X
n=2 (n
3 p
n 3
2n) x
;
+1
X
n=3 x
2 n
1+x 2
n+1
;
+1
X
n=1 n
x 2
(n+x) p
13x
;
+1
X
n=1
jarctanxj 3n
p
n(n+1)
;
+1
X
n=1 (
p
n 3
+(x 2
+2)n 2
+1 p
n 3
+3xn 2
4);
+1
X
n=1
n+10
3 n
(n+5) (x
2
1) 3n
:
Dimostrareche
+1
X
n=1
x n
(sin1sin2:::sinn) 2
(1+xcos 2
1)(1+xcos 2
2):::(1+cos 2
n)
convergese 1<x<1.
Sia f(x)un polinomio di terzogrado,in cui il coeÆciente del termine di gradomassimoepositivo.
Direperqualivaloridelparametroxlaserie
+1
X
n=1
( 1) n
f(n sinx
lnn)+3n :
convergesemplicementeeperqualivaloriconvergeassolutamente.
Limiti
Calcolareiseguentilimiti: (Ghizzetti-Rosati: Complementiedesercizidi analisimatematica-Vol. I
-Ed. Veschi)
1) lim
x!0 +
1
x
tanx
;
2) lim
x!0 +
(e x
1) x
;
3) lim
x!0 (x
2
+1) 1=sin
2
x
;
4) lim
x!+1
p
x 2
+1 x
2
+1
x+1
;
5) lim
x!0
e (x+1) 1=x
x
;
6) lim
x!0 2
p
x+1 2cosx x
(arctanx) 2
;
7) lim
x!1
x x x
1 x+logx
;
8) lim
x!+1 x
log(1+
1
x )
;
9) lim
x!+1
x x 2
log
1+ 1
x
;
10) lim
x!0 +
(arctanx) tanx
;
11) lim
x!0 +
logx[log(1+x)]
2
;
12) lim
x!
2
(tanx) 1
log (cosx)
;
13) lim
x!0 p
1+x 2
+cosx 2
(arcsinx) 4
;
14) lim
x!0 (1+x)
1=x p
1+x e
x 2
;
15) lim
x!1
(logx) 2=3
+(1 x 2
) 3=4
[sin(x 1)]
2=3
;
16) lim
x!0
log(1+x+x 2
)+log(1 x+x 2
)
sin 2
x
;
17) lim
x!0
tanx
x
1=x 2
;
18) lim
x!+1
logx
x
1=x
;
19) lim
x!+1 xe
1=x
:
Funzioni di 1Variabile
Scriverelarettatangentealgra codellafunzioney=x 2
+2xnelpunto(1;3).
Studiareleseguentifunzionietracciarneungra coqualitativo:
1) f(x)=x 2
2x+jxj;
2) f(x)=x 4
4x 3
+4x 2
+1;
3) f(x)=xe x+1
;
4) f(x)=xe x
2
;
5) f(x)=x 2=3
(1 x):
Stabilireselaseguente funzioneecontinua:
f(x)= 8
<
: sinx
x
sex1,
sinx+log(1+jxj) log2 sex<1.
Stabilireseleseguentifunzionisonocontinueederivabili:
1) f(x)= 8
<
: sinx
x
sex6=0,
1 sex=0;
2) f(x)= 8
<
:
1+ 3
x 1
(x 1)
sex>1,
2 x 2
sex1.
Determinare perqualevaloredelparametroreale leseguentifunzionirisultanocontinue:
1) f(x)= 8
<
:
(1+3x) 1=x
sex>0,
sex0;
2) f(x)= 8
<
: sin
1
x 1
sex6=1,
sex=1;
3) f(x)= 8
<
: p
x 2
+x p
x
p
x
sex>0,
+3x e 2
sex0.
Determinareperqualivalorideiparametrireali e leseguentifunzionirisultanocontinueederivabili:
1) f(x)= 8
<
: (e
x
1) sin
2
x
sex>0,
(x+1) 2
+ x sex0;
2) f(x)= 8
<
: (e
x 2
1)
sin(x 2)
sex>2,
x 2
+1 4 sex2;
3) f(x)= 8
<
:
log (2+x)
(x+1)
sex> 1,
x+x 2
sex 1;
4) f(x)= 8
<
: (e
x 2
1)
[log (x 1)]
sex>2,
2x+3 sex2.
FunzioniIntegrali
Studiareleseguentifunzionietracciarneungra coqualitativo:
1) F(x)= Z
x
1 lnt
p
t dt;
sapendoche lim
x!+1
F(x)=+1 e lim
x!0 +
F(x)= >0;
2) F(x)= Z
x
1
1
t 2=3
(1 t) 1=3
dt;
sapendoche lim
x! 1
F(x)= 1 e lim
x!0
F(x)= >0;
3) F(x)= Z
x 2
1=2 1
t p
1 t dt;
sapendoche lim
x!0 +
F(x)= 1 e lim
x!1
F(x)= >0;
4) F(x)= Z
x
2
ln(t 1)
1+t 2
dt;
sapendoche lim
x!+1
F(x)= >0 e lim
x!1 +
F(x)= >0:
Stabilireinoltreselafunzionedi cuialpunto1)ammetteunasintotoobliquoperx!+1eselafunzione
dicui alpunto2)ammetteunasintotoobliquoperx! 1.
Integrali Inde niti
1) Z
lnx
x(1+lnx) dx;
2) Z
cosxsinx
(1+cos 2
x)(1+cosx) dx;
3)
Z p
x+1
x 3=2
1 dx;
4) Z
e x
+2
e x
(e x
+1) dx;
5) Z
1
tanx sinx dx:
Integrali De niti
1) Z
=2
0
cost
(1+sint)(2+sint) dt;
2) Z
1
0 e
t
+e t
e t
+1 dt;
3) Z
=2
=4
sin2tln(sint)dt;
4) Z
=2
0
1
1+sint dt;
5) Z
3
1
p
t 2
9 dt:
Funzionidi 2Variabili
Determinaregliinsiemidide nizionedelleseguentifunzionidi2variabiliedarneunarappresentazione
nelpiano:
1)f(x;y)=(xy) 3x 1
;
2)f(x;y)= p
x+y 2
2yln
x 2
+y 2
1 (24);
3)f(x;y)=
arcsin(x+y)
3 p
9x 2
+9y 2
1
;
4)f(x;y)=arccos[tan(4y+x =4)];
5)f(x;y)=tan h
2
arcsin(x 2
+y) i
;
Calcolareiseguentilimiti:
1) lim
(x;y)!(0;0) x
2
x 2
+y 2
sin
x 2
x 2
+y 2
;
2) lim
(x;y)!(0;0)
x y
x 2
+y 2
+1
;
3) lim
j(x;y)j!+1 x
3
(x 2
+y 2
) 2
;
4) lim
(x;y)!(1;1) sin
2
(x+y 2)
(x 1) 2
+y 2
2y+1
;
5) lim
j(x;y)j!+1 x
4
x 2
+y 2
;
Stabilireseleseguentifunzionisonocontinue:
1)f(x;y)=
(x 2
+y 2
)cos 1
x
sex6=0;
0 sex=0;
2)f(x;y)=
x+y
x y
sex6=y;
0 sex=y;
3)f(x;y)= (
exp[y 2
=(x 2
+y 2
) 2=3
]
3 p
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
4)f(x;y)=
xy 3
+y 2
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
5)f(x;y)=
arctan x
jyj
sey6=0;
=2 sey=0.
Stabilireseleseguentifunzionisonodi erenziabiliecalcolare,qualoraesistano,lederivatedirezionali:
1)f(x;y)= (
jxj+jyj
e 1
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
2)f(x;y)= (
x 2
y
x 4
+y 2
2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
3)f(x;y)=jxje y
4)f(x;y)=
x 2
y
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
5)f(x;y)=
xy
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0).
Data
f(x;y)= 8
<
: jxj
3=2
e y
(x 2
+y 2
) 1=2
sex6=0;
0 sex=0;
(i) stabiliresef econtinuasuIR 2
;
(ii) calcolareil lim
n!+1 f(P
n
),oveP
n
=(e n
;0);
(iii) determinareilcodominiodif.
Data
f(x;y)= 8
<
: log (1 y
4
)
(x 2
+y 2
) +e
x
se(x;y)6=(0;0);
1 se(x;y)=(0;0);
(i) determinareilmassimoinsiemeDIR 2
incuif ede nitaecontinua;
(ii) calcolareil lim
n!+1 f(P
n
),oveP
n
=(n!;0) eil lim
n!+1 f(Q
n
),oveQ
n
=(1=n;
4 p
1 1=n);
(iii) determinareilcodominiodif.
Data la funzione f(x;y) = e xy
+sinx, calcolare la derivata di f normale alla retta di equazione
3x+6y 6=0,nelpunto (0;1).
Data lafunzione
f(x;y)= 8
<
: xy
2
x 2
+y 2
se(x;y)6=(0;0);
0 se(x;y)=(0;0);
elacurva
= (
(1+t)sint
t
t2[0;2]
calcolareladerivatadif tangenteallacurvaassegnata,nelpunto(x;y)=(0;0).
